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数学文卷·2015届广东省广州市海珠区等四区高三联考(2014.11)


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海珠区 2014 学年高三综合测试(二)

数学(文科)
2014.11 本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座 位号填写在答题卡上。 2.选择题每小题选出答案后,

用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑, 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅 笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将答题卡交回。 参考公式:锥体体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 为锥体的底面积, h 为锥体的高. 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? ( x, y) x ? y ? 2 , B ? ( x, y) x ? y ? 4 ,那么集合 A A. { (- 1,3)} B. (3, - 1)

?

?

?

?

B为

3, - 1} C. {

D. { (3, - 1)}

2.若复数 z 满足 ?1 ? i ? z ? i ,则 z 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.函数 y ? 2x ( x ? R )的反函数为 A. y ? log 2 x ( x ? 0 ) C. y ? log x 2 ( x ? 0 ) B. y ? log 2 x ( x ? 1 ) D. y ? log x 2 ( x ? 1 )

4.已知向量 a , b 的夹角为 120 , a ? 2 ,且 a ? b ? ?8 ,则 b ? A.6 B.7 C .8 D.9 5.函数 y ? cos 2 x ? sin 2 x 的一条对称轴为 A. x =

p 4

B. x =

p 8
4 2

C. x = -

p 8
7 -2

D. x = -

p 4

6.根据如下样本数据:

x y

3 4

5 -1

6 1

8 -3

得到的回归方程为 y ? bx ? a ,则 A. a ? 0, b ? 0 B. a ? 0, b ? 0 C. a ? 0, b ? 0 D. a ? 0, b ? 0

7.函数 y = ln x 与 y = -

- x 2 + 1 在同一平面直角坐标系内的大致图象为
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-

8.阅读如图所示的程序框图,输出的结果 S 的值为 A.0 C. 3 9.已知椭圆 B.
3 2

D. ?

3 2

x2 x2 y 2 2 与 双 曲 线 ? y ?1 ? ?1 共焦点 9 a 2 b2

F1 , F2 , 设 它 们 在 第 一 象 限 的 交 点 为 P , 且

PF1 ? PF2 ? 0 ,则双曲线的渐近线方程为
A. y ? ? 7 x C. y ? ? B. y ? ? D. y ? ?
2

7 x 7 3 7 x 7
2 2

7 x 3

10.若实数 x1 , y1 , x2 , y2 满足 ( y1 ? x1 ? 3ln x1 ) ? ( x2 ? y2 ? 2) ? 0 ,则 ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) 的
2 2

最小值为 A.8 B. 2 2 C .2 D. 2

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题)

a1 + a2 = 5 ,a9 + a10 = 21 , 11. 已知 {an } 是等差数列, 则该数列前 10 项和 S10 ? ________.
12. 一个几何体的正(主)视图和侧(左)视图都是边长为 2 的等边 三角形,俯视图如图所示,则这个几何体的体积为________. 13.给出下列四个命题: ①函数 f ? x ? = 2 ? x ?
2

1 2 ? x2

有最小值 2 ;

②“ x 2 - 4 x - 5 = 0 ”的一个必要不充分条件是“ x = 5 ”; ③命题 p : ?x ? R, tan x ? 1 ;命题 q : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 .则命题“ 假命题;
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p ? ? ?q ? ”是

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3 2 ④函数 f (x)= x - 3x +1在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 y = - 3 .

其中正确命题的序号是________. (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标中,圆 ? ? 4sin ? 与直线 ? (sin ? ? cos ? ) ? 4 相 交所得的弦长为________. 15.(几何证明选讲选做题) 如图,⊙ O 是 ?ABC 的外接圆,

AB ? AC , 延长 BC 到点 D , 使得 CD ? AC , 连结 AD 交⊙O
于点 E , 连结 BE , 若 ?D ? 350 ,则 ?ABE 的大小为________.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边长分别是 a , b, c ,已知 A ? (1)求 cos C 的值; (2)若 a ? 10 , D 为 AB 的中点,求 CD 的长. 17.(本小题满分 12 分) 随着社会的发展,网上购物已成为一种新型的购物方式.某商家在网上新推出

?
4

, cos B ?

4 . 5

A, B, C , D四款商品,进行限时促销活动,规定每位注册会员限购一件,并需在网上完
成对所购商品的质量评价.以下为四款商品销售情况的条形图和用分层抽样法选取 100 份评价的统计表:

好评

中评 15% 12% 10% 8%

差评 5% 0 10% 8%

A款 B款

80% 88% 80% 84%

C款
D款

(1)若会员甲选择的是 A 款商品,求甲的评价被选中的概率; (2)在被选取的 100 份评价中,若商家再选取 2 位评价为差评的会员进行电话回访, 求这 2 位中至少有一位购买的是 C 款商品的概率. 18.(本小题满分 14 分) 如图所示,已知 PD 垂直以 AB 为直径的圆 O 所在平面,点 D 在线段 AB 上,点 C 为 圆 O 上一点, 且 BD ? 3PD ? 3, AC ? 2 AD ? 2 . (1)求证: PA ⊥ CD ;
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(2)求点 B 到平面 PAC 的距离.

