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2016数学分析2复习题答案(级数部分)


级数
一、数项级数 1. 级数 ? un 收敛的定义为: (1). 用定义判别 ? ln
n?1 ?

n ?1 的敛散性. n

解 Sn ? ln

2 3 n ?1 n ?1 ? ?2 3 4 ,故发散. ? ln ? ? ? ln ? ln ? ? ? ??? ? ? ln(n ? 1) ?

?? ( n ? ? ) 1 2 n n ? ?1 2 3
? ? n?1 n?1

(2) 证明: 若 ? (a2 n?1 ? a2 n ) 收敛, 且 lim a ? 0 , 则级数 ? an 收敛. n?? n 证明 设 ? (a2 n?1 ? a2 n ) 的和为 S, ? (a2 n?1 ? a2 n ) 与 ? an 的部分和分别为 Sn与? n ,则
n?1 n?1 n?1 ? ? ?

Sn =? (a2 k ?1 ? a2 k ) ? a1 ? a2 ? ? ? a2 n , ? n ? ? ak ? a1 ? a2 ? ? ? an ,
k ?1 k ?1

n

n

于是 lim a ? 0 ,从而 lim ? 2 n ? lim Sn ? S , 又 lim ? 2n?1 ? lim( ? 2n ? a2n?1 ) ? S , 故 lim ? n 收敛,即 ? an 收敛. n?? n n?? n?? n?? n?? n??
n?1

?

2. 级数 ? un 收敛的柯西准则为: (1) 用柯西收敛准则证明:若 ? un , ? vn 收敛,则级数 ? (aun ? bvn ) 收敛,其中 a, b 为常数. 3. 级数 ? un 收敛的必要条件为: 如:判别 ? (?1)n
n?1 ?

n ?1 的敛散性: 2n ? 1
? n?1

? lim | un |? lim n?? n??
cos na 1 ? ) n3 n
?

n ?1 1 ? ? 0,? lim u ? 0, 故发散. n?? n 2n ? 1 2

4.

收敛级数的性质(简述)如: ? (

??

? 1 cos na 收敛, ? 发散,故原积分发散.级数部分和数列有界 3 n?1 n?1 n n

是级数收敛的必要条件, 部分和数列有界是正项级数收敛的充要条件. 如证明:若 {an } 单调减少, an ? 1(n ? N ? ), 且 an ? 1(n ? ?) ,则级数 ? (
n ?1 ?

an ? 1) 收敛. an?1

证明 情形 1 a1 ? 1, 由已知 an ? 1(n ? N ? ), 级数 ? (
n ?1

?

? an ? 1) ? ? 0 , 收敛. n ?1 an?1
? an a ? an?1 a ?1 ? n ? an ? an?1 . 设 ? ( n ? 1) 的部分和为 S n ,则 n?1 a an?1 an?1 n?1

情形 2

a1 ? 1, ? {an } 单调减少, an ? 1(n ? N ? ), ? 0 ?
n

Sn =? (
k ?1

n ? a ?a ? n ak k ?1 ? 1) ? ? ? k ? ? ? ? ak ? ak ?1 ? ? a1 ? an?1 ? a1 k ?1 ak ?1 ? ak ?1 ? k ?1

即此正项级数的部分和数列有界,于是级数收敛.6. 重要比较标准: 7.

? aq ? n?0
n

?

? ?当|q |? 1时, 收敛 ?当|q |? 1时, 发散 ?

;

叙述正项级数比较法及其极限形式、比式法与根式法的极限形式、积分判别法,并判别敛散性:
2n ? (?1) n n?1 3n
?
n ? 2n ? ? 2? ? ( 1 ) ? ?? ? 1 ? n ? ? ? ? 与 ? n ? ? ? ? 皆收敛,故原级数收敛. n?1 3 n? 1 n? 1 n? ? 1 3 3 ? 3? ? ? n n

(1) ? 解

或 ? lim n un ? lim n
n ?? n ??

2n ? (?1) n 2 2 ? ?1 ? ? lim n 1 ? ? ? ? ? 1,?收敛 n n ?? 3 3 3 ? 2 ?
1

n

(2) ?

6n n ! n n?1 n
?



设 un ?
?

? un ?1 6 6n n ! 6n n ! ? ? 1 ,则 ,由比式判别法, 发散. lim ? n n ?? u e nn n ?1 n n

(3) ? (1 ? cos
n?1

1 n

)
? 1 (n ? ?),?发散. 2n



0 ? 1 ? cos
?

1 n

(4) ?

n?5 n(n 2 ? 2)
n?5 n(n ? 2)
2

n?1



0?

?

n n?n
2

?

1 n

(n ? ?),? 发散.

(5) ? ln
n ?2

?

n2 ? 1 n2 ? 1 .



n2 ? 1 2 2 0? ln2 ? ln( ?1 2 ? )2 n ? ( ? 收敛 ? ), n ?1 n ?1 n ?1
1 p n ? 2 n (ln n )
?

(6) ? 解

p ? 0时,n ? 2有

1 1 ? ,级数发散. p n(ln n) n

p>0 时, ? p=1 时, p?1 时,

1 在[2, +?)为非负减函数, 而 x(ln x) p
?? 2

?
?

