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山东省济南市2007—2008学年第一学期教学质量检测试高二数学(理科)


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山东省济南市 2007—2008 学年第一学期教学质量检测试高二数学(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 120 分,考试时间 120 分钟。 第 I 卷(选择题 共 48 分) 注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。

一、选择题:本大题共 12 个小题.每小题 4 分;共 48 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个 选项是符合题目要求的. 1.设复数 z 满足 A.-2+i 2.数学中的综合法是 A.由结果追溯到产生原因的思维方法 C.由反例说明结果不成立的思维方法 B.由原因推导到结果的思维方法 D.由特例推导到一般的思维方法 ( D. y = 4 x ? 3 )

1 + 2i = i 则z = z
B.-2-i C.2-i D.2+i









3.函数 y = x 3 ? 3 x 2 + 3 在(1,1)处的切线方程为 A. y = ?3 x + 4 B. y = 3 x ? 4 C. y = ?4 x + 3

4.工人甲生产的机器零件合格率为 90%,工人乙生产的机器零件合格率为 96%,现从他们生产的 零件中各抽取 1 件,则此两件中只有 1 件是合格品的概率为 ( A.0.06 B.0.45 C.0.132 )

D.0.236 ( 4 0.6 D.0.46 )

5.已知随机变量 X 的概率分布列如下表:则其数学期望为 X p A.1.86 0 0.1 B.2.86 1 0.2 2 0.04 C.2.96 3 0.06

6.某单位组织职工义务鲜血,在检验合格的人中,O 型血 8 人,A 型血 7 人,B 型血 5 人,AB 型 血 4 人,现从四种血型的人中各选 1 人去献血,共有不同的选法 A.16 种 B.24 种 C.1680 种 D.1120 种 ( )

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7.函数 y =

1 3 1 2 x ? x ? 6 x 的单调区间为 3 2
B. (―∞,―2)和(-2,3) D. (-∞,-2)和(3,+∞)





A. (-2,3) C. (-2,3)和(3,+∞) 8.当 x,y 是什么整数时,复数 z = A.x=3 且 y≠1 C.x=4 且 y≠4,y≠3 9. C100 + C100 ?C 101 =
97 98 98

x?4 + ( x 2 + 3 x ? 4)i 是纯虚数 y ? 3y ? 4
2





B.x=4 且 y≠4,y≠-1 D.x=3,y=4 ( B.101 C.98 D.97 ) )

A.0

10.观察下列数:3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,……中,x,y,z 的值依次是( A.42,41,123 11.已知 ( x 2 ? B.13,39,123 C.24,23,123 D.28,27,123

i x

) n 的展开式中的第三项与第五项的系数之比为 ?

3 , 其中i 2 = ?1 ,则此展开 14


式中的常数项为 A.45i B.-45i C.45



D.-45

12.正态总体为 ? = 0, σ = 1 时的概率密度函数 f ( x ) =

1 2π

?e

?

x2 2

, x ∈ R 则下列判断正确的是
( )

A.函数 f(x)是奇函数且在(-∞,+∞)上单调递减 B.函数 f(x)是奇函数且在(-∞,+∞)上单调递增 C.函数 f(x)是偶函数且有最大值

1 2π 1 2π

D.函数 f(x)是偶函数且有最小值

第Ⅱ卷(非选择题 共 72 分) 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分;共 16 分.将答案填在题中横线上. 13.某校学生会进行换届选举,现有高一学生代表 2 人,高二学生代表 4 人,高三学生代表 2 人, 要从这些代表中选一人为学生会主席,共有的选法种数为 .

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3

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14.

∫ (x
1

3

? 2 x)dx =

.

15.一个容量为 n 的样本分成若干组,已知某组的频数和频率分别为 45 和 0.15,则 n= 16.已知曲线 y = 2x 的一条切线的斜率为 2,则切点的坐标为
2

.

三、解答题:本大题共 6 个小题。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 8 分)求下列函数的导数: (1) y = x + 3 x ? 2 x ;
4 2

(2) y =

sin x 1 + cos x

18. (本小题满分 8 分)按要求完成下列各题: (1)计算 (

1 ? i 10 ) ; 1+ i

(2)已知: z1 , z 2 ∈ C , 求证 : z1 + z 2 = z1 + z 2 .

19. (本小题满分 8 分)求 ( 2 x ?

1 9 ) 展开式中含 x3 的项,并说明它是展开式中的第几项. 2x

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20.在冬季,某地居民对猪肉的需求情况的一组数据为(下图) : 价格 x(万元) 12 需求量 y(吨) 10 (1)求出 y 对 x 的回归方程; (2)如果价格升为 14 万元/吨,请你预测猪肉的需求量是多少. 11 11 10 12 9 13

21. (本小题满分 10 分)用数学归纳法证明: (3n + 1) ? 7 n ? 1( n ∈ N + ) 能被 9 整除.

