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第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系


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考纲要求: 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;能 根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 3.初步了解

用代数方法处理几何问题的思想.

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1.直线与圆的位置关系 (1)三种位置关系: 相交 、 相切 、 相离 . (2)两种研究方法:

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(3)圆的切线方程常用结论 ①过圆 x2+y2=r2 上一点 P(x0,y0)的圆的切线方程为 x0x+y0y = r2 . ②过圆(x-a)2+(y-b)2=r2 上一点 P(x0,y0)的圆的切线方程为 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. ③过圆 x2+y2=r2 外一点 M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点 所在直线方程为 x0x+y0y=r2.

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2.圆与圆的位置关系
2 2 设圆 O1: (x-a1)2+(y-b1)2=r2 ( r >0) , 圆 O : ( x - a ) + ( y - b ) 1 1 2 2 2

= r2 2(r2>0).
方 位 置 关 系 法

几何法:圆心距 d 与 r1, 代数法:两圆方程联立 r2 的关系
d>r1+r2

组成方程组的解的情况
无解

外离 外切

d=r1+r2

一组实数解

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方 位 置 法 关 系

几何法: 圆心距 d 与 r1, 代数法:两圆方程联立 r2 的关系
|r1-r2|<d<r1+r2
d=|r1-r2|(r1≠r2)

组成方程组的解的情况
两组不同的实数解 一组实数解

相交 内切 内含

0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)

无解

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[自我查验] 1. 判断下列结论的正误. (正确的打“√”, 错误的打“×”) (1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,那么两 圆外切.( )

(2) 如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,那么两圆相 交.( )

(3) 从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两 圆的公共弦所在的直线方程.(
答案:(1)× (2)× (3)×
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)

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2.直线 4x+3y=40 和圆 x2+y2=100 的位置关系是( A.相交 C.相切 B.相离 D.无法确定

)

解析:选 A

因为 d=

40 =8<10=r,所以直线与圆相交. 5

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3.直线 x+2y=0 被圆 C:x2+y2-6x-2y-15=0 所截得的 弦长等于________.

解析:由已知圆心 C(3,1),半径 r=5.又圆心 C 到直线 l 的 距离 d= |3+2| = 5,则弦长=2 r2-d2=4 5. 5

答案:4 5

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4.若过点 A(4,0)的直线 l 与曲线(x-2)2+y2=1 有公共点,则 直线 l 的斜率的最小值为________.

解析:设直线 l 的方程为 y=k(x-4),即 kx-y-4k=0, |2k-4k| 当直线 l 与圆相切时,k 有最大值或最小值.由 2 =1 得 k +1 1 3 3 k = ,∴k=± .故斜率的最小值为- . 3 3 3
2

答案:-

3 3

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5.两圆 x2+y2=1 与(x+4)2+(y-a)2=25 相切,则常数 a= ________.

答案:± 2 5或 0

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6.两圆交于点 A(1,3)和 B(m,1),两圆的圆心都在直线 x-y c + =0 上,则 m+c 的值等于________. 2

解析:由题意可知线段 AB c + =0 上,代入得 m+c=3. 2
答案:3

?m+1 ? ? ? 的中点? ,2?在直线 ? 2 ?

x- y

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[典题 1]

(1)直线 l: mx-y+1-m=0 与圆 C: x2+(y-1)2 ) B.相切 C.相离 D.不确定

=5 的位置关系是( A.相交

(2)若直线 y=x+b 与曲线 x= 1-y2恰有一个公共点,则 b 的取值范围是( A.b∈(-1,1] C.b=± 2 ) B.b=- 2 D.b∈(-1,1]或 b=- 2
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(3)(2015· 山东高考)一条光线从点(-2,-3)射出,经 y 轴 反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1 相切,则反射光线所在直线的 斜率为( ) 3 2 B.- 或- 2 3 4 3 D.- 或- 3 4

5 3 A.- 或- 3 5 5 4 C.- 或- 4 5

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? ?mx-y+1-m=0, (1)法一:由? 2 2 ? ?x +?y-1? =5,

[听前试做]

消去 y,整理

得(1+m2)x2-2m2x+m2-5=0, 因为 Δ=16m2+20>0,所以直线 l 与圆相交. |m| 法二: 由题意知, 圆心(0,1)到直线 l 的距离 d= <1< 5, 2 m +1 故直线 l 与圆相交. 法三:直线 l:mx-y+1-m=0 过定点(1,1),因为点(1,1) 在圆 x2+(y-1)2=5 的内部,所以直线 l 与圆相交.
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(2)由 x= 1-y2知,曲线表示半圆(如图所示),让直线 y=x +b 在图形中运动,可知当-1<b≤1 时,与半圆有一个公共点; |b| 当直线与半圆相切时,也与半圆只有一个公共点,此时 =1, 2 求得 b= 2(舍去)或 b=- 2.