?? 2
?? 2

?? 1 1 dx ? ? dx ? ln | ln x | p 2 x ln x x ln x

? ?? ,发散.
p ?1
? p ?1

1 1 dx ? (ln x)? p ?1 p x ln x ? p ?1

?? 2

?? ? 1

? ??, ? p ? 1 (ln 2) ?

,p ? 1

故?

1 在 当p ? 1时, 收敛, 当p ? 1时, 发散.8. 绝对收敛与条件收敛的定义为: p n ? 2 n (ln n )
?

条件收敛的级数本身一定收敛. (1)若 ? un 绝对收敛,则 ? un 必定 收敛 ;若 ? un 条件收敛,则 ? | un | 必定 发散. (2)证明:若 ? un 2 与 ? vn 2 都收敛,则 ? un vn 收敛. 证明
1 2 2 ?n ? N? , | un vn |? (un ? vn ), 于是 ? | un vn | 收敛, 从而? un vn收敛. 2

(7) 设 ? an 绝对收敛,证明: ? an (a1 ? a2 ? ? ? an ) 也绝对收敛. 证明 由 ? | an | 收敛,知 ? an 收敛 从而 sn ? a1 ? a2 ? ? ? an 有界,即 ?M ? 0, 使得?n ? N? , 有 | sn |? M , 于是 | an (a1 ? a2 ? ? ? an ) |? M | an | ,故 ? an (a1 ? a2 ? ? ? an ) 绝对收敛,从而 ? an (a1 ? a2 ? ? ? an ) 收敛. 9. 叙述交错级数的莱布尼茨判别法;叙述狄利克雷判别法及阿贝尔判别法;简述绝对收敛级数的性质. 判别下列级数判断下列级数的收敛性,并指出是绝对收敛还是条件收敛: (1) ? (?1)n tan
n?1 ?

1 n
2

解 由于 (?1) n tan

1 1 1 ? tan ~ (n ? ?) , n n n

1 1 ? 1? ? 发散,所以 ? tan n 发散. 又 ?tan ? 单调减少趋于零, 所以 ? n? n ?1 n ?1 n
?

?

? (?1) n tan
n?1

?

1 收敛, 原级数条件收敛. n

(2) ?
n?2

?

cos nx ( p ? 0,0 ? x ? ? ) np cos nx 1 | ? p ,从而原级数绝对收敛,也收敛. np n
n

解 p ? 1时, ?|

1 0 ? p ? 1时, ?x ? (0, ? ),| Pn |?| ? cos kx |? 2sin x cos kx = ? 1 2 k ?1 2sin x k ?1 2
{
|

1

n

1? 1 ? sin ? n ? ? x ? sin x 1 2? 2 ? ? , 1 1 2sin x sin x 2 2

? cos 2nx 1 }单调减少趋于零,由狄利克雷判别法原级数收敛, 同理可证 ? 收敛. 但 p n?2 2n p n

? cos 2nx ? cos nx ? 1 cos nx cos2 nx 1 ? cos 2nx 从而 ? | p | 发散,即原级数条件收敛. 收敛, |? ? , 因? p 发散, ? p p p p n ? 2 n ?2 n ? 2 2n n n n 2n n

(3) ? (?1)n
n?1

?

n ?1 1 ? n?2 5 n
?

解 由 Leibniz 判别法 ? (?1)n
n?1

1
5

n

收敛, {

n ?1 } 单调有界,由阿贝尔判别法,原级数收敛,但 n?2

? n ?1 n ?1 1 1 1 ? 5 ? 5 (n ? ?), ? ? ? 5 发散. 即原级数条件收敛. n?1 n ? 2 n?2 n n n

(4) ?
n?1

?

n sin 2n

n? 5
n? 5 ? n ? v , 而 lim vn?1 ? 1 , 从而原级数绝对收敛,也收敛. n n?? 2n 2n vn 2

解 ?n ? N ? ,

n sin

? n 1 1 ? (5) ? (-1)n?1 ? ?1 ? ? ? ,其中 un ? 0 (n ? 1, 2,3,?) ,且 lim n?? n?1 u

? un

un?1 ?

n



? ? 1 ?1 1 ? 1 ? 1 由 l i mn ? ,知 1 lim ? 2, 故 ? ? ? ? 发散. ? ? ? n?? n?? n?1 u un u u n n?1 ? ? n ? n un?1 ?

记 Sn =? (?1) k ?1 ?
k ?1

n

?1 ?1 n 1 1 ? ?1 1? ?1 1? 1 ? n?1 ? 1, ? lim ? 0. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (?1) ? ? ? ,? lim n?? n?? u u n n ? uk uk ?1 ? ? u1 u2 ? ? u2 u3 ? ? un un?1 ?

于是 S 2 n = (6) ? (?1) n
n ?1 ?

1 1 1 1 1 1 ? ? (n ? ?), 从而原级数收敛, 即原级数条件收敛. ? ? (n ? ?), S 2 n?1 =S 2 n ? u2 n?1 u2 n?2 u1 u1 u2 n?1 u1

1 n
p? 1 n



1 n
1 n

? |(?1) n ?1 ( n ? ?) . 1) p ? 1时, n

1
p? 1 n

|?

