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2015年湖南省高中数学竞赛试卷


2015 年湖南省高中数学竞赛试卷
一.选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分,每小题所提供的四个选项中只有一 项是符合题目要求的) 1.将某选手的 9 个得分去掉 1 个最高分,去掉 1 个最低分,7 个剩余分数的平均分为 91,现 场做的 9 个分数的茎叶图有一个数据模糊,无法辩认,在图中以 x 表示,则 7 个剩余分数的 方差为 7 7 8 A

.

116 9

B.

36 7

C.36

D.

6 7 7

9

4

0

1

0

x

9

1

2.半径为 R 的球的内部装有 4 个有相同半径为 r 的小球, 则小球半径 r 的可能的最大值是

A.

3 2? 3

R

B.

6 3? 6

R

C.

1 R 1? 3

D.

5 2? 5

R

3.已知数列 ?an ?和 ?bn ? 对任意 n ? N 都有 an ? bn , 当n ? ?? 时,数列 ?an ? 和 ?bn ? 的极限
*

分别是 A 和 B,则 A. A ? B B.

A? B

C.

A? B

D. A 和 B 的大小关系不确定

4.对所有满足 1 ? n ? m ? 5的m, n ,极坐标方程 ? ? A. 6 B. 9 C. 12

1 表示不同双曲线的条数为 1 ? C cos?
n m

D.

15

5.使关于 x的不等式 x ? 3 ? 6 ? x ? k 有解的实数 k 的最大值是 A. 6 ? 3 B. 3 C.

6? 3

D. 6

6. 设 M ? a a ? x ? y , x, y ? Z , 则对任意的整数 n , 形如 4n,4n ? 1,4n ? 2,4n ? 3 的数中 ,
2 2

?

?

不是 M 中的元素的数为 A. 4 n B.

4n ? 1

C.

4n ? 2

D

4n ? 3

二.填空题(本大题 6 小题,每小题 8 分,满分 48 分,解题时只需将正确答案直接填在题中的横线 上) 7.已知三边为连续自然数的三角形的最大角是最小角的两倍,则该三角形的周长为 8.对任一实数序列 A ? ?a1 , a2 , a3 ,? ? ?? , 定义 ? A 为序列 ?a2 ? a1 , a3 ? a2 , a4 ?a3 ,? ? ?? , 它的第 n 项是 an?1 ? an ,假定序列 ?(?A) 的所有的项都是 1,且 a19 ? a92 ? 0 ,则 a1 的值为

9.满足使 I ? ?

1 ? ?1 ? i ? 为纯虚数的最小正整数 n= ?2 2 3 ?
3 4

n

10.将 1,2,3,? ? ?,9 这 9 个数填在如图所示的 9 个空格中,要求每一行从左到右,每 一列从上到下分别依次增大,当 3,4 固定在图中的位置时,填写空格的方法数 为

11.记集合 T ? ?0,1,2,3,4,5,6?, M ? ?

? a1 a2 a3 a4 ? ? 2 ? 3 ? 4 ai ? T , i ? 1,2,3,4? 将 M 中的元素按 ?7 7 7 7 ?

从大到小的顺序排列,则第 2015 个数是 12.设直线系 M : x cos? ? ( y ? 2) sin ? ? 1(0 ? ? ? 2? ), 对于下列四个命题: ?M 中的所有直线均经过一个定点 ?存在定点 P 不在 M 中的任一条直线上 ?对于任意整数 n(n ? 3) ,存在正 n 边形,其所有边均在 M 中的直线上 ④M 中的直线所能围成的三角形面积都相等 其中真命题的代号是 (写出所以真命题的代号) 三.解答题(本大题共 4 个小题,满分 72 分,解答需要有完整的推理过程或演算步骤) 13.(本小题满分 16 分) 如图所示,AB 为 Rt?ABC 的斜边,I 为其内心.若?IAB 的外接圆的半径为 R,Rt?ABC 的内切圆 半径为 r,求证: R ? (2 ? 2 )r

14.(本小题满分 16 分)

x2 y2 x2 y2 如图,A,B 为椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 和双曲线 2 ? 2 ? 1 的公共顶点,P,Q 分别为双曲 a b a b
线和椭圆上不同于 A,B 的动点,且满足 AP ? BP ? ? ( AQ ? BQ )( ? ? R, ? ? 1) ,求证:

(1)三点 O,P,Q 在同一直线上; (2)若直线 AP,BP,AQ,BQ 的斜率别别为 k1 ,k 2, k3 , k4 , 则k1 ? k2 ? k3 ? k4 是定值.

15.(本小题满分 20 分) 已 知 整 数 数 列 ?an ?, ?bn ? 满 足 : an ?1 ? an ? 1, bn ?1 ?

1 an ? bn , 对 于 正 整 数 n , 定 义 函 数 2

f n ( x) ? x2 ? an x ? bn ,证明:若存在某个 f k ( x) 有两个整数零点,则必有无穷多个 f n ( x) 有两
个整数零点.

16.(本小题满分 20 分)
x 已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ln x ? a( x ?1), g ( x) ? e .

(1)经过原点分别作曲线 y ? f ( x)和y ? g ( x) 的切线 l1和l2 , 已知两切线的斜率互为倒数 , 求

e ?1 e2 ? 1 ?a? 证: . e e
(2)设 h( x) ? f ( x ? 1) ? g ( x) ,当 x ? 0时.h( x) ? 1 恒成立,试求实数 a 的取值范围.


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