当前位置:首页 >> 数学 >> 【创新设计】2016届 数学一轮第2讲 两直线的位置关系

【创新设计】2016届 数学一轮第2讲 两直线的位置关系


第2讲

两直线的位置关系

基础诊断

考点突破

课堂总结

考试要求

1.根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直,

B级要求;2.用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标,B
级要求;3.两点间的距离、点到直线的距离

、两条平行直线间的 距离,B级要求.

基础诊断

考点突破

课堂总结

知识梳理

1.两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行 对于两条不重合的直线l1,l2,其斜率分别为k1,k2,则有 l1∥l2? k1=k2 .特别地,当直线l1,l2的斜率都不存在时, l1与l2 平行 .

(2)两条直线垂直
如果两条直线l1,l2斜率存在,设为k1,k2,则l1⊥l2 ? k1·k2=-1 ,当一条直线斜率为零,另一条直线斜 率不存在时,两条直线垂直.
基础诊断 考点突破 课堂总结

2.两直线相交 直线 l1:A1x+B1y+C1=0 和 l2:A2x+B2y+C2=0 的公共点
?A x+B y+C =0, ? 1 1 1 ? 的坐标与方程组 ? ?A2x+B2y+C2=0

的解一一对应.

相交?方程组有 唯一解 平行?方程组 无解 ;

,交点坐标就是方程组的解;

重合?方程组有 无数个解 .

基础诊断

考点突破

课堂总结

3.距离公式 (1)两点间的距离公式 平面上任意两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式为 P1P2 = ?x2-x1?2+?y2-y1?2.
2 2 x + y 特别地,原点 O(0,0)与任一点 P(x,y)的距离 OP= .

(2)点到直线的距离公式 平面上任意一点 P0(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离 d |Ax0+By0+C| =

A2+B2

.

基础诊断

考点突破

课堂总结

(3)两条平行线间的距离公式 一般地,两条平行直线 l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0 |C1-C2| 间的距离 d=

A2+B2 .

基础诊断

考点突破

课堂总结

诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)当直线l1和l2的斜率都存在时,一定有k1=k2?l1∥l2.( ×) (2)如果两条直线l1与l2垂直,则它们的斜率之积一定等于-1. ( ×)

(3)已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1,
B1,C1,A2,B2,C2为常数),若直线l1⊥l2,则A1A2+B1B2= 0. (√ ) (4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的 距离. (√ )
基础诊断 考点突破

课堂总结

2.(苏教版必修2P93T5改编)过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行 的直线方程是________.

解析

设所求直线方程为 x-2y+c=0,将(1,0)代入得c=-

1.∴所求直线方程为x-2y-1=0. 答案 x-2y-1=0

基础诊断

考点突破

课堂总结

3.(2014·福建卷改编)已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且 与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是________.

解析 已知圆的圆心为(0,3),直线x+y+1=0的斜率为-1,
则所求直线的斜率为1,所以所求直线的方程为y=x+3,即 x-y+3=0. 答案 x-y+3=0

基础诊断

考点突破

课堂总结

4.直线2x+2y+1=0,x+y+2=0之间的距离是________.
1 解析 先将 2x+2y+1=0 化为 x+y+2=0, 1 |2-2| 3 2 则两平行线间的距离为 d= = 4 . 2
3 2 答案 4

基础诊断

考点突破

课堂总结

5.(2015·徐州检测)若直线(3a+2)x+(1-4a)y+8=0与(5a-2)x +(a+4)y-7=0垂直,则a=________.

解析

由两直线垂直的充要条件,得 (3a + 2)(5a - 2) + (1 -

4a)(a+4)=0, 解得a=0或a=1. 答案 0或1

基础诊断

考点突破

课堂总结

考点一 两直线的平行与垂直 【例1】 已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1

=0.
(1)试判断l1与l2是否平行; (2)当l1⊥l2时,求a的值. 深度思考 建议同学们用两种方法来求解:一是求直线的斜 率,利用斜率的关系求解;二是利用直线方程的系数间的关 系求解.
基础诊断 考点突破 课堂总结

