当前位置:首页 >> 数学 >> 2012届高三数学二轮复习全套精品系列 专题一 数形结合思想

2012届高三数学二轮复习全套精品系列 专题一 数形结合思想


【专题一】数形结合思想
【考情分析】 在高考题中,数形结合的题目主要出现在函数、导数、解析几何及不等式最值等综合性 题目上,把图象作为工具、载体,以此寻求解题思路或制定解题方案,真正体现数形结合的 简捷、灵活特点的多是填空小题。 从近三年新课标高考卷来看,涉及数形结合的题目略少,预测 2012 年可能有所加强。因 为对数形结合等思想方法的考查,是对数学知识在更高层次的抽

象和概括能力的考查,是对 学生思维品质和数学技能的考查,是新课标高考明确的一个命题方向。 1.数形结合是把数或数量关系与图形对应起来,借助图形来研究数量关系或者利用数量 关系来研究图形的性质,是一种重要的数学思想方法。它可以使抽象的问题具体化,复杂的 问题简单化。 “数缺形时少直观,形少数时难入微” ,利用数形结合的思想方法可以深刻揭示 数学问题的本质。 2.数形结合的思想方法在高考中占有非常重要的地位,考纲指出“数学科的命题,在考 查基础知识的基础上,注重对数学思想思想方法的考查,注重对数学能力的考查” ,灵活运用 数形结合的思想方法,可以有效提升思维品质和数学技能。 3. “对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次的抽象和概括的考查,考查时要与 数学知识相结合” , 用好数形结合的思想方法,需要在平时学习时注意理解概念的几何意义 和图形的数量表示,为用好数形结合思想打下坚实的知识基础。 4.函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等,是 “以形示数” ,而解析几 何的方程、斜率、距离公式,向量的坐标表示则是 “以数助形” ,还有导数更是数形形结合 的产物,这些都为我们提供了 “数形结合”的知识平台。 5.在数学学习和解题过程中,要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径,制定解题方 案,养成数形结合的习惯,解题先想图,以图助解题。用好数形结合的方法,能起到事半功 倍的效果, “数形结合千般好,数形分离万事休” 。 纵观多年来的高考试题,巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题,可起 到事半功倍的效果,数形结合的重点是研究“以形助数” 。 【知识交汇】 数形结合的数学思想:包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分 为两种情形:一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数作为 目的,比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质;二是借助于数的精确性和规范严密性 来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线 的几何性质. 。 应用数形结合的思想,应注意以下数与形的转化: 数形结合思想解决的问题常有以下几种: (1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围; (2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围; (3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系; (4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式; (5)构建立体几何模型研究代数问题; (6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题;

-1-

(7)构建方程模型,求根的个数; (8)研究图形的形状、位置关系、性质等. 常见适用数形结合的两个着力点是: 以形助数常用的有:借助数轴;借助函数图象;借助单位圆;借助数式的结构特征;借 助于解析几何方法. 以数助形常用的有:借助于几何轨迹所遵循的数量关系;借助于运算结果与几何定理的 结合。 数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧,特别是在解选择题、填空题 时发挥着奇特功效,这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练,以提高解题能力和速 度.具体操作时,应注意以下几点:(1)准确画出函数图象,注意函数的定义域; (2)用图象 法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法,值得注意的是首先要 把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整,以便于作图),然后 作出两个函数的图象,由图求解.这种思想方法体现在解题中,就是指在处理数学问题时, 能够将抽象的数学语言与直观的几何图象有机结合起来思索,促使抽象思维和形象思维的和 谐复合,通过对规范图形或示意图形的观察分析,化抽象为直观,化直观为精确,从而使问 题得到简捷解决。 1.数形结合的途径 (1)通过坐标系形题数解 借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化。这一方法在解析几何中体现的 相当充分(在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考察的) ;值得强调的是,形题数解 时,通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧(这是因为三角公式的使用,可以大大缩 短代数推理) 实现数形结合,常与以下内容有关:①实数与数轴上的点的对应关系;②函数与图象的对 应关系;③曲线与方程的对应关系;④以几何元素和几何条件为背景,建立起来的概念,如复 数、三角函数等;⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

