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3.2.1一元二次不等式及其解法


解一元二次不等式的一般步骤:

1、先将二次项系数化为正数;
2、解对应的一元二次方程(注意 计算判别式或因式分解)

3、结合二次函数的图像或不等号 方向,写出不等式的解集。。

课堂练习
1.解下列不等式 (1)3x2-7x+2<0
(2)–(2x-1)(3x+2)?0 答案:

﹛x|1/3<x<2﹜ {x|x? -2/3或x ?1/2 }
?1 ? 17 ?1 ? 17 {x | ?x? } 8 8

(3)

1-x-4x2>0

(4)4x2+4x+1?0 (5)x2-3x+5>0

?
R

2.求函数

f ( x) ? 2 x 2 ? x ? 3 ? log 3 (3 ? 2 x ? x 2 )

的定义域。
解:由函数f(x)的解析式有意义得
?2 x 2 ? x ? 3 ≥ 0 ? 2 ? 3 ? 2x ? x ? 0

解得

3 ? ? x ≤ ? 或x ≥ 1 2 ? ? ? ?1 ? x ? 3

因此1≤x<3,所求函数的定义域是[1,3).

1 1 例 1.若不等式 ax +bx+2>0 的解集为{x|- <x< }, 2 3
2

则 a+b 的值为( A.-14 C.-16

A

) B.-15 D.-17

1 1 解析:由题设知- 和 是方程 ax2+bx+2=0 的两根, 2 3

?-b=-1+1 ? a 2 3 可得? ?2=-1×1 2 3 ?a

? ?a=-12 解得? . ? ?b=-2

∴a+b=-14.

2 例2:对于x∈R, kx ? ( k ? 2) x ? k ? 0 恒成立,

2 求k 的取值范围。 答案: k ? 3
?a ? 0 ax ? bx ? c ? 0恒成立 ? ? ?? ? 0
2

?a ? 0 ax ? bx ? c ? 0恒成立 ? ? ?? ? 0
2

练习: 已知不等式 2 2 (a ? 1) x ? (a ? 1) x ? 1 ? 0的解集 为全体实数,求实数 a的范围。

3 答案: ? ? a?1 5

例3

2

x 2 ?5 x ? 5

1 ? 2
化为同底,便于比较

1 ? 解:∵ 2 2 x 2 ?5 x ? 5 ?1 ?2 ∴2 2 ∴ x ? 5 x ? 5 ? ?1
x 2 ?5 x ? 5

运用函数的增减性,
转化为一元二次不等 式得解

∴ ( x ? 2)( x ? 3) ? 0

∴原不等式的解集为 ? x x ? 2 或 x ? 3? .

2 log ( x ? 3x ? 4) ? log 1 (2 x ?10) 练习:解不等式: 1 3
3

2 log ( x ? 3x ? 4) ? log 1 (2 x ? 10) 解: ∵ 1 3
3

? x 2 ? 3x ? 4 ? 0 运用函数的增减性 , ? ∴ ?2 x ? 10 ? 0 同解变形,注意真数大于 0 ? x 2 ? 3 x ? 4 ? 2 x ? 10 ? 转化为了一元二次不等式组得解 解得 ?2 ? x ? ?1 或 4 ? x ? 7
∴原不等式的解集为 ? x ?2 ? x ? ?1 或 4 ? x ? 7? .


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