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2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系练习 理


2017 版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第 4 讲 直线与圆、 圆与圆的位置关系练习 理
基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、填空题 1.(2015?安徽卷改编 )直线 3x+ 4y = b 与圆 x + y -2x- 2y+ 1= 0 相切,则 b 的值是 ________. 解析 圆方程可化为(x-1) +(y-1) =1,∴该圆是以(1,1)为圆心,以 1 为半径的圆, |3?1+4?1-b| ∵直线 3x+4y=b 与该圆相切,∴ =1.解得 b=2 或 b=12. 2 2 3 +4 答案 2 或 12 2.若圆 C1:x +y =1 与圆 C2:x +y -6x-8y+m=0 外切,则 m=________. 解析 圆 C1 的圆心 C1(0,0),半径 r1=1,圆 C2 的方程可化为(x-3) +(y-4) =25-m, 所以圆心 C2(3,4),半径 r2= 25-m,从而 C1C2= 3 +4 =5.由两圆外切得 C1C2=r1+r2, 即 1+ 25-m=5,解得 m=9. 答案 9 3.(2016?苏北四市模拟)已知过定点 P(2,0)的直线 l 与曲线 y= 2-x 相交于 A,B 两点,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

O 为坐标原点,当 S△AOB=1 时,直线 l 的倾斜角为________.
1 π 解析 由于 S△AOB= ? 2? 2sin ∠AOB=sin ∠AOB=1,∴∠AOB= ,∴点 O 到直线 l 2 2 的距离 OM 为 1,而 OP=2,OM=1,在直角三角形 OMP 中∠OPM=30°,∴直线 l 的倾斜角 为 150°. 答案 150° 4.(2016?青岛一模)过点 P(1, 3)作圆 O:x +y =1 的两条切线,切点分别为 A 和 B,则 弦长 AB=________. 解析 如图所示,∵PA,PB 分别为圆 O:x +y =1 的切线, ∴AB⊥OP. ∵P(1, 3),O(0,0), ∴OP= 1+3=2. 1 又∵OA=1,在 Rt△APO 中,cos ∠AOP= , 2 ∴∠AOP=60°, ∴AB=2OAsin∠AOP= 3.
1
2 2 2 2

答案

3

5.(2015?重庆卷)若点 P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点 P 处的切线方程为 ________. 解析 点 P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则圆的方程为 x +y =5,设所求直线为 y |-k+2| 1 -2=k(x-1),即 kx-y-k+2=0,圆心到直线的距离 d= = 5,解得 k=- , 2 2 k +1 1 5 ∴直线为- x-y+ =0,即 x+2y-5=0. 2 2 答案 x+2y-5=0 6.(2016?苏、 锡、 常、 镇模拟)过点 A(3,1)的直线 l 与圆 C:x +y -4y-1=0 相切于点 B, → → 则CA?CB=________. 解析 法一 由已知得:圆心 C(0,2),半径 r= 5, △ABC 是直角三角形,AC= (3-0) +(1-2) = 10,BC= 5,∴cos ∠ACB= = 5 10 ,
2 2 2 2 2 2

BC AC

→ → → → ∴CA?CB=|CA|?|CB|?cos ∠ACB=5. → → → → → →2 → → → → 法二 CA?CB=(CB+BA)?CB=CB +BA?CB,由于 BC= 5,AB⊥BC,因此CA?CB=5+0 =5. 答案 5 7.(2015?南京、盐城模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,过点 P(5,3)作直线 l 与圆 x +y =4 相交于 A,B 两点,若 OA⊥OB,则直线 l 的斜率为________. 解析 由题意可得△AOB 是以 2 为直角边长的等腰直角三角形,所以圆心(0,0)到直线 AB 的距离为 2.又直线 l 的斜率一定存在,设斜率为 k,则直线 l 的方程为 y-3=k(x-5), 即 kx-y+3-5k=0,所以 7 23
2 2 2 2

|3-5k| 7 2 = 2,化简得 23k -30k+7=0,解得 k=1 或 . 2 23 k +1

答案 1 或

8.已知直线 x-y+a=0 与圆心为 C 的圆 x +y +2x-4y-4=0 相交于 A, B 两点, 且 AC⊥BC, 则实数 a 的值为________. 解析 由 x +y +2x-4y-4=0,得(x+1) +(y-2) =9, ∴圆 C 的圆心坐标为(-1,2),半径为 3. 由 AC⊥BC,知△ABC 为等腰直角三角形,
2 2 2 2

2

所以 C 到直线 AB 的距离 d= =6. 答案 0 或 6 二、解答题

3 2 |-1-2+a| 3 2 ,即 2 = ,所以|a-3|=3,即 a=0 或 a 2 2 2 1 +(-1)

9.已知一圆 C 的圆心为(2,-1),且该圆被直线 l:x-y-1=0 截得的弦长为 2 2,求该圆 的方程及过弦的两端点的切线方程. 解 设圆 C 的方程为(x-2) +(y+1) =r (r>0), ∵圆心(2,-1)到直线 x-y-1=0 的距离 d= 2, ∴r =d +?
2 2 2 2 2

?2 2?2 ? =4, ? 2 ?
2 2

故圆 C 的方程为(x-2) +(y+1) =4.
? ?x-y-1=0, 由? 解得弦的两端点坐标为(2,1)和(0,-1). 2 2 ?(x-2) +(y+1) =4, ?