1 (n ? ?),从而原级数绝对收敛,也收敛. np
3

2) 0 ? p ? 1时, ? (?1)n
n?1

?

1 1 1 1 { 1 }单调有界,由阿贝尔判别法原级数收敛,但 |(?1) n 1 | ? p (n ? ?), 从而 收敛, p p ? n n n n nn

n?2

? |(?1)

?

n

1 n
p? 1 n

|发散.即原级数条件收敛.

3) p ? 0时,通项不趋于零,发散.
(7)

? (?1)
n ?1

?

n ?1

[

n2 1 ? ] 3n n



2 ? ? n2 1 n ?1 n 1 条件收敛,故原级数条件收敛. , 故 绝对收敛 , 而 l i m n ? ? 1 ? (?1) (?1)n ?1 n ? n ?? 3 3 3 n n ?1 n ?1

n

二、函数列及其一致收敛性 1. 极限函数、收敛域 2. { f n ( x) } 在数集 D 一致收敛于 f ( x) 的定义; 叙述函数列一致收敛的柯西准则及确界极限法(13.1, 13.2). n2 x 2 x (1) f n ( x) ? , g n ( x) ? , x ? ( ? ? , ? ? ) . lim f n ( x ) ?| x | ; lim gn ( x) ? 0 2 n?? n ?? 1 ? n2 x 2 1? n | x | (2)判别一致收敛性 1) f n ( x) ? 解
cos nx 在R n

f ( x)? l i mn f
n ??

x (? )

1 0 , p fn x ,故 ? fn ( x)? 在 (??, ??) 上一致收敛. su ( ?) f x ( ?) ? ( 0n ? ? ) n x?( ? ? , ?? )

? 2x ? n ? 2) ? ? 在 ? 0, a? ? a ? 0? ; 在 ? 0, ? ? ? ? x?n ?



f ( x)? l i mnf
n ??

x ( ? ) f1 ? n (,x )? f ( x )

x a , 故 ? fn ( x)? 在 ? 0, a ? 上一致收敛. lim sup f n ( x) ? f ( x) ? lim ? 0, n ?? n ?? x?n a?n x?? 0, a ?

? f n ( n) ? f ( n) ?

n 1 ? ? ? , ? ? fn ( x)? 在 (??, ??) 上不一致收敛. ? 或 lim sup f n ( x) ? f ( x) ? 1 ? 0 ? n ?? n?n 2 x?( ?? , ?? ) ? ?

3) f n ( x) ? nx(1 ? x)n , x ? [0,1]

1 1 1 ?n ? ?1 解 f ( x ) ? lim f n ( x) ? 0, f n ( ) ? f ( ) ? (1 ? 1 )n ? ? ,故 ? fn ( x)? 在 [0,1] 上 ?[1 ? (? )] ? ? e ( n ? ? ) n ?? n n n n ? ?
不一致收敛. 另解 令g ( x) ? fn ( x) ? f ( x) =nx(1 ? x)n , x ?[0,1] , g ?( x) ? n(1 ? x)
n ?1

?1

[1 ? (1 ? n) x] ? 0得x ?

1 , 又 g (0) ? g (1)=0, 故 n ?1

g ( x)在[0,1]上的最大值为g (

1 1 1 n )=n (1 ? ) , n ?1 n ?1 n ?1

即 lim sup f n ( x) ? f ( x) ? lim n
n ?? x? [ 0,1] n ??

1 1 n (1 ? ) ? e?1 ? 0, n ?1 n ?1

于是 ? fn ( x)? 在 [0,1] 上不一致收敛. 3. 一致收敛函数列的性质
4

(1)若 { f n ( x) } 的每个函数都在 I ? [ a , b ] 连续,且 fn ( x) ? f ( x) ( n ? ? ) , 则 ( A、当 f ( x) 在 I 上间断时, { f n ( x) } 在 I 上不一致收敛; C、当 { f n ( x) } 在 I 上不一致收敛时, f ( x) 在 I 上间断;

A

)

B、当 f ( x) 在 I 上连续时, { f n ( x) } 在 I 上一致收敛; D、 f ( x) 在 I 上有界.

(2)证明:若 ? fn ( x)? 在 R 一致收敛于 f ( x) , 且 ?n ? N? , f n ( x) 在 R 一致连续,则 f ( x) 在 R 也一致连续.