19.(本小题满分 14 分) 已知 ?an ? 是首项为 2,公差不为零的等差数列,且 a1 , a5 , a17 成等比数列. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn =

an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . 3n- 1

20. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, A 、 B 两点的坐标分别为 (0,1) 、(0, - 1) ,动点 P 满足直线

AP 与直线 BP 的斜率之积为 ?
(1)求动点 P 的轨迹方程; (2)求线段 MN 的最小值;

1 ,直线 AP 、 BP 与直线 y ? ?2 分别交于点 M 、 N . 4

(3)以 MN 为直径的圆是否经过某定点?若经过定点, 求出定点的坐标;若不经过定点, 请说明理由.

21.(本小题满分 14 分)

?1 ? ( x ? 0) 已知函数 f ( x) ? ? x , F ( x) ? f ( x) ? kx ( k ? R ). ?e x ( x ? 0) ? (1)当 k ? 1 时,求函数 F ( x ) 的值域;
(2)试讨论函数 F ( x ) 的单调性.

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文科数学参考答案与评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几 种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点 和能力比照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答 未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不 得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误, 就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查共10小题,每小题5分,满分50分. 题号 答案 1 D 2 B 3 A 4 C 5 C 6 A 7 C 8 B 9 B 10 A

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只 能选做一题. 11. 65 12.

4 3 3

13. ③④

14. 2 2

15. 350

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. 解:(1)

cos B ?

4 3 , 且 B ? (0, ? ) ,∴ sin B ? 1 ? cos 2 B ? .………………1 分 5 5 3? ? B) 4
………………2 分

∴ cos C ? cos(? ? A ? B) ? cos(

? cos

3? 3? cos B ? sin sin B 4 4

………………4 分

?? ??

2 4 2 3 ? ? ? 2 5 2 5 2 . 10

………………5 分

………………6 分

(2)由(1)可得 sin C ? 1 ? cos2 C ? 1 ? (?
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2 2 ? 7 2 . ………………7 分 ) 10 10
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10 c ? a c 7 ? 由正弦定理得 ,即 2 , 2 sin A sin C 10 2
………………8 分

17. 解:(1)由条形图可得,选择 A, B, C , D 四款商品的会员共有 2000 人,……1 分 其 中 选 A 款 商 品 的 会 员 为 400 人 , 由 分 层 抽 样 可 得 A 款 商 品 的 评 价 抽 取 了

100 ?

400 ? 20 份. 2000
20 1 ? ? 0.05 . 400 20

………………2 分 ………………3 分 ………………4 分

设 “甲的评价被选中” 为事件 M ,则 P ( M ) ?

答:若甲选择的是 A 款商品,甲的评价被选中的概率是 0.05 .

(2) 由图表可知,选 A, B, C , D 四款商品的会员分别有 400,500,600,500 人, ………5 分 用分层抽样的方法, 选取评价的人数分别为 20,25,30,25 人, 其中差评的人数分别为 1,0,3, 2 人,共 6 人. ………………6 分

记对 A 款商品评价为差评的会员是 a ; 对 C 款商品评价为差评的会员是 b, c, d ; 对D 款 商品评价为差评的会员是 e, f .从评价为差评的会员中选出 2 人,共有 15 个基本事件:

? a, b? , ? a, c ? , ? a, d ? , ? a, e?? a, f ? ,? b, c ? ,?b, d ? , ?b, e? , ?b, f ? , ? c, d ? , ?c, e? , ?c, f ? , ? d , e? , ? d , f ? , ?e, f ? .
………………9 分 设 “ 至 少 有一 人 选择 的 是 C 款 商 品 ” 为 事 件 N , 事 件 N 包 含 有 12 个 基 本事件:

? a, b? , ? a, c? , ? a, d ? , ? b, c ? ,?b, d ? , ?b, e? , ?b, f ? , ? c, d ? , ?c, e? , ?c, f ? , ? d , e? , ? d , f ? .
由古典概率公式知 P ? N ? ?

