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高中数学函数与导数综合题型分类1timu


函数综合题分类复习 题型一:关于函数的单调区间(若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开) ,极值,最值;不等式恒成立;此类问题 提倡按以下三个步骤进行解决: 第一步:令

f ' ( x) ? 0 得到两个根;第二步:列表如下;第三步:由表可知;
f ( x) ? g ( x) 恒成立

不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题,常见处理方法有四种: 第一种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----题型特征(已知谁的范围就把谁作为主元) ;第二种:分离变量求最值(请同 学们参考例 5) ;第三种:关于二次函数的不等式恒成立;第四种:构造函数求最值----题型特征

? h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 0 恒成立;参考例 4;

2 x2 , g ( x) ? ax ? 5 ? 2a(a ? 0) 。 例 3.设 f ( x) ? x ?1 (1)求 f ( x ) 在 x ? [0,1] 上的值域; (2)若对于任意 x1 ? [0,1] ,总存在 x0 ? [0,1] ,使得 g ( x0 ) ? f ( x1 ) 成立,求 a 的取值范围。

例 4.已知函数

f ( x) ? x3 ? ax2 图象上一点 P(1, b) 的切线斜率为 ?3 , g ( x) ? x3 ? t ? 6 x 2 ? (t ? 1) x ? 3
(Ⅱ)当 x ? [?1, 4] 时,求

2

(t ? 0)

(Ⅰ)求 a , b 的值;

f ( x) 的值域;

(Ⅲ)当 x ? [1, 4] 时,不等式

f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 t 的取值范围。

例 5.已知定义在 R 上的函数 (Ⅰ)求函数

( a ? 0) 在区间 ? ?2,1? 上的最大值是 5,最小值是-11. f ( x) ? ax3 ? 2ax2 ? b f ( x) 的解析式; ? tx ? 0 恒成立,求实数 x 的取值范围. (Ⅱ)若 t ? [?1,1] 时, f ?( x)

1

例 7.已知函数 (1 ) (2 )

2 10 x3 图象上斜率为 3 的两条切线间的距离为 2 5 a 若函数 g ( x) 在 x ? 1 处有极值,求 g ( x) 的解析式;

f ( x) ?

,函数 g ( x) ?

f ( x) ?

3bx2 ? 3. a2

若函数 g ( x) 在区间 [ ?1,1] 上为增函数,且 b

2

? mb ? 4 ? g ( x) 在区间 [ ?1,1] 上都成立,求实数 m 的取值范围.

成立问题;用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(看是否在 0 的同侧) ,如果是同侧则不必分类讨论;若在 0 的两侧,则 必须分类讨论,要注意两边同除以一个负数时不等号的方向要改变呀!有时分离变量解不出来,则必须用另外的方法; 第二种:利用子区间(即子集思想) ;首先求出函数的单调增或减区间,然后让所给区间是求的增或减区间的子集; 第三种方法:利用二次方程根的分布,着重考虑端点函数值与 0 的关系和对称轴相对区间的位置; 特别说明:做题时一定要看清楚“在(a,b)上是减函数”与“函数的单调减区间是(a,b) ” ,要弄清楚两句话的区别; (例 8) (2)函数与 x 轴即方程根的个数问题解题步骤(例 8,9,11,13,14,15,16,18,19,20) 第一步:画出两个图像即“穿线图” (即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后 增再减” ; 第二步:由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组) ;主要看极大值和极小值与 0 的关系; 第三步:解不等式(组)即可;

1 1 3 (k ? 1) 2 x ? x , g ( x) ? ? kx ,且 f ( x) 在区间 (2,??) 上为增函数. 3 3 2 (1)求实数 k 的取值范围; (2)若函数 f ( x ) 与 g ( x) 的图象有三个不同的交点,求实数 k 的取值范围.
例 8.已知函数

f ( x) ?