解 (1)法一 当 a=1 时,l1:x+2y+6=0, l2:x=0,l1 不平行于 l2; 当 a=0 时,l1:y=-3, l2:x-y-1=0,l1 不平行于 l2; 当 a≠1 且 a≠0 时,两直线可化为 a 1 l1:y=-2x-3,l2:y= x-(a+1), 1-a 1 ? a ?- = , 2 1-a l1∥l2?? 解得 a=-1, ? ?-3≠-?a+1?, 综上可知,a=-1 时,l1∥l2.
基础诊断 考点突破 课堂总结

法二 由 A1B2-A2B1=0, 得 a(a-1)-1×2=0, 由 A1C2-A2C1≠0,得 a(a2-1)-1×6≠0,
?a?a-1?-1×2=0, ? ∴l1∥l2?? 2 ? ?a?a -1?-1×6≠0,
2 ? ?a -a-2=0, ?? 2 ? ?a?a -1?≠6

?a=-1,

故当 a=-1 时,l1∥l2.

基础诊断

考点突破

课堂总结

(2)法一 当 a=1 时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1 与 l2 不垂直, 故 a=1 不成立; 当 a=0 时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1 不垂直于 l2; 当 a≠1 且 a≠0 时, a 1 l1:y=- x-3,l2:y= x-(a+1), 2 1-a
? a? 1 2 ? ? 由 - · =-1?a= . 3 ? 2? 1-a

2 法二 由 A1A2+B1B2=0,得 a+2(a-1)=0?a=3.

基础诊断

考点突破

课堂总结

规律方法 (1)当含参数的直线方程为一般式时,若要表示出直
线的斜率,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜 率不存在的特殊情况,同时还要注意x,y的系数不能同时为零 这一隐含条件.(2)在判断两直线的平行、垂直时,也可直接利 用直线方程的系数间的关系得出结论.

基础诊断

考点突破

课堂总结

【训练1】 已知过点A(-2,m)和点B(m,4)的直线为l1,直线2x+
y-1=0为l2,直线x+ny+1=0为l3.若l1∥l2,l2⊥l3,则实数 m+n的值为________.

4-m 解析 ∵l1∥l2,∴kAB= =-2,解得 m=-8. m+2
? 1? 又∵l2⊥l3,∴?-n?×(-2)=-1, ? ?

解得 n=-2,∴m+n=-10.
答案 -10
基础诊断 考点突破

课堂总结

考点二 两条直线的交点与点到直线的距离
【例2】 直线l经过点P(2,-5)且与点A(3,-2)和点B(-1,6)的 距离之比为1∶2,求直线l的方程. 解 当直线l与x轴垂直时,此时直线l 的方程为 x= 2 ,点A到

直线l的距离为d1=1,点B到直线l的距离为d2=3,不符合题 意,故直线l的斜率必存在.

基础诊断

考点突破

课堂总结

∵直线 l 过点 P(2,-5), ∴设直线 l 的方程为 y+5=k(x-2), 即 kx-y-2k-5=0. |3 k-?-2?-2k-5| |k-3| ∴点 A(3, -2)到直线 l 的距离 d1= = 2 , 2 k +1 k +1 |- k-6-2k-5| |3 k+11| 点 B(-1,6)到直线 l 的距离 d2= = 2 . 2 k +1 k +1 |k-3| 1 ∵d1∶d2=1∶2,∴ = , |3 k+11| 2 ∴k2+18k+17=0,∴k1=-1,k2=-17. ∴所求直线方程为 x+y+3=0 和 17x+y-29=0.
基础诊断 考点突破 课堂总结

规律方法 利用距离公式应注意:(1)点P(x0,y0)到直线x=a的
距离d=|x0-a|,到直线y=b的距离d=|y0-b|;(2)两平行线间的 距离公式要把两直线方程中x,y的系数化为相等.

基础诊断

考点突破

课堂总结

1 【训练 2】 (1)已知直线 y=kx+2k+1 与直线 y=-2x+2 的交点 位于第一象限,则实数 k 的取值范围是________ . (2)直线 l 过点 P(-1,2)且到点 A(2,3)和点 B(-4,5)的距离相 等,则直线 l 的方程为________.

?y=kx+2k+1, ? 解析 (1)法一 由方程组? 1 y=- x+2, ? 2 ?