12 4 ? . 15 5
4 . 5

………………11 分 ………………12 分

答:至少有一人选择的是 C 款商品的概率为

18.解:(1)由 BD ? 3 , AD ? 1 ,知 AB ? 4 , AO ? 2 ,点 D 为 AO 的中点.……1 分 连接 OC . ∵ AO ? AC ? OC ? 2 ,∴ ?AOC 为等边三角形, 又点 D 为 AO 的中点,∴ CD ? AO .
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………………2 分 ………………3 分
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全品高考网 gk.canpoint.cn 又∵ PD ? 平面 ABC ,又 CD ? 平面 ABC ,∴ PD ? CD , ………………4 分
PD ? AO ? D , PD ? 平面 PAB , AO ? 平面 PAB ,
∴ CD ? 平面 PAB , 又 PA ? 平面 PAB ,∴ PA ⊥ CD . ………………5 分 ………………6 分

19.解:(1)设数列 ?an ? 的公差为 d ,∴ a1 ? 2 , a5 ? 2 ? 4d , a17 ? 2 ? 16d , 由 a1 , a5 , a17 成等比数列, ∴ ? 2 ? 4d ? ? 2 ? 2 ? 16d ? ,
2

………………3 分 ………………5 分 ………………6 分 ………………7 分

即 d 2 ? d .∵ d ? 0 ,∴ d ? 1 . ∴ an ? 2 ? ? n ?1? ?1 ? n ?1 . (2)由(1)知, bn ? ∴ Sn ?

n ?1 , 3n ?1

2 3 4 n ?1 ? 1 ? 2 ? ?... n ?1 , 0 3 3 3 3

………………8 分

1 2 3 4 n ?1 Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? ?... n , 3 3 3 3 3
两式相减得:

………………9 分

2 2 1 1 1 1 n ?1 Sn ? 0 ? 1 ? 2 ? 3 ? ... n ?1 ? n , 3 3 3 3 3 3 3

………………11 分

1? 1 ? 1 ? n?1 ? ? 2 3 3 ? n ?1 , ∴ Sn ? 2 ? ? ? n 1 3 3 1? 3
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………………12 分

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2 5 2n ? 5 Sn ? ? , 3 2 2 ? 3n 15 2n ? 5 ? . 4 4 ? 3n ?1 n ?1 ,. 3n ?1

………………13 分

∴ Sn ?

………………14 分

另解:由(1)知 bn ? 设 bn ?

………………7 分

n ? 1 An ? B A ? n ? 1? ? B 2 An ? 2 B ? A = , ? n?2 ? 3n ?1 3n?1 3 3n?1

利用待定系数法 ?

?2 A ? 1 1 3 ,解得 A ? , B ? , 2 4 ?2 B ? A ? 1
………………10 分

1 3 1 3 2n ? 3 2n ? 5 n? n ? 1? ? ? ? ? ∴ . 2 4 2 4 bn ? n?2 ? 4 ? 3n ? 2 4 ? 3n ?1 n ?1 3 3
∴ Sn ? b1 ? b2 ? b3 ? ... ? bn

? ?

2 ?1 ? 3 2 ?1 ? 5 2 ? 2 ? 3 2 ? 2 ? 5 2n ? 3 2n ? 5 ? ? ? ? ... ? ? 1? 2 1?1 2?2 2 ?1 4?3 4?3 4?3 4?3 4 ? 3n ?2 4 ? 3n ?1 15 2n ? 5 ? . 4 4 ? 3n ?1
………………14 分

20. 解:(1)已知 A(0,1), B(0, - 1) ,设动点 P 的坐标 ? x, y ? , ∴直线 AP 的斜率 k1 ? 又 k1 ? k 2 ? ? 即

y ?1 y ?1 ,直线 BP 的斜率 k2 ? ( x ? 0 ), ………2 分 x x
………………3 分

1 y ?1 y ?1 1 ? ?? , ,∴ 4 x x 4

x2 ? y 2 ? 1 ? x ? 0? . 4

………………4 分

(2)设直线 AP 的方程为的 y ?1 ? k1 ? x ? 0? ,直线 BP 的方程为的 y ?1 ? k2 ? x ? 0? , ………………6 分

3 ? ? y ? 1 ? k1 x ? 3 ? ?x ? ? k1 , ∴ M ? ? , ?2 ? ; 由? ,得 ? ? k1 ? ? y ? ?2 ? y ? ?2 ?

………………7 分

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1 ? ? y ? 1 ? k2 x ? 1 ? ?x ? ? k2 ,∴ N ? ? , ?2 ? , 由? ,得 ? ? k2 ? ? y ? ?2 ? y ? ?2 ?
由 k1 ? k 2 ? ? 当且仅当

………………8 分

3 1 3 3 1 ? ? ? 4k1 ? 2 ? 4 k1 ? 4 3 ,………9 分 ,∴ MN ? k1 k2 k1 k1 4

3 ? 4 k1 ,即 k ? ? 3 时,等号成立, 1 k1 2
………………10 分

∴线段 MN 长的最小值 4 3 .