如等式( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 。
常见方法有: (1)解析法:建立适当的坐标系(直角坐标系,极坐标系) ,引进坐标将几何图形变换为坐标间 的代数关系。 (2)三角法:将几何问题与三角形沟通,运用三角代数知识获得探求结合的途径。 (3)向量法:将几何图形向量化,运用向量运算解决几何中的平角、垂直、夹角、距离等问题。 把抽象的几何推理化为代数运算。特别是空间向量法使解决立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问 题变得有章可循。 (2)通过转化构造数题形解 许多代数结构都有着对应的几何意义,据此,可以将数与形进行巧妙地转化.例如,将 a >0 与距离互化,将 a 与面积互化,将 a +b +ab=a +b -2 a b cos? (? ? 60?或? ? 120?) 与余
2 2 2 2 2

弦定理沟通,将 a≥b≥c>0 且 b+c>a 中的 a、b、c 与三角形的三边沟通,将有序实数对(或 复数)和点沟通,将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等.这种 代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形(平面的或立体的) 。另外,函数的图象 也是实现数形转化的有效工具之一,正是基于此,函数思想和数形结合思想经常借助于相伴
-2-

而充分地发挥作用。 常见的转换途径为: (1)方程或不等式问题常可以转化为两个图象的交点位置关系的问题,并借助函数的图象和 性质解决相关的问题。 (2)利用平面向量的数量关系及模 AB 的性质来寻求代数式性质。 (3)构造几何模型。通过代数式的结构分析,构造出符合代数式的几何图形,如将 a 与正 方形的面积互化,将 abc 与体积互化,将 a 2 ? c2 与勾股定理沟通等等。 (4)利用解析几何中的曲线与方程的关系,重要的公式(如两点间的距离
2

??? ?

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ,点到直线的距离 d ?
等来寻求代数式的图形背景及有关性质。 2.数形结合的原则 (1)等价性原则

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

,直线的斜率,直线的截距) 、定义

在数形结合时, 代数性质和几何性质的转换必须是等价的, 否则解题将会出现漏洞.有时, 由于图形的局限性,不能完整的表现数的一般性,这时图形的性质只能是一种直观而浅显的 说明,但它同时也是抽象而严格证明的诱导。 (2)双向性原则 在数形结合时,既要进行几何直观的分析,又要进行代数抽象的探索,两方面相辅相成, 仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的。 例如,在解析几何中,我们主要是运用代数的方法来研究几何问题,但是在许多时候, 若能充分地挖掘利用图形的几何特征,将会使得复杂的问题简单化。 (3)简单性原则 就是找到解题思路之后,至于用几何方法还是用代数方法、或者兼用两种方法来叙述解 题过程,则取决于那种方法更为简单.而不是去刻意追求一种流性的模式——代数问题运用几 何方法,几何问题寻找代数方法。 【思想方法】 题型 1:利用数轴、韦恩图解决集合与函数问题 例 1. (1) (2011 山东文 1) 设集合 M ={x|(x+3)(x―2)<0},N ={x|1≤x≤3},则 M∩N =( ) A.[1,2) B.[1,2] C.( 2,3]

D.[2,3] )

(2) (2011 湖南文 1)设全集 U ? M ? N ? {1, 2,3, 4,5}, M ? CU N ? {2, 4}, 则 N ? ( A. {1, 2,3} B. {1,3,5} C. {1, 4,5} D. {2,3, 4}

解析: (1)A;解析;因为 M ? ?x | ?3 ? x ? 2? ,所以 M ? N ? ?x |1 ? x ? 2? ,故选 A。 点评:不等式型集合的交、并集通常可以利用数轴进行,解题时注意验证区间端点是否 符合题意。
-3-

(2)B;解析:画出韦恩图,可知 N ? {1,3,5} 。

点评:本题主要利用数轴、韦恩图考查集合的概念和集合的关系。 例 2. (1) (2011 陕西理 3)设函数 f ( x ) ( x ?R)满足 f (? x) ? f ( x) , f ( x ? 2) ? f ( x) , 则函数 y ? f ( x) 的图像是( )

(2) (2010 年天津卷)设函数 g ( x) ? x2 ? 2( x ? R) ,

( x )? x?4, x? g ( x ), f ( x) ? {g g ( x )? x, x? g ( x ). 则

f ( x) 的值域是(
A. ? ?