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(3)由已知,得点(-2,-3)关于 y 轴的对称点为(2,-3),由 入射光线与反射光线的对称性, 知反射光线一定过点(2, -3). 设 反射光线所在直线的斜率为 k,则反射光线所在直线的方程为 y +3=k(x-2),即 kx-y-2k-3=0.由反射光线与圆相切,则有 d |-3k-2-2k-3| 4 3 = =1,解得 k=- 或 k=- . 2 3 4 k +1
答案:(1)A (2)D (3)D

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判断直线与圆的位置关系时,通常利用圆心到直线的距离, 注意求距离时直线方程必须化成一般式.

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[典题 2]

(2015· 新课标全国卷Ⅰ)已知过点 A(0,1)且斜率为

k 的直线 l 与圆 C:(x-2)2+(y-3)2=1 交于 M,N 两点. (1)求 k 的取值范围; (2)若 =12,其中 O 为坐标原点,求|MN|.

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[听前试做] (1)由题设可知直线 l 的方程为 y=kx+1. |2k-3+1| 4- 7 因为直线 l 与圆 C 交于两点,所以 2 <1,解得 3 1+k 4+ 7 <k< . 3 所以 k
?4- 的取值范围为? ? 3 ?

7

4+ 7? ? . , 3 ? ?

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(2)设 M(x1,y1),N(x2,y2).将 y=kx+1 代入方程(x-2)2+ (y-3)2=1,整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0. 4?1+k? 7 所以 x1+x2= ,x1x2= . 1+k2 1+k2 4k?1+k? = x1x2 + y1y2 = (1 + k )x1x2 + k(x1 + x2) + 1= 1+k2
2

4k?1+k? +8.由题设可得 +8=12,解得 k=1, 1+k2 所以直线 l 的方程为 y=x+1. 故圆心 C 在直线 l 上,所以|MN|=2.
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求直线被圆所截得的弦长时, 通常考虑由弦心距垂线段作为 直角边的直角三角形,利用勾股定理来解决问题.

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已知圆 C 过点(-1,0),且圆心在 x 轴的负半轴上,直线 l:y =x+1 被该圆所截得的弦长为 2 2,则过圆心且与直线 l 平行的 直线方程为________.

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解析: 设圆心为(a,0)(a<0), 则圆的半径 r=|a+1|, 圆心(a,0) |a+1| 到 y= x+1 的距离为 ,由截得的弦长为 2 2 得 |a+1|2= 2
?|a+1|? ? ?2 ? ? +2,解得 2 ? ?

a=-3,所以过圆心且与 l 平行的直线为 y

-0=x+3,即 x-y+3=0.
答案:x-y+3=0

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[典题 3]

已知点 P( 2+1,2- 2),点 M(3,1),圆 C:(x

-1)2+(y-2)2=4. (1)求过点 P 的圆 C 的切线方程; (2)求过点 M 的圆 C 的切线方程,并求出切线长.

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[听前试做] 由题意得圆心 C(1,2),半径 r=2. (1)∵( 2+1-1)2+(2- 2-2)2=4, ∴点 P 在圆 C 上. 2- 2-2 1 又 kPC= =-1,∴切线的斜率 k=-k =1. 2+1-1 PC ∴过点 P 的圆 C 的切线方程是 y-(2- 2)=1×[x-( 2+ 1)],即 x-y+1-2 2=0. (2)∵(3-1)2+(1-2)2=5>4,∴点 M 在圆 C 外部. 当过点 M 的直线斜率不存在时,直线方程为 x=3,即 x-3 =0.
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又点 C(1,2)到直线 x-3=0 的距离 d=3-1=2=r, 即此时满足题意,所以直线 x=3 是圆的切线. 当切线的斜率存在时,设切线方程为 y-1=k(x-3), 即 kx-y+1-3k=0, |k-2+1-3k| 3 则圆心 C 到切线的距离 d= =r=2,解得 k= . 2 4 k +1 3 ∴切线方程为 y-1= (x-3),即 3x-4y-5=0. 4 综上可得,过点 M 的圆 C 的切线方程为 x-3=0 或 3x-4y-5 =0.∵|MC|= ?3-1?2+?1-2?2= 5,
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∴过点 M 的圆 C 的切线长为 |MC|2-r2= 5-4=1.

