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高中数学必修一人教B版教案3.1.2指数函数图像和性质


【学习目标】 ?掌握指数函数的定义,图象特

征及性质. ? 加深对图象法,比较法等一些 常规方法的理解. ? 体会分类讨论,数形结合等数 学思想.

指数函数的定义: x 函数 y ? a (a

?? ) 其中x是自变量 函数定义域是R 值域是(0, 下列函数中,哪些是指数函数?

? 0且a

? 1) 叫做指数函数,
x

?1? y ? 4 是 ? 2? y ? ?4 否 ?3? y ? x3 x ?1 ?x ? 4? y ? 4 是 ?5? y ? 4 否 ? 6 ? y ? 2 否
x

4否 x



y ? (a 2 ? 4) x

a ? 4 ? 0, 且a ? 4 ? 1
2 2

是一个指数函数,求a的取值范围。
系数为1

?a|a>2或a<-2且a ? ? 5?

定义

y=1 ·a

x

自变量

常数

探究:为什么要规定a>0,且a
? ?

? 1呢?
x
a

①若a=0,则当x>0时,

0

1

=0; x 当x ? 0时, a 无意义. x ②若a<0,则对于x的某些数值,可使 a 无意义. 1 1 x 如 (?2) ,这时对于x= ,x= 4 2 ……等等,在实数范围内函数值不存在. ③若a=1,则对于任何x? R,

a

a =1,是一个常量,没有研究的必要性.
为了避免上述各种情况,所以规定a>0且a?1。

x

在同一坐标系下作出下列函数的函数图象的关系, 解:列出函数数据表,作出图像 x -3
x
x

-2

-1

0 1

1 2

2 4

3 8

2

?1? ? ? ?2? x

1 8 8 1 27
27

1 4
4

1 2 2 1 3 3

1
1 1

3

?1? ? ? ?3?

x

1 9 9

1 2 3 1 3

1 4 9 1 9

1 8 27 1 27

y

?1? y?? ? ? 2?

x

?1? y?? ? ? 3?

x

y ? 3x

y ? 2x

1

0

1

x

y

y

y

?1? y?? ? ? ? ax y2?
(a ? 1)

x

?1? y?? ? ? 3?

x

y ? 3x

y ? 2x

y ? ax
(0 ? a ? 1)

1

1
0

1

x

0

1

0 x

x

y

?1? y?? ? ? 2?

x

?1? y?? ? ? 3?

x

y ? 3x

y ? 2x

y=1 1

0

1

x

指数函数的图像和性质
y

y

y ? ax
(a ? 1)

y ? ax
(0 ? a ? 1)

1

1

0

x

0

x

指数函数的图像和性质 a>1
6 5

0<a<1
6 5 4


1

4

3

3

2

2

1

1

1



-4

-2

-4

-2

0
-1

2

4

6

0
-1

2

4

6

1.定义域:R 2.值域:(0,+∞) 3.最值:无;4.奇偶性:既不是奇函数也不是偶函数 性 5.单调性:在 R上是增函数;在R上是减函数 质 6.其它:(1)过点(0,1),即x=0时,y=1 (2)x>0时,y>1 x>0时,0<y<1 x<0时,0<y<1 x<0时, y>1 (3)函数图象与直线 x=1的交点随着a的增大远离x轴 ?x x
函数y=a 与y ? a 关于y轴对称

比较下列各题中两个值的大小: ①

1 .7

2 .5



1.7

3

解 :利用函数单调性, 1.7 2.5 与 1.7 3 的底数是1.7,它们可以看成函数 y= 1.7 x 当x=2.5和3时的函数值;
5



因为1.7>1,所以函数y= 1.7 在R上是增函数, 而2.5<3,所以,

x

4.5

4

3.5

f?x? = 1.7x
2.5 2 1.5 1

3

1 .7

2 .5

< 1.7

3
-2 -1

0.5

1

2

3

4

5

6

-0.5



0.8

?0.1

?0.2 0 . 8 ,

解:利用函数单调性

0.8

?0.1



0.8

?0.2

的底数是0.8,它们可以看成函数 y= 0.8 x 当x=-0.1和-0.2时的函数值; 因为0<0.8<1,所以函数y= 0.8 x
1.8

在R是减函数,

f?x? = 0.8x

1.6

1.4

而-0.1>-0.2,所以,

1.2

1

0.8

?0.1

<

0.8

?0.2

0.8

0.6

0.4

0.2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

-0.2



.3 0 .9 3.1 1.7 0 ,

3.2

3

2.8

2.6

2.4

解 :根据指数函数的性质, 由图像得,

2.2

2

1.8

f?x? = 1.7x

1.6

1.4

1.2

1

1.7

0.3

?1 且
0.3

0.9

3.1

?1
-2 -1.5 -1 -0.5

0.8

0.6

0.4

0.2

0.5 -0.2

1

1.5

2

2.5

从而有

-0.4

1.7
或者

> 0 .9

3.1

3.2

3

2.8

2.6

2.4

2.2

2

1.8

f?x? = 0.9x

1.6

1.4

1.2

1.7

0.3

>

1.7

0

=

0.9

0

>

0 .9

3.1
-0.5

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0.5 -0.2

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

-0.4

练习: 1、已知下列不等式,试比较m、n的大小: 同底指数幂比大小,构造指数 2 m 2 n m ? n ( ) ?( ) 函数,利用函数单调性 3 3

1.1m ? 1.1n

? ? m? n

同底比较大小

2、比较下列各数的大小:

利用中间量进行比较 底不同,指数也不同 不同底数幂比大小, 利用指数函数图像与底 的关系比较

10 , 0.4?2.5 , 2?0.2

? 0.4

?2.5

? 10 ? 2?0.2

比较指数型值常常

(2)(0.3) -0.3 与 (0.2) -0.3

借助于指数函数的图像 或直接利用函数的单调性
(3)

不同底但同指数
(4)

不同底但可化同底 或选取适当的中介值(常用的特殊值是0和1),再利用单调性比较大小

x x y ? a , y ? b , 思考设a,b,c,d都是不等于1的正数,函数: y ? c x , y ? d x在同一直角坐标系中的图象如图所示. 则a,b,c,d的大小关系是 b ? a ? d ? c

y?c y?d
x

x

Y

y?b

x

b a

y?a

x

d c
O X

X=1

3.已知指数函数 f ( x) ? a
1 3

x

(a>0,且a≠1)的图象

经过点(3,π),求 f(0)、f(1)、f(-3)的值.
解: a ? ? , f ( x) ? ? .
所以,f (0) ? ? ? 1,f (1) ? ? ? ? ,f (?3) ? ?
0 3 1 3 ?1

x 3

?

1

4.求下列函数的定义域:
① ②

?

.

y?2

x2 ?1
3? x

?1? y ?? ? ?3?

解: ① ②

x?R

由 3 ? x ? 0,得 x ? 3

小结归纳:
通过本节课的学习,你学到了哪些知识? ? 你又掌握了哪些数学思想方法? ? 你能将指数函数的学习与实际生活联系起 来吗?
?

作业
1.求下列函数的定义域 : 1 ? (1) y ? 3x
?

(2) y ? 5 ? (3)函数 y ?
?

x ?1

a

2 x ?3

?3

3 恒过点( , 4) 2

求该函数


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