) B. [0, ??) C. [? , ??)

? 9 ? , 0 ? (1, ??) ? 4 ? ?

9 4

D. ? ? ,0? ? (2, ??) 4

? 9 ?

? ?

解析: (1)B;根据题意,确定函数 y ? f ( x) 的性质,再判断哪一个图像具有这些性质.选由

f (? x) ? f ( x) 得 y ? f ( x) 是偶函数,所以函数 y ? f ( x) 的图象关于 y 轴对称,可知 B,D
符合; 由 f ( x ? 2) ? f ( x) 得 y ? f ( x) 是周期为 2 的周期函数, 选项 D 的图像的最小正周期是 4,不符合,选项 B 的图像的最小正周期是 2,符合,故选 B.
2 2 ? ? x ? 2 ? ( x ? 4), x ? x ? 2 ( 2 ) D ; 依 题 意 知 f ( x) ? 2 , 2 ? ? x ? 2 ? x, x ? x ? 2 2 ? ? x ? 2, x ? ?1或x ? 2 f ( x) ? 2 ? ? x ? 2 ? x, ?1 ? x ? 2

点评:数学中考查创新思维,要求必须要有良好的数学素养,考查新 定义函数的理解、解绝对值不等式,中档题,借形言数。 题型 2:解决方程、不等式问题

-4-

2 例 3. 若方程 lg ? x ? 3x ? m ? lg?3 ? x ? 在 x ? 0,3 内有唯一解, 求实数 m 的取值范

?

?

?

?

围。 解析: (1)原方程可化为 ?? x ? 2? ? 1 ? m?0 ? x ? 3?
2

设 y1 ? ?? x ? 2? ? 1 ?0 ? x ? 3?,y2 ? m
2

在同一坐标系中画出它们的图象(如图) 。由原方程在(0,3)内有唯一解,知 y1 与y 2 的 图象只有一个公共点,可见 m 的取值范围是 ?1 ? m ? 0 或 m ? 1。

例 4.已知 u ? 1,v ? 1 且 ?log a u? ? ?log a v ? ? log a au
2 2

loga ?uv? 的最大值和最小值。
解析:令 x ? log a u,y ? log a v , 则已知式可化为

? ? ? log ?av ? ?a ? 1? ,求
2 2 a

? ?x ? 0,y ? 0? 与 圆 弧 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 4 ? x ? 0,y ? 0? 相 切 时 , 截 距
2 2

? x ? 1? 2 ? ? y ? 1? 2

再 设 t ? log a ?uv? ? x ? y x ? 0,y ? 0 , 由 图 3 可 见 , 则 当 线 段 y ? ? x ? t t 取最大值

?

? 4 ? x ? 0,y ? 0? ,

; 当线段端点是圆弧端点时, t 取最小值 t min ? 1 ? 3(如 t max ? 2 ? 2 2(如图 3 中 CD 位置) 图中 AB 位置) 。因此 log a (uv ) 的最大值是 2 ? 2 2 ,最小值是 1 ? 3 。

点评:数形结合的思想方法,是研究数学问题的一个基本方法。深刻理解这一观点,有 利于提高我们发现问题、分析问题和解决问题的能力。 题型 3:解决三角函数、平面向量问题 例 5. (1) (2010 年江西理)E,F 是等腰直角△ABC 斜边 AB 上的三等分 点,则 tan ?ECF ? ( )

-5-

16 A. 27

2 B. 3

C.

3 3

3 D. 4

(2) (2007 年陕西 15) 如图, 平面内有三个向量 OA 、OB 、OC ,其中 OA 与 OB 的夹角为 120°, | OC |= 2 3 , OA 与 OC 的夹角为 30°,且| OA |=| OB |=1, 若 OC =λ OA +μ OB (λ ,μ ∈R),则λ +μ 的值为 解析: (1)考查三角函数的计算、解析化应用意识。 解 法 1 : 约 定 AB=6,AC=BC= 3 2 , 由 余 弦 定 理 CE=CF= 。

10 , 再 由 余 弦 定 理 得

cos ?ECF ?