基础诊断

考点突破

课堂总结

? ?x=2-4k, ? 2k+1 解得? ? 6k+1 y= . ? ? 2k+1 1 (若 2k+1=0,即 k=- ,则两直线平行) 2
?2-4k 6k+1? ? ∴交点坐标为? , ? ?. ? 2k+1 2k+1?

又∵交点位于第一象限, ? ?2-4k>0, ?2k+1 ∴? ?6k+1 >0, ? ?2k+1

1 1 解得- <k< . 6 2
基础诊断 考点突破 课堂总结

1 法二 如图, 已知直线 y=-2x+2 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A(4,0), B(0,2). 而直线方程 y=kx+2k+1 可变形为 y-1=k(x+2),表示这是一 条过定点 P(-2,1),斜率为 k 的动直线.

基础诊断

考点突破

课堂总结

∵两直线的交点在第一象限, ∴两直线的交点必在线段 AB 上(不包括端点), ∴动直线的斜率 k 需满足 kPA<k< kPB. 1 1 ∵kPA=- ,kPB= . 6 2 1 1 ∴- <k< . 6 2

基础诊断

考点突破

课堂总结

(2)法一 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y-2=k(x +1), 即 kx-y+k+2=0. |2 k-3+k+2| |-4 k-5+k+2| 由题意知 = , 2 2 k +1 k +1 1 即|3 k-1|= |-3k-3|,∴k=- . 3 1 ∴直线 l 的方程为 y-2=- (x+1), 3 即 x+3y-5=0. 当直线 l 的斜率不存在时, 直线 l 的方程为 x=- 1, 也符合题意.
基础诊断 考点突破 课堂总结

1 1 法二 当 AB∥l 时,有 k=kAB=-3,直线 l 的方程为 y-2=-3 (x+1),即 x+3y-5=0. 当 l 过 AB 中点时,AB 的中点为(-1,4). ∴直线 l 的方程为 x=-1. 故所求直线 l 的方程为 x+3y-5=0 或 x=-1.

答案

? 1 1? (1)?-6,2? ? ?

(2)x+3y-5=0 或 x=-1

基础诊断

考点突破

课堂总结

考点三 对称问题

【例3】 已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2).求:
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标; (2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m′的方程; (3)直线l关于点A(-1,-2)对称的直线l′的方程.
? 2 ?y+2 · =-1, 3 ?x+1 解 (1)设 A′(x, y), 再由已知? x-1 y-2 ? 2× 2 -3× 2 +1=0, ? ? 33 ? ?x=-13, 解得? ?y= 4 , ? 13
? 33 4? ∴A′?-13,13?. ? ?

基础诊断

考点突破

课堂总结

(2)在直线 m 上取一点,如 M(2,0),则 M(2,0)关于直线 l 的对称 点必在 m′上. 设对称点为 M′(a,b),
?a+2? ? b+0? ? ? ? ? ? ?2× - 3 × ? 2 ? ? 2 ? +1=0, ? ? ? ? ? 则? ?b-0×2=-1, ? ?a-2 3

解得

?6 30? M′?13,13?. ? ?

设 m 与 l 的交点为

? ?2x-3y+1=0, N,则由? ? ?3x-2y-6=0,

得 N(4,3).

又∵m′经过点 N(4,3), ∴由两点式得直线方程为 9x-46y+102=0.
基础诊断 考点突破 课堂总结

(3)法一 在l:2x-3y+1=0上任取两点,如M(1,1),N(4,3).
则M,N关于点A的对称点M′,N′均在直线l′上. 易知M′(-3,-5) ,N′(-6 ,-7),由两点式可得 l′的方程 为2x-3y-9=0. 法二 设P(x,y)为l′上任意一点, 则P(x,y)关于点A(-1,-2)的对称点为 P′(-2-x,-4-y),

∵P′在直线l上,∴2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,
即2x-3y-9=0.