证明 由已知 ? f n ? 在 D 上一致收敛于 f ( x), 于是 ?? ? 0, ?N ? N? , ?n ? N , ?x ? R ,有 f n ( x) ? f ( x) ? ? . 从而对 n ? N ? 1, ?x1 , x2 ? R, 有 fn ( x1 ) ? f ( x1 ) ? ? 及 fn ( x2 ) ? f ( x2 ) ? ? .由 f n ( x) 在 R 一致连续 ? 对上述? ,

?? ? 0, ?x1,x2 ? R ,只要 | x1 ? x2 |? ? , 就有 fn ( x1 ) ? fn ( x2 ) ? ? ,此时 f ( x1 ) ? f (x2 ) = f (x1) ? fn (x1)+fn (x2 ) ? f (x2 )+f n (x1) ? f n (x2 ) ? f (x1) ? f n (x1)|+|f n (x2 ) ? f (x2 )|+|f n (x1) ? f n (x2 ) ? 3? , 即 f ( x) 在 R 也一致连续.
三、函数项级数 1. 收敛域、和函数的定义为 2. 函数项级数的一致收敛与不一致收敛及其判别(P33-37) (1) 叙述函数项级数 ? un ( x) 在数集 D 一致收敛的定义叙述函数项级数一致收敛的柯西准则 (3) 叙述函数项级数一致收敛的必要条件 (4) 叙述 M 判别法、狄利克雷判别法、阿贝尔判别法,并判别一致收敛性: 1). ?
nx 在R 7 2 n?1 1 ? n x
?

解 当 n ? 1 时, un ( x) ?
x 在 ? ?a , a ? ? a ? 0 ? n ?1 n !
? n

1 2n
5 2

,由于

?
n ?1

?

1 2n
5 2

收敛,由 M 判别法,原级数在 R 上一致收敛.

2). ?

解 当 n ? 1 , x ? [?a, a] 时, 法,原级数在 R 上一致收敛. 3). ? 2n (sin
n?1 ?

v xn an ? ? vn ,而 lim n ?1 n ?? v n! n!
n

? 0 ? 1, 由比式判别法, ?

an 收敛, 从而由 M 判别 n ?1 n !

?

?
3n

)arctan nx 在 R
2 ? ? ? ?2 ?2? 2? ) arctan nx ? 2n n ? ? ? ? ? ,级数 ? ? ? n ? ? 收敛,从而由 M 判别法,原级数在 3 3 2 2 ?3? n ?1 2 ? 3 ?
n

解 当 n ? 1 时, 2n (sin R 上一致收敛. 4). ? (?1) n
n ?1 ?

?

?

n

1 n ? x2
2

在R



设 an ( x) ?

1 n ?x
2 2

,bn ( x) ? (?1) n ,则 ?an ( x)? 对固定的 x ? (??,??) 关于 n 是单调的,且 | an ( x) |?
n
?

1 , n

(?1) n 即 ?an ( x)? 在 (??,??) 上一致收敛于零,同时 ? bk ( x) ? 1,由狄利克雷判别法,? 在 (??,??) 上一致 2 k ?1 n ?1 n ? x
收敛. 3. 叙述和函数的连续性、可积性、可微性定理 (1) 证明:函数 f ( x) ? ?
n?1 ?

sin nx 在 (??, ? ?) 上连续可导,并求 lim f ( x), f ?( x). x?? n3
5

? ? sin nx sin nx sin nx 1 而 ? 1 收敛, 由 M 判别法,? 3 在 (??, ? ?) 上一致收敛, 而每项 3 在 (??, ? ?) |? 3 , 3 3 n?1 n n n n n ?1 n ? sin nx ? ? 连续,所以 f ( x ) 在 (??, ? ?) 上连续. lim f ( x) ? ? ? lim 3 ? ? 0. x?? n?1 ? x?? n ? ? ? sin nx ? cos nx 1 , ? sin nx ? cos nx 在 (??, ? ?) 上连续, 且 cos nx 由上知 ? 3 在 (??, ? ?) 上收敛, 由 M 判别法, ? | | ? ? ? ? 3 n?1 n?1 n n2 n2 n2 n2 ? n ?

解 由于 |

在 (??, ? ?) 上一致收敛,从而 f ( x) 在 (??, ? ?) 上可导, f ?( x) ? ?
?

cos nx .(注本题也可只证可导性) n2 n ?1
ln 6

?

(2) 证明:函数 S ? x ? ? ? ne ? nx 在 (0, ??) 上内闭一致收敛、可积;并计算 ?ln 5 S ( x)dx .
n?1



?[a ,b ] ?( , 0 ? ?),当 x ? [a,b] ,有 0 ? ne? nx ? ne? an ,而 n ne? an ? e? a ? 1(n ? ?) ,于是 ? ne? an 收
n ?0

?

敛, 由 M 判别法,

? ne
n ?0 ?
n ?0

?

? nx

在 [ a, b] 上一致收敛, 即

? ne
n ?0

?

? nx

在 (0, ??) 上内闭一致收敛, 又每项 ne

? nx

在 [ a, b]

连续,所以 f ( x) ?

? ne

? nx

在 ?[a, b] ? (0, ??) 上可积.

? nx ne? nx dx ? ? ?ln 5 ne? nx dx ? ? ?ln 5 ne? nx dx ? ? ? ?ln 5 S ( x)dx ? ?ln 5 ? ? ?e ? ? ln 5 n?1 n?1 n?1 n?1 ln 6 ln 6 ln 6 ln 6

?

?

?

?

?

?

ln 6

1 1 1 ?1 1? 5 ?? ? n ? n ? ? ? 6 ? . n?1 ? 5 6 ? 1 ? 1 1 ? 1 20 5 6
?

