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【新课标人教A版】2014届高考数学(理)总复习限时规范训练:2.4 幂函数与二次函数 Word版含解析]


第二章

第4讲

(时间:45 分钟 分值:100 分) 一、选择题 1 2 1. [2013· 开封模拟]已知幂函数 f(x)=k· xα 的图象过点( , ),则 k+α=( 2 2 A. C. 1 2 3 2 B. 1 D. 2 )

答案:C 解析:∵f(x)=k· xα 是幂函数,∴k=1. 1 2 又 f(

x)的图象过点( , ), 2 2 1 2 1 1 3 ∴( )α= ,∴α= ,∴k+α=1+ = . 2 2 2 2 2 2. 已知二次函数 y=x2-2ax+1 在区间(2,3)内是单调函数, 则实数 a 的取值范围是( A. a≤2 或 a≥3 C. a≤-3 或 a≥-2 答案:A 解析:对称轴 a≤2 或 a≥3,函数在(2,3)内单调递增,选 A 项. 3. [2013· 南宁段考]已知幂函数 f(x)=xα 的部分对应值如下表: x f(x) 则不等式 f(|x|)≤2 的解集是( A. {x|-4≤x≤4} C. {x|- 2≤x≤ 2} 答案:A 解析:由题表知 2 1α 1 =( ) ,∴α= ,∴f(x)= 2 2 2 . ) B. {x|0≤x≤4} D. {x|0<x≤ 2} 1 1 1 2 2 2 B. 2≤a≤3 D. -3≤a≤-2 )

∴(|x|) ≤2,即|x|≤4,故-4≤x≤4. 4. [2013· 威海模拟]已知函数 f(x)=-x2+4x+a(x∈[0,1]),若 f(x)有最小值-2,则 f(x)的 最大值为( )

A. 1 C. 0 答案:A 解析:∵f(x)=-x2+4x+a =-(x-2)2+4+a,且 x∈[0,1], ∴f(x)min=f(0)=a=-2,∴a=-2, f(x)max=f(1)=-12+4×1-2=1.

B. -1 D. 2

5. [2013· 杭州模拟]函数 f(x)=ax2+ax-1 在 R 上恒满足 f(x)<0, 则 a 的取值范围是( A. a≤0 C. -4<a<0 答案:D 解析:当 a=0 时,f(x)=-1 在 R 上恒有 f(x)<0; 当 a≠0 时,∵f(x)在 R 上恒有 f(x)<0,
? ?a<0 ∴? 2 ,∴-4<a<0. ? ?a +4a<0

)

B. a<-4 D. -4<a≤0

综上可知:-4<a≤0. 6. [2013· 陕西五校联考]已知函数 f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3,若存在 f(a)=g(b),则 实数 b 的取值范围为( A. [1,3] C. [2- 2,2+ 2] 答案:D 解析:函数 f(x)=ex-1 的值域为(-1,+∞),g(x)=-x2+4x-3 的值域为(-∞,1], 若存在 f(a)=g(b), 则需 g(b)>-1, 即-b2+4b-3>-1, ∴b2-4b+2<0, ∴2- 2<b<2+ 2. 二、填空题 7. [2013· 广州一测]已知幂函数 y=(m2-5m+7)xm2-6 在区间(0,+∞)上单调递增,则 实数 m 的值为________. 答案:3 解析:由 m2-5m+7=1,得 m=2 或 m=3, m=2 时,y=x
-2

) B. (1,3) D. (2- 2,2+ 2)

在(0,+∞)递减,

m=3 时,y=x3 在(0,+∞)递增,故 m=3. 8. [2013· 抚顺模拟]已知 f(x)=ax2+bx+3a+b 是偶函数,且其定义域为[a-1,2a],则 y =f(x)的值域为________. 31 答案:{y|1≤y≤ } 27 解析:∵f(x)=ax2+bx+3a+b 是偶函数,

