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高三一轮复习等差数列知识点精讲]


高三一轮复习等差数列知识点精讲
知识精讲 1.等差数列的定义: an ? an?1 ? d (d为常数) n ? 2 ) ( ; 【例 1】设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 Sn=2n2-5n,证明数列{an}是等差数列。 【例 2】设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 Sn=n2,则{an}是( A.等比数列,但不是等差数列 C.等差数列,而且也是等比数列



B.等差数列,但不是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列
*

2.等差数列通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N ) ,首项为 a1 ,公差为 d,末项为 an 推广: a n ? a m ? (n ? m)d ,从而 d ?

an ? am ; n?m

总结:等差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ? 1)d ? dn ? a1 ? d 是关于 n 的一次函数,且斜率为公差 d ; 说明:等差数列的单调性: d ? 0 为递增数列, d ? 0 为常数列, d ? 0 为递减数列。 1 【例 1】 (2003 年全国高考题)等差数列{an}中,已知 a1= ,a2+a5=4,an=33,则 n 为( 3 A.48 B.49 C.50 D.51 。 ) 【例 2】首项为-24 的等差数列,从第 10 项起开始为正数,则公差的取值范围是______



【例 3】 (2006 年全国卷 1)设{an}是公差为正数的等差数列,若 a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则 a11+a12+a13 等于( A.120 B.105 C.90 D.75

【例 4】 若数列{an}的前 n 项和 Sn=n2-10n(n=1,2,3,…),则此数列的通项公式为_______________; 数列{nan}中数值最小的 项是第_______项。 3.等差中项 (1)如果 a , A , b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项.即: A ?
a?b 或 2A ? a ? b 2

(2)等差中项:数列 ?a n ?是等差数列 ? 2a n ? a n-1 ? a n ?1 (n ? 2) ? 2a n ?1 ? a n ? a n ? 2 【例 1】如果等差数列 ?a n ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? 12, 那么a1 ? a2 ? ? ? a7 ? ___ .

【例 2】已知 1,a,b 成等差数列,3,a+2,b+5 成等比数列,则等差数列的公差为( A.3 或-3 B.3 或-1 C.3 D.-3 【例 3】 (2010 年高考重庆卷文科 2)在等差数列 ?an ? 中, a1 ? a9 ? 10 ,则 a5 的值为( C、8 3π π 【例 4】在等差数列{an}中,a2+a6= ,则 sin(2a4- )=( 2 3 A. 3 2 1 B. 2 C.- 3 2 A、5 B、6 D、10 ) 1 D.- 2





【例 5】 (2009 北京东城高三第一学期期末检测)已知{an}为等差数列,若 a1+a5+a9=π,则 cos(a2+a8)的值为______. 【例 6】等差数列 ?a n ?的前三项为 x ? 1, x ? 1, 2 x ? 3 ,则这个数列的通项公式为( ) 第 1 页

A. an ? 2n ? 1

B. an ? 2n ? 1

C. an ? 2n ? 3

D. an ? 2n ? 5

4.等差数列的前 n 项和公式: Sn ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) d 1 ? na1 ? d ? n2 ? (a1 ? d )n ? An2 ? Bn(其中 A、B 是常数, 2 2 2 2

所以当 d≠0 时,Sn 是关于 n 的二次式且常数项为 0)

a 特别地, 当项数为奇数 2n ? 1 时, n ?1 是项数为 2n+1 的等差数列的中间项: 2 n ?1 ? S
(项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项)

? 2n ? 1?? a1 ? a2n?1 ? ?
2

? 2n ? 1? an?1


【例 1】 (2011 年高考江西卷文科)设{ an }为等差数列,公差 d = -2, S n 为其前 n 项和.若 S10 ? S11 ,则 a1 =( A.18 B.20 C.22 D.24

【例 2】设 S n 是等差数列 ?a n ? 的前 n 项和,若 S3 ? 3, S6 ? 24 ,则 a9 ? __ . 【例 3】设等差数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,若 S9 ? 72, 则a2 ? a4 ? a9 ? ___ . 【例 4】设等差数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,若 S9 ? 72, 则a2a?为______. ___ . ,则 5 a4 ? a9 ? 【例 5】设 ?a n ? 是公差为-2 的等差数列,如果 a1+a4+….. + a97 =50,那么 a3+a6+ a9+….. + a99 =( A.-182 B.-78 C.-148 D.-82 ) )

【例 6】 (2006 年重庆高考题)在等差数列 ?a n ? 中,若 a4+a6=12,Sn 是数列 ?a n ? 的前 n 项和,则 S9 的值为( A.48 B.54 C.60 D.66 【例 7】 (1)已知等差数列 ?a n ? 的前 5 项之和为 25,第 8 项等于 15,求第 21 项。 (2)等差数列-16,-12,-8……,前几项的和为 72?

