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高中对数函数知识点及习题


第二节:对数函数
1、对数函数定义:一般地,我们把函数 y ? loga x (a>0 且 a≠1) 叫做对数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞) .值域 为
(??,??)

(对数:一般地,如果

a?a ? 0, a ? 1? 的 b 次幂等于 N, 就是 a b ? N 那

么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 loga N ? b ) * a 叫做对数的底数,N 叫做真数。

注意: ① 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别.如:
y ? 2 log2 x ,

都不是对数函数,而只能称其为对数型函

数. ②对数函数对底数的限制: 2、常用结论: (1)负数与零没有对数 (3)对数恒等式 a log
a

(2) loga 1 ? 0, loga a ? 1
?N

N

log10 N =lgN (4)常用对数: loge N (5)自然对数:

=lnN

(6)底数 a 的取值范围: (0,1) ? (1,??) 真数 N 的取值范围 : (0,??)

3.对数函数的图像和性质:

4、对数的运算法则: (M>0,N>0,a>0,a 不等于 1) (M>0,N>0,a>0,a 不等于 1)
n N ? log a N m
n

(M>0 ,a>0,a 不等于 1)
(4)

log a m

loga N ?

logc N logc a 1 logb a

(5)

(换底公式)

loga b ?

(6)

(对数的大小比较) 例 1、?1?log2 3.4, log2 8.5

?2?log0.3 1.8, log0.3 2.7

?3?loga 5.1, loga 5.9(a ? 0, a ? 1)

(跟踪训练) ?1?log6 7, log7 6

?2?log3 ? , log2 0.8

1? ?3? log0.6 0.8, log3.4 0.7, ? ? ? ? 3?

?

1 2

logm (? ? 3) ? logn (? ? 3) ? 0 例 2、已知,

m, n 为不等于 1 的正数,则下

列关系中正确的是( A.1<m<n C.1<n<m

) B.m<n<1 D.n<m<1

(跟踪训练) 试比较 a,b,c 的大小 ( )

(对数的计算) 例 3、 (1)

(2)

(跟踪训练)(1)lg25+lg2·lg50;

(2)(log43+log83)(log32+log92).

(根据函数画出函数图像) 例 4、 ?1? y ?| lg x |

?2? y ? lg | x |

(求对数函数定义域) 例 5、 (1)

y ? loga (4 ? x)

(2)

(跟踪训练)

?1? f ( x) ?

1 lg( x ? 1) ? 3

?2? f ( x) ?

log 1 ? x ? 3? ? 2
2

?3? f ( x) ?

lg x ? lg(5 ? 3x)

(4)

(求对数函数值域) 例 6、 ?1? f ( x) ? log2 x
x ?[1,2]

?2? f ( x) ? loga x

x ?[1,2]

?3? f ( x) ? log2 ( x2 ? 2)

(跟踪训练)

?4? f ( x) ? log2 (8x ? x2 ? 7)

1? (5) y ? ? ? ? ?3?

?2 x 2 ?8 x ?1

(?3 ≤ x ≤ 1)

(6)y=4x+2x+1+1.

(对数函数的奇偶性)
2 例 7、 函数 y ? log2 ( x ? x ? 1)(x ? R) 的奇偶性为(



A.奇函数而非偶函数 C.非奇非偶函数

B.偶函数而非奇函数 D.既奇且偶函数

(跟踪训练) 已知函数 f(x)是奇函数, 且当 x>0 时, f(x)=x2+lg(x+1), 那么当 x<0 时, f(x)的是 ( A.-x2-lg(1-x) C.x2-lg(1-x) ) B.x2+lg(1-x) D.-x2+lg(1-x)

(对数函数的单调性) 例 8(1)求函数 y ? log2 ( x 2 ? 2x) 的单调递增区间。

(2)求函数

的单调递增区间

(跟踪训练) 1、已知函数 的取值范围 上是减函数,求实数 a

2.已知函数 值范围

在[0,1]上是减函数,求 a 的取

综合练习: 1、 设 3a=4b=36,求 + 的值.
2 a 1 b

2、已知函数

那么他在(0,1)上是增函数还是减函数?

并证明

3、已知函数

的值为(



4、已知函数

y ? lg( x 2 ? ax ? 1)

(1)当定义域为 R 时,求 a 的取值范围; (2)当值域为 R 时,求 a 的取值范围


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