基础诊断

考点突破

课堂总结

规律方法 (1)点关于点的对称:求点P关于点M(a,b)的对称点

Q的问题,主要依据M是线段PQ的中点,即xP+xQ=2a,yP+yQ
=2b.(2)直线关于点的对称:求直线l关于点M(m,n)的对称直线 l′的问题,主要依据l′上的任一点T(x,y)关于M(m,n)的对称 点T′(2m-x,2n-y)必在l上.(3)点关于直线的对称:求已知点 A(m,n)关于已知直线l:y=kx+b的对称点A′(x0,y0)的坐标,

一般方法是依据l是线段AA′的垂直平分线,列出关于x0,y0的
方程组,由“垂直”得一方程,由“平分”得一方程.(4)直线 关于直线的对称:此类问题一般转化为点关于直线的对称来解 决,有两种情况:一是已知直线与对称轴相交;二是已知直线 与对称轴平行.
基础诊断 考点突破 课堂总结

【训练3】 光线沿直线l1:x-2y+5=0射入,遇直线l:3x-2y
+7=0后反射,求反射光线所在的直线方程.
?x-2y+5=0, ? 由? ? ?3x-2y+7=0,

解 法一

?x=-1, ? 得? ? ?y=2.

∴反射点 M 的坐标为(-1,2).

基础诊断

考点突破

课堂总结

∴反射点 M 的坐标为(-1,2). 又取直线 x-2y+5=0 上一点 P(-5,0),设 P 关于直线 l 的对 称点 P′(x0,y0), 2 y0 由 PP′⊥l 可知,kPP′=- = . 3 x0+5 而 PP′的中点 Q
?x -5 y ? 0 0? 的坐标为? ? 2 , 2 ?, ? ?

x0-5 y0 Q 点在 l 上,∴3· -2· +7=0. 2 2

基础诊断

考点突破

课堂总结

2 ? y0 ?x0+5=-3, 由? ?3?x0-5?-y0+7=0. ?2

17 ? ?x0=-13, 得? ?y0=-32. 13 ?

根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为 29x -2y+33=0.

基础诊断

考点突破

课堂总结

法二 设直线 x-2y+5=0 上任意一点 P(x0,y0)关于直线 l 的对 y0-y 2 称点为 P′(x,y),则 =-3, x0-x 又 PP′的中点 7=0, ? ?y0-y=-2, 3 ?x0-x 由? ? x+x0 3× 2 -?y+y0?+7=0. ? ?
?x+x y+y0? 0 ? ? Q? , ?在 2 2 ? ?

x+x0 y+y0 l 上,∴3× -2× + 2 2

基础诊断

考点突破

课堂总结

可得 P 点的横、纵坐标分别为 -5x+12y-42 12x+5y+28 x0= ,y0= , 13 13 代入方程 x-2y+5=0 中,化简得 29x-2y+33=0, ∴所求反射光线所在的直线方程为 29x-2y+33=0.

基础诊断

考点突破

课堂总结

微型专题 直线系方程的灵活应用
直线系指具有某一共同性质的直线的集合,它有多种不同的 情况,其中以过两条直线交点的直线系为主.利用直线系方 程可以降低运算难度,使解题的过程更加简捷,因此在高考 中这类问题也可能会成为考查的重点.

基础诊断

考点突破

课堂总结

【例4】 已知直线l与点A(3,3)和B(5,2)的距离相等,且过两直线 l1:3x-y-1=0和l2:x+y-3=0的交点,求直线l的方程.

点拨

不需要解两直线l1与l2的交点,可设直线l为:3x-y-

1+λ(x+y-3)=0,再分两种情况分别求解. 解 根据条件可设直线l的方程为3x-y-1+λ(x+y-3)=0, 即 (3 + λ)x + (λ - 1)y - 3λ - 1 = 0 ;直线 l 与点 A(3,3) 和 B(5,2) 的 距离相等可分为两种情况:

基础诊断

考点突破

课堂总结

3-2 3+λ 1 (1)当直线 l 与 A, B 的连线平行时, 可知 kAB= =- , 则 2 3-5 1-λ 1 =-2,解得 λ=-7,此时直线 l 的方程为 x+2y-5=0; (2)当直线 l 过线段 AB 的中点
? 5? M?4,2?时, 将点 ? ? ? 5? M?4,2?代入直线 ? ?

5 17 l 的方程,可得 4(3+λ)+2(λ-1)-3λ-1=0,解得 λ=- 7 ,此 时直线 l 的方程为 x-6y+11=0. 综上,可知所求直线 l 的方程为 x+2y-5=0 或 x-6y+11=0.

基础诊断

考点突破

课堂总结

点评 一般情况下,若两条直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x
+B2y+C2=0有交点,则过l1与l2的交点的直线系方程可设为A1x +B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不含l2),利用这一结论可以避 免求交点时解方程组带来的麻烦.