(3) 证明:函数 S ( x) ? ? r n cos nx 在[0,2? ]可积, 并求其积分.
n?1

?

证 r n cos nx ? r n , 且? r n (0 ? r ? 1)收敛, 于是 ? r n cos nx 在[0,2? ] 上一致收敛,又每项 r n cos nx 在 在[0,2? ] 连续,
n?1 n?1 n n 所以 S ( x) ? ? r n cos nx 在[0,2? ]可积, ?0 S ( x)dx ? ?0 ? r cos nxdx ? ? ?0 r cos nxdx ? 0. n?1 n?1 n?1 ? 2? 2? ? ? 2?

?

?

4. 总结求和函数 方法并求和函数: (1) ? 解
?

n2 ? 1 n x n?1 n
?

?

n2 ? 1 n ? 1 x ? ? (nxn ? xn ) . n?1 n ? 1 n n

? (n ? 1) x n?1 对于 ? nx n , lim un ?1 ( x) ? lim ?| x | ,当 | x |? 1 时,级数收敛,当 | x |? 1 时,级数发散,当 | x |? 1 时, n n ?1 n ?? n ?? u ( x ) nx n
?

级数通项不趋于 0,发散,于是级数 ? nx n 的收敛域为 (?1,1) .
n ?1

? ? ? ? ? x ? x ?? g ( x) ? ? nx n ? x? nx n?1 ? x? ? x n ?? ? x ? xn ? x ? ? , | x |? 1. ? 2 n?1 n?1 n?1 n?1 ? 1 ? x ? (1 ? x) ? 1 ? 1 ? 1 同理可求 ? x n 的收敛域为 (?1,1) . 令 h( x) ? ? xn , | x |? 1, 则 h?( x) ? ? xn?1 ? , 而h(0) ? 0, 于是 n?1 n n?1 n?1 n 1? x 1 x h( x) ? ?0 dx ? ? ln(1 ? x). 1? x ? 1 x2 于是原级数的收敛域为 (?1,1) ,且 s( x) ? ? (nxn ? xn ) ? ? ln(1 ? x), | x |? 1. n?1 n 1? x

? ?

6

(2) ? (?1)n
n?0

?

22 n?1 2 n x 2n ? 1
2 n ?3

1 2 2n ? 1 1 2 2 解 lim un ?1 ( x) ? lim x 2 n? 2 ? 2 n?1 2 n ? 4 x 2 , , 当 4 x ? 1,即 |x ?| 时 , 级 数 收 敛 , 当 4 x ? 1 时 , n ?? 2n ? 3 n ?? u ( x ) 2 2 x n

即 | x |?

? 1 1 1 22 n?1 级数发散, 当 | x |? 1 时, 级数为 ? (?1)n , 由莱布尼兹判别法收敛, 于是级数的收敛域为 [? , ] . n?0 2n ? 1 2 2 2 ?

1 ? 22 n?1 2 n?1 1 22 n?1 2 n 1 x ? g ( x) , x , | x |? , 当 x ? 0时, s(0)=2, 当 x ? 0时,s( x) ? ? (?1)n n?0 x n?0 2n ? 1 x 2n ? 1 2 ? 1 2 2 2 x ? , 而g (0) ? 0 ,故 g ( x) ? ?0 则 | x |? 时, g ?( x) ? ? (?1) n 22 n?1 x 2 n ? dx ? arctan2 x n ?0 2 1 ? (?4 x 2 ) 1 ? 4 x 2 1 ? 4 x2

令 s( x) ? ? (?1)n

? 1 1 22 n?1 2 n?1 1 又 | x | = 时, 级数? (?1)n 于是 g ( x) ? arctan 2 x, | x |? . 从而 x 收敛, arctan 2 x在 | x | = 处连续, n ? 0 2 2 2n ? 1 2

x?0 ? 2, ? s ( x) ? ? 1 . 1 arctan 2 x, | x |? 且x ? 0 ? 2 ?x

(3)

? n!(n ? 2)
n ?0

?

x n ?3

x n?4 n !(n ? 2) 解 lim un ?1 ( x) ? lim ? ? 0, 于是级数的收敛域为 (??, ? ?) . n ?? ( n ? 1)!( n ? 3) n ?? u ( x ) x n ?3 n
令 s ( x) ? ?
? x ? x x n ?3 xn?2 ?xe x , 而g (0) ? 0 , g ( x) ? ?0 xe x dx ? e x ( x ?1) ? 1, 于是 ? ?x? ?xg ( x), g ?( x) ? n ?0 n ! n ?0 n !(n ? 2) n ?0 n !(n ? 2)

?

n?1

和函数 s( x) ? xe x ( x ? 1) ? x, x ? R. 四、幂级数 1.叙述阿贝尔定理: (1)已知 ? an ( x ? 3)n 在 x ? 4 处发散,则其在 x ? 0 处(C )(A)绝对收敛 (2)设幂级数 ? an x 在点 x ? ?3 处收敛 , 则( B )
n

(B)条件收敛

(C)发散

(A)在点 x =3 处绝对收敛 (B)在点 x =2 处绝对收敛 (C)在点 x =3 处收敛 (D)在点 x =4 处发散. 2.求收敛半径: ? an xn (an ? 0)、? a2 n x 2 n、 ? a2 n?1 x 2 n?1、? an [ f ( x)]n型 (皆可看做 ? un ( x) ,对 | un ( x) | 用比式或根式法)
n?1 n?1 n?1 n?1 ? ? ? ?