∴其定义域[a-1,2a]关于原点对称, 1 即 a-1=-2a,∴a= , 3 ∵f(x)=ax2+bx+3a+b 是偶函数, 即 f(-x)=f(x),∴b=0, 1 2 2 ∴f(x)= x2+1,x∈[- , ], 3 3 3 31 其值域为{y|1≤y≤ }. 27 9. [2013· 金版原创]已知函数 f(x)= ,给出下列命题:

①若 x>1, 则 f(x)>1; ②若 0<x1<x2, 则 f(x2)-f(x1)>x2-x1; ③若 0<x1<x2, 则 x2f(x1)<x1f(x2); f?x1?+f?x2? x1+x2 ④若 0<x1<x2,则 <f( ). 2 2 则所有正确命题的序号是________. 答案:①④ 解析:对于①,f(x)= 是增函数,f(1)=1,当 x>1 时,f(x)>1,①正确;

f?x2?-f?x1? 对于②, >1,可举例(1,1),(4,2),故②错; x2-x1 对于③, f?x1?-0 f?x2?-0 < ,说明图象上两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))到原点连线的斜率越 x1-0 x2-0

来越大,由图象可知,③错; f?x1?+f?x2? x1+x2 对于④, <f( ),根据图象可判断出④正确. 2 2 三、解答题 10. 已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a,且 f(x)>-2x 的解集为{x|1<x<3},方程 f(x)+ 6a=0 有两相等实数,求 f(x)的解析式. 解:设 f(x)+2x=a(x-1)(x-3)(a<0), 则 f(x)=ax2-4ax+3a-2x, f(x)+6a=ax2-(4a+2)x+9a,Δ=(4a+2)2-36a2=0, 16a2+16a+4-36a2=0,20a2-16a-4=0, 5a2-4a-1=0,(5a+1)(a-1)=0, 1 解得 a=- ,或 a=1(舍去) 5 1 1 6 3 因此 f(x)的解析式为 f(x)=- (x-1)(x-3)-2x=- x2- x- . 5 5 5 5 11. [2013· 聊城调研]已知 f(x)=x2+ax+3-a,若当 x∈[-2,2]时,f(x)≥0 恒成立,求 a 的取值范围.

a a2 解:f(x)=x2+ax+3-a=(x+ )2- +3-a. 2 4 a 7 ①当- <-2,即 a>4 时,f(x)min=f(-2)=7-3a≥0,∴a≤ ,又 a>4, 2 3 故此时 a 不存在. a a a2 ②当-2≤- ≤2,即-4≤a≤4 时,f(x)min=f(- )=3-a- ≥0, 2 2 4 ∴a2+4a-12≤0. ∴-6≤a≤2. 又-4≤a≤4, ∴-4≤a≤2. a ③当- >2,即 a<-4 时,f(x)min=f(2)=7+a≥0, 2 ∴a≥-7. 又 a<-4,故-7≤a<-4. 综上得-7≤a≤2. 12. [2013· 德州模拟]是否存在实数 a,使函数 f(x)=x2-2ax+a 的定义域为[-1,1]时,值 域为[-2,2]?若存在,求 a 的值;若不存在,说明理由. 解:f(x)=(x-a)2+a-a2. 当 a<-1 时,f(x)在[-1,1]上为增函数,
?f?-1?=1+3a=-2, ? ∴? ?a=-1(舍去); ?f?1?=1-a=2 ?

当-1≤a≤0 时,
2 ? ?f?a?=a-a =-2, ? ?a=-1; ? ?f?1?=1-a=2

当 0<a≤1 时,
2 ? ?f?a?=a-a =-2, ? ?a 不存在; ?f?-1?=1+3a=2 ?

当 a>1 时,f(x)在[-1,1]上为减函数,
?f?-1?=1+3a=2, ? ∴? ?a 不存在. ? ?f?1?=1-a=-2

综上可得 a=-1.


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