4 3 ,解得 tan ?ECF ? 5 4

解法 2: 坐标化。 约定 AB=6,AC=BC= 3 2 ,F(1,0),E(-1,0),C (0,3) 利用向量的夹角公式得: cos ?ECF ?
2

4 3 ,解得 tan ?ECF ? 。 5 4
2 2 2 2 2

(2)6;解析: ( OC ) =(λ OA +μ OB ) =λ OA +μ OB +2λ μ

OA 与 OB 的夹角为 120°, 注意 OA 与 OC 的夹角为 30°, OA ? OB =12;
结合图形容易得到 OB 与 OC 的夹角为 90°,得μ =0;这样就得到答案。 点评:综合近几年的高考命题,平面向量单纯只靠运算解题是不够的,需要结合几何特 征。 例 6. (2010 全国卷 1 文数)已知圆 O 的半径为 1,PA、PB 为该圆的两条切线,A、B 为两切点, 那么 PA ? PB 的最小值为( A. ?4 ? 2 答案:D; 【解析 1 】如图所示:设 PA=PB= x ( x ? 0) , ∠ APO= ? , 则∠ APB= 2? ,PO= 1 ? x2 , sin ? ? B. ?3 ? 2

??? ? ??? ?

) C. ?4 ? 2 2 D. ?3 ? 2 2

1 1 ? x2



??? ? ??? ? ??? ? ??? ? x 2 ( x 2 ? 1) 2 2 = = = PA ? PB ?| PA | ? | PB | cos 2? x (1 ? 2sin ? ) x2 ? 1 ??? ? ??? ? x4 ? x2 x4 ? x2 2 4 2 y ? ,令 ,则 ,即 x ? (1 ? y) x ? y ? 0 ,由 x 是实数,所以 PA ? PB ? y 2 2 x ?1 x ?1

-6-

? ? [?(1 ? y)]2 ? 4 ?1? (? y) ? 0 , y 2 ? 6 y ? 1 ? 0 ,解得 y ? ?3 ? 2 2 或 y ? ?3 ? 2 2 .故

??? ? ??? ? (PA ? PB)min ? ?3 ? 2 2 .此时 x ?

2 ?1 .

2 ??? ? ??? ? ?? ? PA ? PB ? ? PA?? PB ? cos ? ? ?1/ tan ? cos ? 【解析 2】设 ?APB ? ? ,0 ? ? ? ? , 2? ?

? ?? ?? ? 1 ? sin 2 ??1 ? 2sin 2 ? ? 2 ?? 2? 2? 2 ? ?1 ? 2sin 2 ? ? ? ? ,0 ? x ?1 , 换 元 : x ? sin ? ? ? ? ? ? 2 2? sin 2 sin 2 2 2
cos 2

?

??? ? ??? ? ?1 ? x ??1 ? 2 x ? 1 PA ? PB ? ? 2x ? ? 3 ? 2 2 ? 3 x x
【解析 3】建系:园的方程为 x ? y ? 1,设 A( x1 , y1 ), B( x1 , ? y1 ), P( x0 ,0) ,
2 2

??? ? ??? ? 2 PA ? PB ? ? x1 ? x0 , y1 ? ? ? x1 ? x0 , ? y1 ? ? x12 ? 2x1x0 ? x0 ? y12
AO ? PA ? ? x1, y1 ? ? ? x1 ? x0 , y1 ? ? 0 ? x12 ? x1x0 ? y12 ? 0 ? x1x0 ? 1
??? ? ??? ? 2 2 2 PA ? PB ? x12 ? 2 x1 x0 ? x0 ? y12 ? x12 ? 2 ? x0 ? ?1 ? x12 ? ? 2 x12 ? x0 ?3? 2 2 ?3
点评:本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理,着重考查最值的求法—— 判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 题型 4:解析几何问题