(1)已知 ? an x n (an ? 0) 在 x ? ?2 处条件收敛,则收敛半径为__2___.
n?1

?

(2) 求收敛域: 1) ?
n?2 xn ? ; n n n ?1 3 ? ( ?2) n
?

解 lim n un ( x) ? lim n
n ??

n ??

n?2 x n | x | 当 | x | ? 1, 即 | x |? 3 时,级数收敛,当 | x | ? 1, 即 | x |? 3 时,级数 ? ? , 3 3 3n ? (?2) n n 3

发散,当 x ? 3 时,级数通项不趋于 0,发散,于是级数的收敛域为 (?3,3) . 2) ?
(n ? 1)5 ( x ? 2)2 n n?0 2n ? 1
?

(也可用 lim n un ( x) ? ( x ? 2) 2 )
n ??

7

5 5 解 lim un ?1 ( x) ? lim (n ? 2) ( x ? 2) 2 n? 2 / (n ? 1) ( x ? 2) 2 n ? ( x ? 2) 2 , 当 ( x ? 2)2 ? 1, 即| x ? 2 |? 1 时,级数收敛, n ?? 2n ? 3 n ?? u ( x ) 2n ? 1 n

当 ( x ? 2)2 ? 1, 即| x ? 2 |? 1 时, 级数发散, 当 x ? 2 ? 1时, 级数通项不趋于 0, 发散, 于是级数的收敛域为 (1,3) . 3.幂级数的性质(P51-52 包括和函数的连续性、可积性与可导性(积分及求导前后的幂级数收敛半径相同) ) 4. 函数展开为幂级数 1) f ( x) 的泰勒级数为 2) 基本展开式
ex

?
n ?0

?

? f ( n) ( x0 ) f ( n) (0) n ( x ? x0 )n ;麦克劳林级数为 ? x . n! n! n ?0

??

xn n ?0 n !
? n

?

x?R

sin x

x2n?1 ? ? ? ?1? x?R ? 2n ? 1?! n ?0

cosx ?

? ? ?1?
n ?0

?

n

x2n x?R ? 2n ?!
x ?1
xn ? ? x ?1

? 1 ? 1 ? x ? x2 ? ? ? xn ? ? ? ? xn 1? x n ?0

(1 ? x)? ? 1 ?

?
1!

x?

? ?? ? 1?
2!

x2 ? ? ?

? ?? ? 1?? ?? ? n ? 1?
n!

ln(1 ? x)

? 1 n 利用 ? ln(1 ? x) ?? ? ? ? ? ? x ? 即得 1 ? x n?0

3) 用间接法展开成麦克劳林级数 1>
1 (1 ? 2 x) 2
? 1 ? 1 ? x ? x2 ? ? ? xn ? ? ? ? xn 1? x n ?0

解 ?

x ?1

?

? 1 1 ? 1 ?? 1 ? ? ? ? (2 x) n ? ? n 2 (1 ? 2 x) 2 ? 1 ? 2 x ? 2 ?0

?

?

2x ? 1 x ? 1 2

? 1? ? ? (2 n x n ) ? ?? ? n2 n?1 x n?1 n?1 2 n ?0

2> cos2x 解 3> cos2x ?
2n ? ? 1 ? cos 2 x 1 ? n (2 x) ? ?1 ? ? ? ?1? ?, 2 2 ? n ?0 ? 2n ? ! ?

x? R

x 2 ? x ? x2

8



x 1 x 1 1 ? ?x ?? [ ? ] 2 2? x? x ( x ? 2)( x ? 1) 3 x ?1 x ? 2
? 1 1 1 1 ? x xn ? ? ? (? ) n ? ? (?1) n n ?1 , x ? 2 2 1 ? (? x ) 2 n ?0 2 2 n ?0 2

| x |? 2

? 1 1 ?? ? ?? x n , | x |? 1 x ?1 1? x n ?0

?

n ? ? x x ? 1 ? (?1)n?1 ? n?1 n x n ? ? [ ( ? 1) ? x ] ? ? ? ? ? n?1 ? 1?x , 2 ? x ? x2 3 n ?0 2n?1 n?0 n ?0 3 ? 2 ?

? 1 ? x ? 1.

4> 5x ? e x ln5 ?

( x ln 5)n ? (ln 5)n n ?? x ? n! n! n ?0 n ?0
n?0

?

x?R

3>

sint x dt ? ?0 ?0 t
x

? ? ?1?

?

n

t 2 n?1 ? 2n ? 1?! t

dt ? ?
n?0

?

? 2n ? 1?!
1
?

? ?1?

n x

2n ?0 t dt ? ? n?0

?

? ?1? x ? 2n ? 1?? 2n ? 1?!
n

2 n?1

,

x?R

五、 函数展开为傅立叶级数 1. 三角函数系的正交性;傅立叶系数 an ?

f ( x) cos nxdx, ???
?

