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3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示


主备人:汪相

审核人:叶丐舟
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课题:3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 班级 【学习目标】
1、理解空间向量与有序数组之间的一一对应关系; 2.能用坐标表示空间向量,掌握空间向量的坐标运算。

【学习重点难点】
空间向量的坐标表示

一 自主学习
1、空间直角坐标系: (1)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长
z

为1 ,这个基底叫单位正交基底,用{i, j, k} 表示; (2)在空间选定一点 O
A(x,y,z)

和一个单位正交基底 {i, j, k} ,以点 O 为原点,分别以 i, j , k 的方向为正 方向建立三条数轴: x 轴、 y 轴、 z 轴,它 们都叫 立了一个空间直角坐标系 O ? xyz ,点 O 叫原点,向量 量. .我们称建
x

k i O j y

都叫坐标向

叫坐标平面,分别称为 xOy 平面, yOz 平面, zOx 平面; ,

2、空间直角坐标系中的坐标: 在空间直角坐标系 O ? xyz 中,对空间任一点 A , 使 的坐标,记作 提出疑惑: ,有序实数组 ,x叫 ,y叫

叫作向量 A 在空间直角坐标系 O ? xyz 中 ,z叫

[来

新课探究
z

如图:在空间直角坐标系 O ? xyz 中,分别取与 x 轴、y 轴、z
A(x,y,z)

轴方向相同的单位向量 i, j , k 作为基向量,对于空间任一向量 a , 由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组( x , y , z ) ,使

k i x O j y

先预习后思考,最后才是做题目。

主备人:汪相

审核人:叶丐舟

a ? xi ? y j ? zk ;有序实数组(x,y,z)叫做向量 a 的空间直角坐标系 O ? xyz 中的坐标,
记作 a =(x,y,z) 。 在空间直角坐标系 O-xyz 中,对于空间任意一 点 A(x,y,z) ,向量 OA 是确定的, 容易得到 OA ? xi ? y j ? zk 。 因此,向量 OA 的坐标为 OA ? (x,y,z) 。 这就 是说,当空间向量 a 的起点移至坐标原点时,其终点的坐标就是向量 a 的坐标。 类似于平面向量的坐标运算,我们可以得到空间向量坐标运算的法则。 设 a=( a1 , a2 , a3 ) ,b=( b1 , b2 , b3 ) ,则

a+b=( a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) , a-b=( a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ,

? a=( ? a1 , ? a2 , ? a3 ) ? ? R 。
空间向量平行的坐标表示为

a∥b(a≠0) ? b1 ? ? a1 , b2 ? ? a2 , b3 ? ? a3 (? ? R) 。

二 互动展示
例 1 :已知 a=(1,-3,8) ,b=(3,10,-4) ,求 a+b,a-b,3a。

先预习后思考,最后才是做题目。

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例 2:已知空间四点 A(-2,3,1) ,B(2,-5,3) ,C(10,0,10)和 D(8,4, 9) ,求证:四边形 ABCD 是梯形。



三 总结拓展
知识小结:

四 检测反馈
1.求点 A(2,-3,-1)关于 xOy 平面,zOx 平面及原点 O 的对称点

先预习后思考,最后才是做题目。

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五 作业

1.一向量的终点在点 B(2,-1,7),它在坐标轴上的射影顺次是 4,-4 和 7,则这向量的终点 A 的坐标是( A、(-2,3,0) ) B、(-1,3,5) C、(3,-1,2) D、(0,2,-2)

2.点( 1,-3,2)关于点(-1,2,1)的对称点是( A、(-2,7,1) B、(-3,7,0) C、(1,-7,0)

) D、(1,2,5)

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