?0 ? x ? 2 ? 例 7. (1) (2011 广东理 5)已知平面直角坐标系 xOy 上的区 域 D 由不等式组 ? y ? 2 给 ? ? x ? 2y ???? ? ??? ? 定.若 M(x,y)为 D 上动点,点 A 的坐标为( 2 ,1).则 z ? OM ? OA 的最大值为( )
A. 4 2 B. 3 2 C.4 D.3

( 2 )( 2011 江 苏 14 ) 设 集 合 A ? {( x, y ) |

m ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? m 2 , x, y ? R} , 2

B ? {( x, y) | 2m ? x ? y ? 2m ? 1, x, y ? R} , 若 A ? B ? ? , 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是
______________ 解 析 :( 1 ) 如 图 , 区 域 D 为 四 边 形 OABC 及 其 内 部 区 域 ,

-7-

z ? ( x, y ) ? ( 2 ,1) ? 2 x ? y,即z为直线则y ? ? 2 x ? z 的纵截距, 显然当直线y ? ? 2 x ? z经过点B( 2 ,2)时, z取到最大值, 从而z max ? ( 2 ) 2 ? 2 ? 4, 故选C.

(2) (数形结合)当 m ? 0 时,集合 A 是以(2,0)为圆心,以 m 为半径的圆,集合 B

是在两条平行线之间,?

2 ? 2m ? 1 2 ? m ? (1 ? 2)m ? ? 0 ,因为 A ? B ? ? , 此时无解; 2 2
m 和 m 为半径的圆环,集合 B 是在两条平行 2

当 m ? 0 时,集合 A 是以(2,0)为圆心,以

2 ? 2 m ?1 ? m 1 2 ?1 ? 2 ?m 线之间,必有 ? 2?2 m ? ? m ? 2 ? 1 .又因为 ? m 2 ,? ? m ? 2 ? 1 。 ?m 2 2 2 ? ? 2

点评:线性规划是借助平面区域表示直线、不等式等代数表达式,最终借助图形的性质 解决问题;对于直线与圆的位置关系以及一些相关的夹角、弦长问题,往往要转化为点到线 的距离问题来解决。 例 8. (1)(2011 上海 22) 已知平面上的线段 l 及点 P ,在 l 上任取一点 Q ,线段 PQ 长度的 最小值称为点 P 到线段 l 的距离,记作 d ( P, l ) 。 ⑴ 求点 P(1,1) 到线段 l : x ? y ? 3 ? 0(3 ? x ? 5) 的距离 d ( P, l ) ; ⑵ 设 l 是长为 2 的线段,求点集 D ? {P | d ( P, l ) ? 1} 所表示图形的面积; ⑶ 写 出 到 两 条 线 段 l1 , l2 距 离 相 等 的 点 的 集 合 ? ? {P | d ( P, l1 ) ? d ( P, l2 )} , 其 中

l1 ? AB, l2 ? CD ,
A, B, C , D 是下列三组点中的一组。对于下列三组点只需选做一种,满分分别是①2 分,②6
分,③8 分;若选择了多于一种的情形,则按照序号较小的解答计分。 ①

A(1,3), B(1,0), C (?1,3), D(?1,0) 。 ②

A(1,3), B(1,0), C (?1,3), D(?1, ?2) 。 ③

-8-

A(0,1), B(0,0), C (0,0), D(2,0) 。
解析:⑴ 设 Q( x, x ? 3) 是线段 l : x ? y ? 3 ? 0(3 ? x ? 5) 上一点,则

5 9 | PQ |? ( x ? 1)2 ? ( x ? 4)2 ? 2( x ? )2 ? (3 ? x ? 5) 2 2





x?3





d(

P ? ,

。 l) m ? i |P n

Q|

5

⑵ 设线段 l 的端点分别为 A, B ,以直线 AB 为 x 轴, AB 的中点为原点建立直角坐标系, 则 A(?1,0), B(1,0) ,点集 D 由如下曲线围成

l1 : y ? 1(| x |? 1), l2 : y ? ?1(| x |? 1) , C1 : ( x ?1)2 ? y2 ? 1( x ? ?1), C2 : ( x ?1)2 ? y2 ? 1( x ? 1)
其面积为 S ? 4 ? ? 。

1,0) , ? ? {( x, y) | x ? 0} ⑶ ① 选择 A(1,3), B(1,0), C( ?1,3), D( ? 1, ? 2) 。 ② 选择 A(1,3), B(1,0), C( ?1,3), D( ?