5.等差数列的性质 (1)当 m ? n ? p ? q 时,则有 a m ? a n ? a p ? a q ,特别地,当 m ? n ? 2 p 时,则有 am ? an ? 2a p 注: a1 ? an ? a2 ? an ?1 ? a3 ? an ?2 ? ??? , 【例 1】已知 {a n } 是等差数列,且 a 4 ? a7 ? a10 ? 57, a 4 ? a5 ? a6 ? ? ? a14 ? 77, 若a k ? 13, 则 k= 【例 2】在等差数列 {a n } 中,若 a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 120 ,则 2a10 ? a12 ? 【例 3】等差数列 {a n } 中,a2+a7+ a12 =24,求 S13 = 【例 4】已知 {a n } 为等差数列,a1+a8+ a13+ a18=100,求 a10= 【例 5】 (2005 年福建高考题)已知等差数列 {a n } 中,a7+a9=16,a4=1,则 a12=( A.15 B.30 C.31 D.64 )

(2)若 ?an ? 、 ?bn ? 为等差数列,则 ?? an ? b?,?1an ? ?2bn ? 都为等差数列 ? (3)若{ a n }是等差数列,则 Sn , S2 n ? Sn , S3n ? S2 n ,…也成等差数列 【例 1】在等差数列{an}中,若 S4=1,S8=4,则 a9+a10+a11+a12= 第 2 页

【例 2】设 Sn 是等差数列{an}的前 n 和,若

S S4 1 ? ,则 8 ? S8 3 S16

6.等差数列前 n 项和的最值 【例 1】已知数列{an}为等差数列,若 A.11 B.19 a11 <-1,且它们的前 n 项和 Sn 有最大值,则使 Sn>0 的 n 的最大值为( a10 C.20 D.21 ) D.a19<0,a20>0 )

【例 2】已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n(n-40),则下列判断正确的是( A.a19>0,a21<0 B.a20>0,a21<0 C.a19<0,a21>0 【例 3】等差数列{an}中,a1>0,S4=S9,则 Sn 取最大值时,n=

【例 4】等差数列 {an } 中, a1 ? 25 , S9 ? S17 ,问此数列前多少项和最大?并求此最大值。

【例 5】若{an}是等差数列,首项 a1 ? 0, a2003 ? a2004 ? 0 , a2003 ? a2004 ? 0 ,则使前 n 项和 Sn ? 0 成立的最大正整数 n 是

6.等差数列前 n 项和的比值问题 【例 1】 (武汉调研)已知等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn,若

Sn a 2n ? ,求 8 Tn 3n ? 1 a8

【例 2】 (2004 年福建高考题)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若

a5 5 S ? ,则 9 ? ( a3 9 S5
D.



A.1

B.-1

C.2

1 2
a Sn 3n ? 1 ,那么 n ? ________ ? bn Tn 4n ? 3

【例 3】设{ a n }与{ bn }是两个等差数列,它们的前 n 项和分别为 S n 和 Tn ,若 7.设项技巧: ①一般可设通项 an ? a1 ? (n ? 1)d

②奇数个数成等差,可设为…, a ? 2d , a ? d , a, a ? d , a ? 2d …(公差为 d ) ; ③偶数个数成等差,可设为…, a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d ,…(注意;公差为 2 d ) 【例 1】成等差数列的四个数之和为 26,第二个数与第三个数之积为 40,求这四个数。

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8.设数列 ?a n ? 是等差数列,d 为公差, S 奇 是奇数项的和, S 偶 是偶数项项的和, S n 是前 n 项的和 ①当项数为偶数 2n 时,

S奇 ? a1 ? a3 ? a5 ? ??? ? a2 n ?1 ?

n ? a1 ? a2 n ?1 ? 2

? nan

S偶 ? a2 ? a4 ? a6 ? ??? ? a2 n ?
S奇 S偶 ? nan a ? n nan ?1 an ?1

n ? a2 ? a2 n ? 2

? nan ?1

S偶 ? S奇 ? nan ?1 ? nan ? n ? an ?1 ? an ? =nd
②当项数为奇数 2n ? 1 时,则

?S2 n?1 ? S奇 ? S偶 ? (2n ? 1) an+1 ?S奇 ? (n ? 1)an+1 S n ?1 ? ? (其中 an+1 是项数为 2n+1 的等差数列的中间项) ?? ? 奇? ? S奇 ? S偶 ? an+1 S偶 n ? S偶 ? nan+1 ? ? ?
【例 1】一个等差数列的前 12 项和胃 354,前 12 项中偶数项和与奇数项和之比为 32:27,求公差 d

【例 2】项数为 2n+1 的等差数列 ?a n ? 的奇数项的和和偶数项的和之比为



【例 3】项数为奇数的等差数列 {an } 中,奇数项和为 80,偶数项和为 75,求此数列的中间项与项数

【例 4】已知某等差数列共有 10 项,其奇数项之和为 15,偶数项之和为 30,则其公差为( A.5 B.4 C.3 D.2



S2009 S2007 【例 5】等差数列{an}中,Sn 是其前 n 项和,a1=-2010, - =2,则 S2010 的值为________. 2009 2007

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