(n ? 0,1, 2,?)

bn ?

1

?

??
?

?

f ( x)sin nxdx, (n ? 1, 2,?) ; 傅立叶级数

a0 ? ? ? (an cos nx ? bn sin nx) . 2 n ?1

2. 叙述收敛定理及黎曼-勒贝格定理. 3. T ? 2? 的奇函数展开成傅立叶级数时, an ? 0 ; 奇函数换为偶函数时,傅立叶系数 bn ? 0 . 练习 1、将下列函数在指定的区间展开成傅立叶级数 ? 1 ? x ?? ? x ? 0 1 1 (1) f ( x) ? ? (a 是常数) (2) f ( x) ? x , ? ? x ? ,并求 ? 的和 2 n ?1 (2 n ? 1) a 0 ? x ? ? 2 2 ? 2、 证明: 当0? x ? ? 时,? 证 对 f ( x) ?
? 1 cos nx x2 ? x ? 2 ? ? ? , 并求? 2的和. 2 n?1 n?1 n n 4 2 6 ?

x2 ? x ? 2 其傅里叶级数 当0? x ? ? 时,收敛于f ( x). ? ? 做偶式周期延拓后的函数满足收敛定理, 连续, 4 2 6

bn ? 0, n ? 1, 2,?
a0 ? 2

?

?

?

0

? x2 ? x ? 2 ? 2 ? x3 ? x 2 ? 2 ? ? ? ? ? dx ? ? ? 2 6 ? ? ?12 4 6 ? 4

? x ? ? 0, ?0

?

;

9

an ?

2

?

?

?

0

? x2 ? x ? 2 ? 2 ? ? x 2 ? x ? 2 ? ? sin nx ? ? ? ? ? ? cos nxdx ? ?0 ? ? ?d ? ? 2 6 ? ? ? 4 2 6 ? ? n ? ? 4
?

2 ?? x 2 ? x ? 2 ? sin nx ? 2 ? ? x ? ? sin nx 1 ? ?? ? ? dx ? ? ? ?0 ? ? ? ? ? ?? 4 2 6 ? n ?0 ? ? 2 2 ? n n? 1 ? cos nx ? 1 ? ? ?x ?? ? ? ? n? ? n ? 0 n?
?

? cos nx ? ? ? ?x ?? ?d ? ? n ?
?
0

?

?

?

0

cos nx 1 dx ? 2 , n ? 1, 2,? , n n?

? 1 cos nx x2 ? x ? 2 ?2 于是,当0? x ? ? 时,? 2 ? ? ? , 令x ? 0, 得 ? 2 ? . n?1 n?1 n n 4 2 6 6

3、设 f ( x) 在 [?? , ? ] 可积,证明:若 ?x ? [?? , ? ] , 有 f ( x ? ? ) ? f ( x) , 则 f ( x) 的傅立叶系数 a2 n?1 ? b2 n?1 ? 0 . 证 (1) a2 n?1 ? 则 令 t ? x ? ?,
0 ?

f ( x) cos(2n ? 1) xdx ? ? f ( x) cos(2n ? 1) xdx ? ? ?? ? ? ? ?
? ?

1

?

1

0

1

?

0

f ( x) cos(2n ? 1) xdx
?

? ? f ( x)cos(2n ?1) xdx=?
于是

?
0

f (t ? ? )cos[(2n ?1)t ? (2n ?1)? ]dt = ? ? f (t )cos(2n ?1)tdt ? ?? f ( x)cos(2n ?1) xdx
0 0

?

a2 n?1 ? 0, ( n ? 1, 2,3,? ),同理可证 b2 n?1 ? 0 ? 0 , ( n ? 1, 2,3,? ).

4、P89 第 2 题证明帕塞瓦尔等式. 证 由已知 f ( x) ?

a0 ? ? ? (an cos nx ? bn sin nx), x ? [?? , ? ] 2 n?1
(n ? 0,1, 2,?),bn ? f ( x) sin nxdx, ? ??
?

其中 an ?

f ( x) cos nxdx, ? ??
?

1

?

1

?

(n ? 1, 2,?).

?

1

?

??
?

?

f 2 ( x)dx ?

? a0 ? ? f ( x ) ? ? (an cos nx ? bn sin nx) ? dx ? ? ? ?? ? 2 n ?1 ? ? a 1 ? 1 ? ? ? = 0 ? f ( x)dx ? ? ? f ( x)? (an cos nx ? bn sin nx) ? dx ? ? ? ? 2 ? ? n ?1 ? ? 2 a 1 ? ?? ? ? 0 ? ? ?? ? an f ( x) cos nx ? bn f ( x)sin nx ?? dx ? ? 2 ? ? n ?1 ? 1
?

由于 f(x)在 [ ?? , ? ] 可积,所以 f(x)在 [ ?? , ? ] 有界,
?