? ? {( x, y) | x ? 0, y ? 0} ?{( x, y) | y 2 ? 4 x, ?2 ? y ? 0} ?{( x, y) | x ? y ?1 ? 0, x ? 1}
③ 选择 A(0,1), B(0,0), C(0,0), D(2,0) 。

? ? {( x, y) | x ? 0, y ? 0} ? {( x, y) | y ? x,0 ? x ? 1}

?{( x, y) | x2 ? 2 y ?1,1 ? x ? 2} ?{( x, y) | 4 x ? 2 y ? 3 ? 0, x ? 2}

y

y C 3 A

C

3

A
y 2.5

B -1 O 1 x
A D

D -1 O

B 1 x
D -2
B=C 1 2

x

; (2) (2011 福建理 17) (福建理 17)已知直线 l:y=x+m,m∈R。 (I)若以点 M(2,0)为圆心的圆与直线 l 相切与点 P,且点 P 在 y 轴上,求该圆的方程;

-9-

(II)若直线 l 关于 x 轴对称的直线为 l ? ,问直线 l ? 与抛物线 C:x2=4y 是否相切?说明理由。 解析:本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程 思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分 13 分。 解法一: (I)依题意,点 P 的坐标为(0,m)

0?m ? 1 ? ?1 因为 MP ? l ,所以 2 ? 0 ,
解得 m=2,即点 P 的坐标为(0,2) 从而圆的半径

r ?| MP |? (2 ? 0) 2 ? (0 ? 2) 2 ? 2 2,
故所求圆的方程为 ( x ? 2) ? y ? 8.
2 2

(II)因为直线 l 的方程为

y ? x ? m,

所以直线 l ' 的方程为 y ? ? x ? m.

? y ' ? ? x ? m, 得x 2 ? 4 x ? 4m ? 0 ? 2 x ? 4 y 由?
? ? 42 ? 4 ? 4m ? 16(1 ? m)
(1)当 m ? 1, 即? ? 0 时,直线 l ' 与抛物线 C 相切 (2)当 m ? 1 ,那 ? ? 0 时,直线 l ' 与抛物线 C 不相切。 综上,当 m=1 时,直线 l ' 与抛物线 C 相切; 当 m ? 1 时,直线 l ' 与抛物线 C 不相切。 解法二: (I)设所求圆的半径为 r,则圆的方程可设为 ( x ? 2) ? y ? r .
2 2 ?

依题意,所求圆与直线 l : x ? y ? m ? 0 相切于点 P(0,m) ,

?4 ? m2 ? r 2 , ? ?| 2 ? 0 ? m | ? r, ? 2 ? 则
? ? m ? 2, ? ? r ? 2 2. 解得 ?
- 10 -

所以所求圆的方程为 ( x ? 2) ? y ? 8.
2 2

(II)同解法一。 题型 5:导数问题 例 9. (06 天津卷)函数 f ( x) 的定义域为开区间 ( a, b) ,导 函数 f ?( x) 在 ( a, b) 内的图象如图所示,则函数 f ( x) 在开区间

y

y ? f ?( x)

b

a

O

x

( a, b) 内有极小值点(
A.1 个

) B.2 个 C.3 个 D. 4 个

解析:函数 f ( x) 的定义域为开区间 ( a, b) ,导函数 f ?( x) 在 ( a, b) 内的图象如图所示,函 数 f ( x) 在开区间 ( a, b) 内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点,其导数值为由负到 正的点,只有 1 个,选 A。 点评:通过函数图像分解导函数的正负,对应好原函数的单调递增、单调递减。
3 3

例 10. (06 浙江卷)已知函数 f(x)=x + x ,数列|x n |(x n >0)的第一 项 x n =1,以后各项按如下方式取定:曲线 x=f(x)在 ( xn?1 , f ( xn?1 )) 处的切线 与经过(0,0)和(x n ,f (x n ))两点的直线平行(如图)