例 9.已知函数

3 f ( x) ? ax 3 ? 3x 2 ? 1 ? . (I)讨论函数 f ( x ) 的单调性。 a (II)若函数 y ? f ( x) 在 A、B 两点处取得极值,且线段 AB 与 x 轴有公共点,求实数 a 的取值范围。

2

例 10.已知函数 f(x)=x3-ax2-4x+4a,其中 a 为实数. (Ⅰ)求导数 f ? (x);(Ⅱ)若 f ? (-1)=0,求 f(x)在[-2,2]上的最大值和最小值; (Ⅲ)若 f(x)在(-∞,-2]和[2,+∞)上都是递增的,求 a 的取值范围

f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? c (I)若函数 f ( x ) 的图像上存在点 P ,使点 P 处的切线与 x 轴平行,求实数 a , b 的关系式; (II)若函数 f ( x ) 在 x ? ?1 和 x ? 3 时取得极值且图像与 x 轴有且只有 3 个交点,求实数 c 的取值范围.
例 11.已知:函数

例 12.设 (Ⅰ)求

1 时, f ( x ) 的极小值为 ?1 . 2 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)证明:当 x ? (1, ? ?) 时,函数 f ( x ) 图像上任意两点的连线的斜率恒大于 0.

y ? f ( x ) 为三次函数,且图像关于原点对称,当 x ?

例 13.在函数

)处的切线与直线 6 x ? y ? 7 ? 0. 平行,导函数 f ' ( x ) 的最小 f ( x) ? ax3 ? bx(a ? 0) 图像在点(1,f(1) 值为-12。 (1)求 a、b 的值; (2)讨论方程 f ( x) ? m 解的情况(相同根算一根) 。

3

f ( x) ? ax3 ? bx ? c(a, b, c ? R) ,当 x ? ?1 时, f ( x) 取得极大值 3, f (0) ? 1 . (Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)已知实数 t 能使函数 f (x)在区间(t, t ? 3) 上既能取到极大值,又能取到极小值,记所有的实 f ( x) ( x ? M ) 的零点个数. 数 t 组成的集合为 M.请判断函数 g ( x ) ? x
例 14.已知定义在 R 上的函数

例 15.已知函数

f ( x) ? kx3 ? 3(k ? 1) x 2 ? 2k 2 ? 4, 若f ( x) 的单调减区间为(0,4) 2 (I)求 k 的值; (II)若对任意的 t ? [?1,1],关于x的方程2 x ? 5x ? a ? f (t ) 总有实数解,求 a 取值范围。

f ( x) ? ax3 ? bx2 ? x( x ? R, a, b 是常数 ) ,且当 x ? 1 和 x ? 2 时,函数 f ( x) 取得极值. (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)若曲线 y ? f ( x) 与 g ( x) ? ?3x ? m(?2 ? x ? 0) 有两个不同的交点,求实数 m 的取值范围.
例 16.已知函数 4

f ( x) ? x 3 ? 3t 2 x ? m ( x ? R, t ? 0, m 、 t 为常数)是奇函数。ks5u (Ⅰ)求实数 m 的值和函数 f ( x ) 的图像与 x 轴交点坐标; (Ⅱ)设 g ( x) ?| f ( x) | , x ? ?0,1? ,求 g ( x ) 的最大值 F (t ) .
例 18.函数

例19.已知 f (x)=x +bx +cx+2.⑴若 f(x)在 x=1时有极值-1,求 b、c 的值; ⑵若函数 y=x +x-5的图象与函数 y=
2

3

2

k ?2 的图象恰有三个不同的交点,求实数 k 的取值范围. x

例 20. 设函数

1 3 x ? x 2 ? ax , g ( x) ? 2 x ? b ,当 x ? 1 ? 2 时, f ( x) 取得极值. 3 (1)求 a 的值,并判断 f (1 ? 2 ) 是函数 f ( x ) 的极大值还是极小值; (2)当 x ? [?3,4] 时,函数 f ( x ) 与 g ( x ) 的图象有两个公共点,求 b 的取值范围. f ( x) ?

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