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求过某点的圆的切线问题时,应首先确定点与圆的位置关 系,再求切线方程.若点在圆上(即为切点),则过该点的切线只 有一条;若点在圆外,则过该点的切线有两条,此时应注意斜率 不存在的切线.

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过原点 O 作圆 x2+y2-6x-8y+20=0 的两条切线, 设切点分 别为 P,Q,则线段 PQ 的长为________.

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解析: 将圆的方程化为标准方程(x-3)2+(y-4)2=5, 则圆心 为(3,4),半径为 5. 由题意可设切线方程为 y=kx,则圆心(3,4)到直线 y=kx 的 |3k-4| 1 11 距离等于半径,即 2 = 5,解得 k= 或 k= ,则切线方程 2 2 k +1 1 11 为 y= x 或 y= x.联立切线方程与圆的方程,解得两切点 P、Q 2 2
?4 22? 的坐标分别为(4,2),?5, 5 ?,由两点间的距离公式得|PQ|=4. ? ?

答案:4

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[听前试做] (1)设 AP 的中点为 M(x, y), 由中点坐标公式可

知,P 点坐标为(2x-2,2y). 因为 P 点在圆 x2+y2=4 上,所以(2x-2)2+(2y)2=4. 故线段 AP 中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1. (2)设 PQ 的中点为 N(x,y). 在 Rt△PBQ 中,|PN|=|BN|. 设 O 为坐标原点,连接 ON,则 ON⊥PQ,所以|OP|2=|ON|2 +|PN|2=|ON|2+|BN|2, 所以 x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4. 故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x2+y2-x-y-1=0.
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求与圆有关的轨迹问题时, 根据题设条件的不同常采用以下 方法: (1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程. (2)定义法:根据圆、直线等定义列方程. (3)几何法:利用圆的几何性质列方程. (4)代入法: 找到要求点与已知点的关系, 代入已知点满足的 关系式等.

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已知点 P(2,2),圆 C:x2+y2-8y=0,过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,线段 AB 的中点为 M,O 为坐标原点. (1)求 M 的轨迹方程; (2)当|OP|=|OM|时,求 l 的方程及△POM 的面积.

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解:(1)圆 C 的方程可化为 x2+(y-4)2=16, 所以圆心为 C(0,4),半径为 4.

故 x(2-x)+(y-4)(2-y)=0, 即(x-1)2+(y-3)2=2. 由于点 P 在圆 C 的内部, 所以 M 的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.

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(2)由(1)可知 M 的轨迹是以点 N(1,3)为圆心, 2为半径的圆. 由于|OP|=|OM|,故 O 在线段 PM 的垂直平分线上,又 P 在 圆 N 上,从而 ON⊥PM. 1 因为 ON 的斜率为 3,所以 l 的斜率为- , 3 1 8 故 l 的方程为 y=- x+ . 3 3 4 10 又|OM|=|OP|=2 2,O 到 l 的距离为 , 5 4 10 16 |PM|= ,所以△POM 的面积为 . 5 5
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[方法技巧] 1.求圆的方程时,应根据条件选用合适的圆的方程.一般 来说,求圆的方程有两种方法:(1)几何法,通过研究圆的性质进 而求出圆的基本量.(2)代数法,即设出圆的方程,用待定系数法 求解. 2.解答圆的问题,应注意数形结合,充分利用圆的几何性 质,简化运算. 3.圆心在过切点且垂直于切线的直线上. 4.圆心在任一弦的中垂线上. 5.两圆相切时,切点与两圆心三点共线.
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[易错防范] 求轨迹方程和求轨迹是有区别的,求轨迹方程得出方程即 可,而求轨迹在得出方程后还要指明轨迹表示什么曲线.

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