求证:当 n ? N 时,
*

n ?1 2 ? xn ? ( ) n?2 。 (Ⅰ)x 2 n ? xn ? 3xn?1 ? 2 xn?1 ; (Ⅱ) ( )

1 2

1 2

证明: ( I )因 为 f ( x) ? 3x ? 2 x, 所 以曲线 y ? f ( x) 在 ( xn?1 , f ( xn?1 )) 处 的切 线斜率
' 2

2 kn?1 ? 3xn ? 2xn?1. ?1
2 2 因为过 (0, 0) 和 ( xn , f ( xn )) 两点的直线斜率是 xn ? xn ? 3xn?12 ? 2xn?1 . ? xn , 所以 xn

(II)因为函数 h( x) ? x ? x 当 x ? 0 时单调递增,
2
2 而 xn ? xn ? 3xn?12 ? 2xn?1 ? 4xn?12 ? 2xn?1 ? (2xn?1 )2 ? 2xn?1 ,

所以 xn ? 2 xn?1 ,即

xn?1 1 x x x 1 ? , 因此 xn ? n ? n ?1 ????? 2 ? ( )n ?1. xn 2 xn ?1 xn ?2 x1 2
- 11 -

2 又因为 xn ? xn ? 2( xn?1 ? xn?1 ), 令 yn ? xn ? xn , 则

2

2

yn?1 1 ? . yn 2

1 2 1 n?2 1 n ?1 1 n?2 2 因此 xn ? xn ? xn ? ( ) , 故 ( ) ? xn ? ( ) . 2 2 2

2 因为 y1 ? x1 ? x1 ? 2, 所以 yn ? ( ) n ?1 ? y1 ? ( ) n ?2 .

1 2

点评:切线方程的斜率与函数的导数对应,建立了几何图形与函数值的对应。 题型 6:平面几何问题 例 11.已知 ?ABC 三顶点是 A(4,1), B(7,5), C (?4,7) ,求 ? A 的平分线 AD 的长。 解析:第一步,简单数形结合,在直角坐标系下,描出已知点 A, B, C ,画出 ?ABC 的边 及其 ? A 的平分线 AD 。 (如图) 第二步,观察图形,挖掘图形的特性(一般性或特殊性) ,通过数量关系证明(肯定或 否定)观察、挖掘出来的特性。特性有: (1) AB ? AC ; (2) ?BAD ? ?CAD ? 45? ; (3) CD ? 2DB , (4) ?ABC ? 2?ACB ? 60? 等等。 证明:∵ A(4,1), B(7,5), C (?4,7) ∴ AB ? (3, 4), AC ? (?8,6) , AB ? 5, AC ? 10 ∵ AB ? AC ? ?3? 8 ? 4 ? 6 ? 0 ∴(1) AB ? AC ,∵ AD 是 ? A 的平分线; ∴(2) ?BAD ? ?CAD ? 45? ,∵ ; ∴(3) CD ? 2DB ,∵ tan ?ABC ? tan ?60? ? 3 ? 2 , ∴(4) ?ABC ? 2?ACB ? 60? 不正确, 第三步,充分利用图形的属性,创造性地数形结合,完成解题。过点 D 作 DE ? AB ,交

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

CD DB

?

AC AB

?

10 ? 2 (角平分线定理) 5

??? ?

??? ?

AB 于点 E ,则有 ?BDE ∽ ?BCA 或 DE ?
答出) AD ?

1 10 AC ? 等等。又在 Rt ?ADE 中, (可以口 3 3

2 DE ?

10 2 。 3

点评:数形结合的基础是作图要基本准确,切忌随手 作图!数形结合的关键是挖掘图形的几何属性,切忌

- 12 -

只重数量关系忽视位置关系!如果把本题的图形随手作成如下一般平面图形,则失去了 数形结合的基础,很难挖掘出图形的几何属性,是很失败的。 例 12.已知 A={(x,y)||x|≤1,|y|≤1},B={(x,y)|(x – a ) +(y – a ) ≤1, a ∈R},
2 2