所以过弦的两端点的圆的切线方程为 y=1 和 x=0. 10.已知圆 C:(x-1) +(y+2) =10,求满足下列条件的圆的切线方程. (1)与直线 l1:x+y-4=0 平行; (2)与直线 l2:x-2y+4=0 垂直; (3)过切点 A(4,-1). 解 则 (1)设切线方程为 x+y+b=0(b≠-4), |1-2+b| = 10,∴b=1±2 5, 2
2 2

∴切线方程为 x+y+1±2 5=0; (2)设切线方程为 2x+y+m=0, 则 |2-2+m| = 10,∴m=±5 2, 5

∴切线方程为 2x+y±5 2=0; -2+1 1 (3)∵kAC= = , 1-4 3 ∴过切点 A(4,-1)的切线斜率为-3, ∴过切点 A(4,-1)的切线方程为 y+1=-3(x-4), 即 3x+y-11=0. 能力提升题组 (建议用时:20 分钟) 11.(2015?宿迁模拟)已知过点(2,5)的直线 l 被圆 C:x +y -2x-4y=0 截得的弦长为 4,
3
2 2

则直线 l 的方程为________. 解析 圆 C 的标准方程为(x-1) +(y-2) =5.直线 l 被圆 C 截得的弦长为 4, 则圆心 C(1, 2)到直线 l 的距离为 1.当过点(2,5)的直线 l 的斜率不存在时,l:x=2 适合题意;当斜 |k-2+5-2k| 率存在时,设为 k,则 l:y-5=k(x-2),即为 kx-y+5-2k=0,此时 = k2+1 4 4 7 1,解得 k= ,直线 l: x-y+ =0,即为 4x-3y+7=0,综上可得直线 l 的方程为 x- 3 3 3 2=0 或 4x-3y+7=0. 答案 x-2=0 或 4x-3y+7=0 12.圆 x +2x+y +4y-3=0 上到直线 x+y+1=0 的距离为 2的点共有________个. |-1-2+1| 2 2 解析 圆的方程化为(x+1) +(y+2) =8, 圆心(-1, -2)到直线距离 d= = 2 2,半径是 2 2,结合图形可知有 3 个符合条件的点. 答案 3 13.若圆 C:x +y +2x-4y+3=0 关于直线 2ax+by+6=0 对称,则由点(a,b)向圆所作的 切线长的最小值是________. 解析 圆的标准方程为(x+1) +(y-2) =2,所以圆心为(-1,2),半径为 2.因为圆关 于直线 2ax+by+6=0 对称,所以圆心在直线 2ax+by+6=0 上,所以-2a+2b+6=0, 即 b=a-3,点(a,b)到圆心的距离为
2 2 2 2 2 2 2 2

d= (a+1)2+(b-2)2= (a+1)2+(a-3-2)2
= 2a -8a+26= 2(a-2) +18. 所以当 a=2 时, d 有最小值, 18=3 2, 此时切线长最小, 为 (3 2) -( 2) = 16 =4. 答案 4 14.已知圆 O:x +y =4 和点 M(1,a). (1)若过点 M 有且只有一条直线与圆 O 相切,求实数 a 的值,并求出切线方程. (2)若 a= 2,过点 M 作圆 O 的两条弦 AC,BD 互相垂直,求 AC+BD 的最大值. 解 (1)由条件知点 M 在圆 O 上,
2 2 2 2 2 2 2

所以 1+a =4,则 a=± 3. 当 a= 3时,点 M 为(1, 3),

kOM= 3,k 切=-

3 , 3 3 (x-1). 3

此时切线方程为 y- 3=-

4

即 x+ 3y-4=0, 当 a=- 3时,点 M 为(1,- 3),kOM=- 3,k 切= 此时切线方程为 y+ 3= 即 x- 3y-4=0. 所以所求的切线方程为 x+ 3y-4=0 或 x- 3y-4=0. (2)设 O 到直线 AC,BD 的距离分别为 d1,d2(d1,d2≥0), 则 d1+d2=OM =3. 又有 AC=2 4-d1,BD=2 4-d2, 所以 AC+BD=2 4-d1+2 4-d2. 则(AC+BD) =4?(4-d1+4-d2+2 4-d1? 4-d2) =4?[5+2 16-4(d1+d2)+d1d2] =4?(5+2 4+d1d2). 9 2 2 2 2 因为 2d1d2≤d1+d2=3,所以 d1d2≤ , 4 当且仅当 d1=d2= 6 5 2 2 时取等号,所以 4+d1d2≤ , 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 . 3

3 (x-1). 3

5? ? 2 所以(AC+BD) ≤4??5+2? ?=40. 2? ? 所以 AC+BD≤2 10, 即 AC+BD 的最大值为 2 10.

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