? (a
n ?1

?

n

cos nx ? bn sin nx) 在 [?? , ? ] 一致收敛,故

??a
n ?1

n

f ( x) cos nx ? bn f ( x)sin nx ? 在 [?? , ? ] 一致收敛,于是
2 ? a02 ? ? 1 ? 1 ? ? a 2 2 ? ? ?an ? ? f ( x) cos nx ? dx ? bn ? ? f ( x)sin nx? dx ? ? 0 ? ? ? an ? bn ?. ? ? ? ? 2 n?1 ? ? ? 2 n?1 ?

?

1

?

??
?

?

f 2 ( x)dx ?

判断与填空:( 对的题目有:1,4,5,6,7,10,11,13,14,18,20,21,23,26,29,30,33

第2 2 题s ( 1 ? ) s1, ? ( 2 ) ) 0.

10

1. f ( x) 在 [ a, b] 上可积, 但不一定存在原函数( 3.设 ? f ( x)dx ? F ( x) ? c,

)

2. ? 1/ xdx ? ?ln | x |?1 ? 0 ( ?1
1 ?1

)

? g ( x)dx ? G( x) ? c .
) ( )

则当 F ( x) ? G( x) 时,有 f ( x) ? g ( x) (

)

4.任意可积函数都有界,但反之不真( 5.若 lim a ? 0 ,则 ? an 必发散 n?? n

6. f ( x) 的傅里叶级数不一定收敛于 f ( x) ( 8.若 ? an 收敛, 则 ? an2 亦收敛( )

) )

7.若 ? un ( x) 一致收敛, 则 lim un ( x) ? 0 (
n ??

)

9.若 ? un ( x) 在 I 上一致收敛,则它在 I 上绝对收敛 ( 11.任一幂级数在它的收敛区间内是绝对收敛的 ( 12.幂级数的收敛区间就是它的收敛域 ( ) ) )

10. [ a, b] 上有界函数 f ( x) 可积 ? ?? ? 0, 有对 [ a, b] 的一个分法 T0 ,使 S (T0 ) ? s(T0 ) ? ?

(

)

13.任一幂级数在它的收敛区间内总可逐项求导(

14.若 ? | un | 收敛,则一定有 ? un 收敛

( ( ( (

) ) ) )

15.若 ?x ? (?r , r ), f ( x) 各阶导数皆存在,则 f ( x) 在 (?r , r ) 上可展成 x 的幂级数 16.函数列 ? fn ? x ?? 在 I 上一致收敛是指:对 ?? ? 0 和 ?x ? I , ? N ,当 m ? n ? N 时,有 fn ( x) ? fm ( x) ? ? 17.若函数项级数 ? un ( x) 在 I 上一致收敛,则 ? | un ( x) | 在 I 上也一致收敛 的左、右极限的算术平均值( )

18.设以 2 ? 为周期的函数 f 在区间 [ ? ? , ? ] 上按段光滑, 则在每一点 x ? [ ? ? , ? ] , f 的 Fourier 级数收敛于 f 在点 x 19.若 f ( x) 是以 2? 为周期的连续的奇函数,则傅立叶系数 an ? 0, bn ? 20.若 ?
1 收敛 , 则必有 ? ? 0 ( n1??

1

?

?

?

0

f ( x) sin nxdx (

)

) )

21.设 I 上 { f n ( x)} 收敛于 f .

若存在数列 { xn } ? I, 使 | f n ( xn ) ? f ( xn ) |? ? 0 ,则 { f n ( x)} 在 I 上不一致收敛 (

1 4 ? (?1)2 22. f ( x) ? x 2 在[-1,1]上的傅立叶级数 ? 2 ? 2 cos n? x 的和函数是 s( x) ,则 s(1) ? __, s(2) ? __. 3 ? n?1 n

23.若 ?N ? N? , ?n ? N , 有n un ? 1 ,则 ? un 发散( 24.若 ? vn 敛, un ? vn (n ? 1,2,?), 则 ? un 收敛(

) )

25.若 f ( x) 在 [ a, b] 只有有限个间断点,则 f ( x) 在 [ a, b] 必可积( ) 1 sin x 1 1 26. 设 M ? ? cos 4 xdx, N ? ? (sin 3 x ? cos 4 x)dx, P ? ? (sin x ? cos 4 x)dx ,则 P<M<N ( ?1 1 ? x 2 ?1 ?1 27.设级数 ? un 收敛,则将 ? un 的项任意重排后所得的级数也收敛( ) 28.设 un ? 0 ,对 ? n ,有
un?1 ? 1 , 则 ? un 收敛( un

)

)

29.设 u n ? 0 ,对 ? n ,有

un?1 ? 1 , 则 ? un 发散( un

) )

30.设级数 ? an xn 在 (? R, R) 上的和函数为 f ( x) ,若 f ( x) 为奇函数,则此级数仅出现奇次幂的项 ( 31.若 ? an 和 ? bn 收敛,则 ? an bn 也收敛( ) ) 33.若 ? an 收敛和 ? bn 发散,则 ? (an ? bn ) 发散( 35.广义积分

32.若 ? an 和 ? bn 发散,则 ? (an ? bn ) 也发散( 34. ? an 收敛和 ? bn 发散, ? an bn 发散( )

) )

?

??

1

f ( x)dx 收敛,则 lim f ( x) ? 0 (
x ???

11


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