若 A∩B≠ ? ,则 a 的取值范围是



解析:如图,集合 A 所表示的点为正方形 PQRS 的内部及其边界,集合 B 所表示的点为以

C( a , a )为圆心,以 1 为半径的圆的内部及其边界.而圆心 C( a , a )在直线 y=x 上,故要使 A∩B≠ ? ,
则 ?1 ?
2 2 ? a ? 1? 2 2

为所求。

点评:应用几何图象解决问题时,尤其要注意特殊点(或位置)的情况,本题就是按照 这样的思路直接求出实数 a 的取值范围。 【思维总结】 从目前高考“注重通法,淡化特技”的命题原则来看,对于数形结合的数学思想方法, 我们在复习时,应将重点置于解析几何中图象的几何意义的重视与挖掘以及函数图象的充分 利用之上即可。 数形结合的思想方法应用广泛,常见的如在解方程和解不等式问题中,在求函数的值域, 最值问题中,在求复数和三角函数问题中,运用数形结合思想,不仅直观易发现解题途径, 而且能避免复杂的计算与推理,大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越, 要注意培养这种思想意识,要争取胸中有图,见数想图,以开拓自己的思维视野。 数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来,关键是代数问题 与图形之间的相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化。在运用数形结合思想 分析和解决问题时,要注意三点:第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代 数特征,对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义;第二是恰当设参、 合理用参,建立关系,由数思形,以形想数,做好数形转化;第三是正确确定参数的取值范 围。

- 13 -


更多相关文档:

2012届高三数学第二轮复习《数形结合思想》专题三

2012 届高三数学二轮复习【数形结合】专题三数形结合的数学思想:包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面。 题型一数形结合思想在解决方程的根的个数、不...

【二轮精品】2013届高三数学二轮复习精品教学案:【专题...

二轮精品】2013届高三数学二轮复习精品教学案:【专题一数形结合思想 隐藏>> 【专题一数形结合思想【考情分析】在高考题中,数形结合的题目出现在高中数学知...

高三数学二轮复习全套精品系列+专题八+填空题解题策略...

高三数学二轮复习全套精品系列+专题八+填空题解题策略专题辅导 隐藏>> www.shuxue1618.com 专题八: 专题八:填空题解题策略专题辅导【考情分析】 填空题是一种传统...

2012届高三数学文二轮复习课时作业25:数形结合思想

2012年高考数学文科二轮复习课时作业2012年高考数学文科二轮复习课时作业隐藏>> 2012 届高三数学二轮复习课时作业 25 数形结合思想时间:45 分钟 一、选择题(每小...

高中数学二轮专题复习——数形结合思想

高中数学二轮专题复习——数形结合思想_数学_高中教育_教育专区。高中数学第二轮专题复习,数学思想方法思想方法专题数形结合思想 【思想方法诠释】一、数形结合的思想...

2012届高三数学第二轮复习《数形结合思想》专题三(1)_...

2012届高三数学二轮复习数形结合思想专题三(1)_宏病毒文档修复前备份_数学_高中教育_教育专区。今日推荐 88份文档 2014全国高考状元联手分享状元笔记 ...

高三数学专题复习11:数形结合思想

高三数学专题复习11:数形结合思想_高三数学_数学_高中教育_教育专区。专题十一 一、考点回顾 数形结合思想 1.数形结合是把数或数量关系与图形对应起来,借助图形来...

2013届上海高三数学第二轮专题思想(一)数形结合思想

2012届高三数学二轮复习... 4页 2财富值 上海2013届高三数学向量专... 9...2013届上海高三数学第二轮专题思想(一)数形结合思想2013届上海高三数学第二轮专题...

浙江省2012届高三数学二轮复习专题训练:常用逻辑用语_...

1/4 同系列文档 高一上学期数学知识点总结... ...2012 届高三数学二轮复习专题训练:常用逻辑用语 I ...p,利用数形结合, 应有? ? ?f(2)≤0, ? ?f...

2012年高三数学复习-数形结合思想在解题中的应用

2012年高三数学复习-数形结合思想在解题中的应用2012年高三数学复习-数形结合思想在解题中的应用隐藏>> 数形结合思想在解题中的应用一、知识整合 1.数形结合是数...
更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com