基础诊断

考点突破

课堂总结

[思想方法]

1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对于斜率都存
在且不重合的两条直线 l1 , l2 , l1∥l2?k1 = k2 ; l1⊥l2?k1·k2 =-1. 2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称.利用 坐标转移法.

3.光线的反射问题具有入射角等于反射角的特点,这样就有两
种对称关系,一是入射光线与反射光线关于过反射点且与反 射轴垂直的直线(法线)对称,二是入射光线与反射光线所在 直线关于反射轴对称.
基础诊断 考点突破 课堂总结

[易错防范]
1.在判断两条直线的位置关系时,首先应分析直线的斜率是否 存在.若两条直线都有斜率,可根据判定定理判断,若直线 无斜率,要单独考虑. 2.使用点到直线的距离公式前必须将直线方程化为一般式,同 时此公式对直线与坐标轴垂直或平行的情况也适用;使用两 平行线间的距离公式时一定要注意先把两直线方程中的 x,y

的系数化成相等.

基础诊断

考点突破

课堂总结


更多相关文档:

【创新设计】第8篇 第2讲 两条直线的位置关系

【创新设计】第8篇 第2讲 两条直线的位置关系_数学_高中教育_教育专区。第2...知识梳理 知识梳理 1.两直线平行与垂直 (1)两条直线平行 对于两条不重合的...

【创新设计】2015高考数学(北师大版)一轮训练:第8篇 第2讲 两条直线的位置关系]

【创新设计】2015高考数学(北师大版)一轮训练:第8篇 第2讲 两条直线的位置关系]_数学_高中教育_教育专区。【创新设计】2015高考数学(北师大版)一轮训练:第8篇...

创新设计】(北师大版)2015届高考数学一轮精品第8篇 第2讲 两条直线的位置关系

创新设计】(北师大版)2015届高考数学一轮精品第8篇 第2讲 两条直线的位置关系_数学_高中教育_教育专区。第2讲 两条直线的位置关系 基础巩固题组 (建议用时:...

2016届《创新设计》数学一轮(文科)人教B版配套作业 第2章 第1讲 函数及其表示

2016届创新设计数学一轮(文科)人教B版配套作业 第2第1讲 函数及其表示...某人开汽车沿一条直线以 60 km/h 的速度从 A 地到 150 km 远处的 B 地...

【创新设计】2015高考数学(人教,理)一轮题组训练:8-2两条直线的位置关系]

【创新设计】2015高考数学(人教,理)一轮题组训练:8-2两直线的位置关系]_数学_高中教育_教育专区。【创新设计】2015高考数学(人教,理)一轮题组训练:8-2两条...

2016届高考数学一轮复习 7.2两条直线的位置关系练习 理

2016届高考数学一轮复习 7.2直线的位置关系练习 理_数学_高中教育_教育专区。第二节 两条直线的位置关系 基础回 顾K 一、直线与直线的位置关系 1.平行与...

【高考领航】2016高三数学一轮复习 第8章 第2课时 两直线的位置关系课时训练 文 新人教

【高考领航】2016高三数学一轮复习 第8章 第2课时 两直线的位置关系课时训练 文 新人教_高三数学_数学_高中教育_教育专区。【高考领航】 2016 高三数学一轮复习...

【创新设计】2015-2016学年高中数学 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系课时作业 新人教A版必修2

【创新设计】2015-2016学年高中数学 2.1.2空间中直线直线之间的位置关系课时作业 新人教A版必修2_数学_高中教育_教育专区。2.1.2 空间中直线直线之间的...

【创新设计】2016届 数学一轮(理科) 人教A版 课时作业 第九章 平面解析几何-2

【创新设计】2016届 数学一轮(理科) 人教A版 课时作业 第九章 平面解析几何-2_高中教育_教育专区。第2讲 两直线的位置关系 基础巩固题组 (建议用时:40 分钟...
更多相关标签:
2016英语创新作文大赛 | 2016创新英语大赛 | 2016创新英语大赛报名 | 创新英语大赛2016初赛 | 2016广西创新 答题器 | 2016全球创新者大会 | 2016创新作文大赛题目 | 2016全国科技创新大会 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com