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2014全国卷数学文科


2014 年高招全国课标 1 -文科数学解题样卷
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. (1)已知集合 M ? x ?1 ? x ? 3 , N ? x ?2 ? x ? 1 ,则 M ? N ? ( A. (?2,1) B. (?1,1) C. (1,3) D. (?2,3)

(11).设 x , y 满足约束条件 ?

(A)-5 (C)-5 或 3 取值 范围是

? x ? y ? a, 且 z ? x ? ay 的最小值为 7,则 a ? ? x ? y ? ?1,
(B)3 (D)5 或-3 则a的

?

?

?

?



(12)已知函数 f ( x) ? ax3 ? 3x 2 ? 1 ,若 f ( x ) 存在唯一的零点 x0 ,且 x0 ? 0 , (A) ? 2, ??? (B) ?1, ??? (C) ? ??, ?2? (D) ? ??, ?1?

(2)若 tan ? ? 0 ,则 A. sin ? ? 0 (3)设 z ? B. cos ? ? 0 C. sin 2? ? 0 D. cos 2? ? 0

1 ? i ,则 | z |? 1? i 1 2 3 A. B. C. D. 2 2 2 2 x2 y2 ? 1(a ? 0) 的离心率为 2,则 a ? (4)已知双曲线 2 ? a 3 6 5 A. 2 B. C. D. 1 2 2 (5)设函数 f ( x), g ( x) 的定义域为 R ,且 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,则下列结论中正确的是 A. f ( x) g ( x) 是偶函数 B. | f ( x) | g ( x) 是奇函数 C. f ( x) | g ( x) | 是奇函数 D. | f ( x) g ( x) | 是奇函数
(6)设 D, E, F 分别为 ?ABC 的三边 BC, CA, AB 的中点,则 EB ? FC ? A. AD

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 (13)将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行,则 2 本数学书相邻的概率为________. (14)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A 、 B 、 C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一城市; 由此可判断乙去过的城市为________.

?e x ?1 , x ? 1, ? (15)设函数 f ? x ? ? ? 1 则使得 f ? x ? ? 2 成立的 x 的取值范围是________. 3 ? x , x ? 1, ? (16) 如图, 为测量山高 MN , 选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点.从 A 点测得 M 点的仰角 ?MAN ? 60? , C 点 的 仰 角 ?CAB ? 45? 以 及 ?MAC ? 75? ; 从 C 点 测 得 ?MCA ? 60? . 已 知 山 高 BC ? 100m , 则 山 高 MN ? ________ m .
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 12 分)
2

1 ???? AD B. 2

? 1 ??? BC C. 2

D. BC

(7)在函数① y ? cos | 2 x | ,② y ?| cos x | ,③ y ? cos( 2 x ?

?

) ,④ y ? tan( 2 x ? ) 中,最小正周期为 ? 的所有 6 4


?

已知 ?an ? 是递增的等差数列, a2 , a4 是方程 x ? 5 x ? 6 ? 0 的根。 (I)求 ?an ? 的通项公式; (II)求数列 ?

函数为 A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③ (8).如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的事一个几何体的三视图,则这个几何体是( A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱

? an ? 的前 n 项和. n ? ?2 ?

(18)(本小题满分 12 分) 从某企业生产的某种产品中抽取 100 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量表得如下频数分布表: 质量指标值分组 [75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,125) 6 26 38 22 8 频数 (I)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图:

(9).执行下图的程序框图,若输入的 a, b, k 分别为 1,2,3,则输出的 M =

A.

20 3

B.

16 5

C.
2

7 2

D.

15 8

(10).已知抛物线 C: y ? x 的焦点为 F , A A. 1 B. 2 C. 4 D. 8

?x , y ?是 C 上一点, AF ? 5 ,则 x 4x
0 0
0

0

?(



(II)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) ; (III)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全 部产品的80%”的规定?

22.(本小题满分 10 分)选修 4-5;不等式选讲 若 a ? 0, b ? 0, 且
3 3

1 1 ? ? ab a b

(I)求 a ? b 的最小值; (II)是否存在 a , b ,使得 2a ? 3b ? 6 ?并说明理由.

19(本题满分12分) 如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧面 BB1C1C 为菱形, B1C 的中点为 O ,且 AO ? 平面 BB1C1C . (I)证明: B1C ? AB; (II)若 AC ? AB1 , ?CBB1 ? 60? , BC ? 1, 求三棱柱 ABC ? A1B1C1 的高.

20.(本小题满分 12 分) 已知点 P(2,2) ,圆 C : x 2 ? y 2 ? 8 y ? 0 ,过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A, B 两点,线段 AB 的中点为 M , O 为坐 标原点. (I)求 M 的轨迹方程; (II)当 OP ? OM 时,求 l 的方程及 ?POM 的面积 (22) 【参考答案】 :(Ⅰ) 由 ab ?

1 1 2 ? ? ,得 ab ? 2 ,且当 a ? b ? 2 时等号成立, a b ab

故 a3 ? b3 ? 3 a3 ? b3 ? 4 2 ,且当 a ? b ? 2 时等号成立, ∴ a ? b 的最小值为 4 2 .
3 3

(Ⅱ)由 6 ? 2a ? 3b ? 2 6 ab ,得 ab ? 所以不存在 a , b ,使得 2a ? 3b ? 6 成立. 【答案分析】 : (1)对

3 ,又由(Ⅰ)知 ab ? 2 ,二者矛盾, 2

21(12 分) 设函数 f ? x ? ? a ln x ? (I)求 b; (II)若存在 x0 ? 1, 使得 f ? x0 ? ?

1 1 ? ? ab 利用基本不等式得 2 分(2)算出 ab ? 2 并检验等号是否成立 a b 3 3 3 得 2 分(3)对 a ? b 利用不等式算出最小值得 1 分(4)对 2a ? 3b 利用基本不等式得出 ab ? 得 2 分(5)根 2 1? a 2 x ? bx ? a ? 1? ,曲线 y ? f ? x ? 在点?1 ,f ?1?? 处的切线斜率为 0 2
据第一问分析得出矛盾得 2 分(6)下结论不存在得 1 分 【规律提炼】 : (1) 求最值问题:先分析题目已知式子的结构,要求和的最小值,就要寻找到积的定值,若不是定值,一般通过 配凑的方法,配定值,两个变量的代数式也可以用函数思想,消取其中一个变量,转化为求函数的最值问题。 (2) 存在性问题,一般先假设存在,然后通过推理分析,如果最后会出现矛盾,则说明假设不成立,即不存在, 如果推理没有矛盾则说明假设成立,即存在。

a ,求 a 的取值范围。 a ?1


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