(3)设点 Q ? x, y ? 是以 MN 为直径的圆上的任意一点,则 QM QN ? 0 ,即

? 3 ?? 1? ? x ? ?? x ? ? ? ? y ? 2 ?? y ? 2 ? ? 0 , k1 ?? k2 ? ?
又 k1 ? k 2 ? ?

………………11 分

1 , 4

?3 ? 2 2 故以 MN 为直径的圆的方程为: x ? ? ? 4k1 ? x ? ? y ? 2 ? ? 12 ? 0 , ………………12 分 k ? 1 ?
令 x ? 0 ,得 ? y ? 2 ? ? 12 ,解得 y ? ?2 ? 2 3 ,
2

………………13 分

∴以 MN 为直径的圆经过定点 0, ?2 ? 2 3 或 0, ?2 ? 2 3 .

?

? ?

?

………………14 分

?1 ? ? x( x ? 0) 21.解:(1)当 k ? 1 时, F ( x) ? ? x , ?e x ? x( x ≤ 0) ?
当 x ? 0 时, F ( x) ?

………………1 分

1 ? x ≥ 2 ,当且仅当 x ? 1 时, F ( x) 取最小值 2. …………2 分 x

当 x ≤ 0 时, F ( x) ? e x ? x , F ?( x) ? e x ? 1 ? 0 , F ( x ) 在 ?? ?,0? 上单调递增,所以

F ( x) ≤ F (0) ? 1.
所以当 k ? 1 时, F ( x ) 的值域为 (??,1] [2, ??) .

………………3 分 ………………4 分

1 ? ?1 ?k ? 2 ( x ? 0) ? ? kx( x ? 0) x (2)由 F ( x) ? ? x ,得 F ?( x) ? ? , x ?e x ? k ( x ≤ 0) ?e ? kx( x ≤ 0) ? ? ? 1 ?? 2 ( x ? 0) ①当 k ? 0 时, F ?( x) ? ? x , x ?e ( x ≤ 0) ?
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………………5 分

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全品高考网 gk.canpoint.cn 当 x ? 0 时, F ?( x) ? 0 , F ( x ) 在区间 (0, ??) 上单调递减, ………………6 分
当 x ≤ 0 时, F ?( x) ? 0 , F ( x ) 在区间 (??, 0] 上单调递增. ………………7 分

1 ? ?k ? 2 ( x ? 0) x ②当 k ? 0 时, F ?( x) ? ? , x ?e ? k ( x ≤ 0) ?
当 x ≤ 0 时, F ?( x) ? e x ? k ? 0 , F ( x ) 在区间 (??, 0] 上单调递增.………………8 分 当 x ? 0 时,令 F ?( x) ? k ?

1 ? 0 ,解得 x ? ? k ,舍去负值,得 x ? k , 2 x k k

当0 ? x ? 当x?

k k 时, F ?( x) ? 0 , F ( x ) 在区间 (0, ) 上单调递减, ………………9 分 k k

k k 时, F ' ( x) ? 0 , F ( x ) 在区间 ( , ??) 上单调递增. ………………10 分 k k

1 ? ?k ? 2 ( x ? 0) x ③当 k ? 0 时, F ?( x) ? ? , ?e x ? k ( x ≤ 0) ?
当 x ? 0 时, F ?( x) ? k ?

1 ? 0 , F ( x) 在区间 (0, ??) 上单调递减.……………11 分 x2

当 x ? 0 时,令 F ?( x) ? e x ? k ? 0 ,得 x ? ln(?k ) , 下面讨论 x ? ln(?k ) 是否落在区间 (??, 0) 上, 令 ln(?k ) ? 0 ,解得 k ≤ ?1 ,令 ln(?k ) ? 0 ,解得 ?1 ? k ? 0 , 当 k ≤ ?1 时,当 x ? 0 时, F ?( x) ? 0 , F ( x ) 在 ? ??,0? 上单调递减.……………12 分 当 ?1 ? k ? 0 时,在 ? ??,0? 上存在极值点 x ? ln(?k ) , 当 ln(?k ) ? x ? 0 时, F ?( x) ? 0 , F ( x ) 在 (ln(?k ), 0] 上单调递增, 当 x ? ln(?k ) 时, F ?( x) ? 0 , F ( x ) 在 (??, ln(?k )) 上单调递减.……………13 分 综上所述: 当 k ? 0 时, F ( x ) 在 (??, 0] 和 (

k k , ??) 上单调递增,在 (0, ) 上单调递减; k k

当 k ? 0 时, F ( x ) 在 (??, 0] 上单调递增,在 (0, ??) 上单调递减; 当 ?1 ? k ? 0 时, F ( x ) 在 (ln(?k ), 0] 上单调递增,在 (??, ln(?k )) 和 (0, ??) 上 单调递减; 当 k ≤ ?1 时, F ( x ) 在 ? ??,0? 和 ? 0, ??? 上单调递减.
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……………14 分

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