22. (本小题满分 12 分)当 a > 0时,函数f ( x ) = a +
x

法证明方程 a +
x

x?2 = 0 没有负根. x +1

x?2 在(-1,+∞)是增函数,用反证 x +1

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山东省济南市 2007—2008 学年第一学期教学质量检测试 高二数学(理科)参考答案
一、选择题: 1.C 2.B 3.A 4.C 5.B 6.D 二、填空题 13.8 种 三、解答题:
' 3 2 17.解: (1) y = 4 x + 9 x ? 2

7.D 8.B 9.A 10.A 11.C 12.C

14.12

15.300

16. ( , )

1 1 2 2

(sin x) ' (1 + cos x) ? sin x ? (1 + cos x) ' (2) y = (1 + cos x) 2
'

=

cos x(1 + cos x) ? sin x(? sin x) (1 + cos x) 2

cos x + cos 2 x + sin 2 x 1 = = 2 1 + cos x (1 + cos x)
18. (1)解: (

1 ? i 10 (1 ? i ) 2 10 ) =[ ] 1+ i (1 + i )(1 ? i )

=(

? 2i 10 ) = ?1 2

(2)证明:设 z1 = x1 + y1i, z 2 = x 2 + y 2 i 则左= z1 + z 2 = x1 + y1i + x 2 + y 2 i = ( x1 + x 2 ) + ( y1 + y 2 )i = ( x1 + x 2 ) ? ( y1 + y 2 )i 右= z1 + z 2 = x1 + y1i + x 2 + y 2 i = x1 ? y1i + x 2 ? y 2 i = ( x1 + x 2 ) ? ( y1 + y 2 )i 左=右,即 z1 + z 2 = z1 + z 2 ,得证 19.解:展开式的通项是 Tr +1 = C 9 ( 2 x )
r
9? 2 r

(?

1 r ) 2x

1 = C 9r 2 9? r x 9? r (? ) r x ? r = (?1) r C 9r 2 9? 2 r x 9? 2 r 2

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依题意,有 9 ? 2r = 3, r = 3 所以,展开式中含 x 的项为
3 T3+1 = (?1) 3 C 9 2 3 x 3 = ?672 x 3
3

它是展开式的第 4 项 20.解: (1) 序号 1 2 3 4 x 12 11 10 9 42 y 10 11 12 13 46 x
2

y

2

xy 120 121 120 117 478

144 121 100 81 446

100 121 144 169 434


x=

1 1 (12 + 11 + 10 + 9) = 10.5, y = (10 + 11 + 12 + 13) = 11.5 4 4 478 ? 4 × 10.5 × 11.5 478 ? 483 b= = = ?1 446 ? 441 446 ? 4 × (10.5) 2 a = 11.5 + 1 × 10.5 = 22
∴y 对 x 的回归方程为 y = 22 ? x (2)当 x=14 时, y = 22 ? 14 = 8 21.证明: (1)当 n=1 时, (3+1)×7-1=27 能被 9 整除,命题成立 (2)假设当 n=k 时命题成立,即 (3k + 1) ? 7 k ? 1( n ∈ N + ) 能被 9 整除 那么,当 n=k+1 时, [3( k + 1) + 1] ? 7 k +1 ? 1

= (3k + 1) ? 7 k +1 + 3 ? 7 k +1 ? 1 = 7 ? (3k + 1) ? 7 k + 3 ? 7 k +1 ? 1 = (3k + 1) ? 7 k ? 1 + 6 ? (3k + 1) ? 7 k + 3 ? 7 k +1 = [(3k + 1) ? 7 k ? 1] + (18k + 27) ? 7 k
由归纳假设 (3k + 1) ? 7 k ? 1( n ∈ N + ) 能被 9 整除及 (18k + 27) ? 7 k 是 9 的倍数 所以 [(3k + 1) ? 7 k ? 1] + (18k + 27) ? 7 k 能被 9 整除 即 n=k+1 时,命题成立

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由(1) (2)知命题对任意的 n ∈ N + 均成立 22.证明:假设 f ( x) = 0有负数根x0 ( x0 ≠ ?1), 则f ( x0 ) = 0

0?2 = ?1 0 +1 若 ? 1 < x0 < 0由题意得f ( x0 ) < f (0) = ?1, 故x0 ? (?1,0) f ( 0) = 1 + 若x0 < ?1, a x0 > 0, x0 ? 2 < 0, x0 + 1 < 0,∴ f ( x0 ) > 0
故 x0 ? ( ?∞,?1) 又 x0 ≠ ?1,∴ x0 < 0或x0 ≠ ?1时,f ( x0 ) 与假设矛盾 ∴方程 f ( x ) = a +
x

x?2 = 0 没有负根。 x +1

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