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三轮—数列(js)


三轮复习——数列 【基础训练】
1、已知正项组成的等差数列{an}的前 20 项的和为 100,那么 a6·a15 的最大值为 25 2、 已知{an}的前 n 项和为 Sn, 且满足 log2(Sn+1)=n+1, 则 an=_?

?3 ?2
n

?n=1? ?n≥2?


3、设 a1=2,a2=4,数列{bn}满足:bn=an+1-an,bn+1=2bn+2,则 an=2n 1-2n. 4、若等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,公比为 q ,集合 M ? ? x x ? lim

? ? ? ?

n??

? Sn , q ? ?1, q ? R ? , S2 n ?

则用列举法表示 M ?

? 1 ? ?0, ,1? ? 2 ?

5、如图所示,将若干个点摆成三角形图案,每条边(包括两个端点)有 n(n>1,n∈N*)个点, 相 应 的 图 案 中 总 的 点 数 记 为 an , 则 9 9 9 9 2 011 + + +?+ = a2a3 a3a4 a4a5 a2 012a2 013 2 012

6、已知不等式

1 1 1 1 2 ? ??? ? log a (a ? 1) ? 对大于 1 的自然数 n 都成立, n ?1 n ? 2 2n 12 3

则实数 a 的取值范围为

(1, 1?2 5 )


【例题精选】
例 1、已知向量 p=(an,2n),向量 q=(2n 1, -an+1),n∈N*,向量 p 与 q 垂直,且 a1=1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 bn=log2an+1,求数列{an· bn}的前 n 项和 Sn. 解:(1)∵向量 p 与 q 垂直,∴2nan+1-2n 1an=0,即 2nan+1=2n 1an,
+ +



an+1 - =2,∴{an}是以 1 为首项, 2 为公比的等比数列,∴an=2n 1. an


(2)∵bn=log2an+1,∴bn=n,∴an· bn=n· 2 n 1, ∴Sn=1+2· 2+3· 22+4· 23+?+n· 2n 1,①

[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

∴2Sn=1· 2+2· 22+3· 23+4· 24+?+n· 2n,② ①-②得,-Sn=1+2+22+23+24+?+2n 1-n· 2n=


1-2n -n· 2n=(1-n)2n-1, 1-2

∴Sn=1+(n-1)2n. 例 2 、 已 知 复数 z n ? a n ? bn ? i , 其 中 a n ? R , bn ? R , n ? N , 是 虚 数单 位 ,且
?

z n ?1 ? 2 z n ? z n ? 2i , z1 ? 1 ? i .
(1)求数列 ?a n ? , ?bn ?的通项公式; (2)求和:① a1 a 2 ? a 2 a3 ? ? ? a n a n ?1 ;② b1b2 ? b2 b3 ? b3 b4 ? b4 b5 ? ? ? (?1) n ?1 bn bn ?1 解: (1)? z1 ? a1 ? b1 ? i ? 1 ? i ,? a1 ? 1 , b1 ? 1 . 由

z n ?1 ? 2 z n ? z n ? 2i



?a n ?1 ? 3a n a n ?1 ? bn ?1 ? i ? 2(a n ? bn ? i ) ? (a n ? bn ? i ) ? 2i ? 3a n ? (bn ? 2) ? i ,? ? ?bn ?1 ? bn ? 2

? 数列 ?a n ?是以 1 为首项公比为 3 的等比数列,数列 ?bn ?是以 1 为首项公差为 2 的等差数
列,? a n ? 3 n ?1 , bn ? 2n ? 1 . (2)①由(1)知 a n ? 3 n ?1 ,?

a k a k ?1 ? 3 2 ,? 数列 ?a n a n ?1 ? 是以为首项,公比为 3 2 的等 a k ?1 a k
3(1 ? 3 2 n ) 3 2 n ?1 3 ? ? .??????9 分 1? 9 8 8

比数列.? a1 a 2 ? a 2 a3 ? ? ? a n a n ?1 ? ②当 n ? 2k , k ? N 时,
?

b1b2 ? b2 b3 ? b3b4 ? b4 b5 ? ? ? (?1) n ?1 bn bn ?1 ? (b1b2 ? b2 b3 ) ? (b3b4 ? b4 b5 ) ? ? ? (b2 k ?1b2 k ? b2 k b2 k ?1 )
? ?4b2 ? 4b4 ? ? ? 4b2 k ? ?4(b2 ? b4 ? ? ? b2 k ) ? ?4 ?
?

k (b2 ? b2 k ) ? ?8k 2 ? 4k ? ?2n 2 ? 2n 2

当 n ? 2k ? 1 , k ? N 时, b1b2 ? b2b3 ? b3b4 ? b4b5 ? ? ? (?1) n ?1 bn bn ?1

? (b1b2 ? b2 b3 ) ? (b3 b4 ? b4 b5 ) ? ? ? (b2 k ?1b2 k ? b2 k b2 k ?1 ) ? b2 k ?1b2 k ? 2 ? ?8k 2 ? 4k ? (4k ? 1)(4k ? 3) ? 2n 2 ? 2n ? 1
又 n ? 1 也满足上式

? b1b2 ? b2 b3 ? b3 b4 ? b4 b5 ? ? ? (?1) n ?1 bn bn ?1 ? ? ?

?2n 2 ? 2n ? 1 当n为奇数时
2 ? ?? 2n ? 2n 当n为偶数时

例 3、已知点 P 1 (a1 , b1 ), P 2 (a2 , b2 ),?, P n (an , bn )(n ? N )都在函数 y ? log 1 x 的图象上.
2

?

(1)若数列 ?bn ? 是等差数列,求证数列 ?an ? 为等比数列;

(2)若数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n = 1 ? 2
?

?n

,过点 Pn , Pn ?1 的直线与两坐标轴所围成三角

形面积为 cn ,求使 cn ? t 对 n ?N 恒成立的实数 t 的取值范围. 解: (Ⅰ)因为数列 ?bn ? 是等差数列,故设公差为 d ,

?1? 则 bn?1 ? bn ? d 对 n ?N 恒成立.依题意 bn ? log 1 a n , a n ? ? ? . ?2? 2
?

bn

由 an ? 0 ,所以

a n ?1 ? 1 ? ?? ? an ?2?

bn ?1 ?bn

?1? ? ? ? 是定值,从而数列 ?an ? 是等比数列. ?2?
n

d

(Ⅱ)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ?

1 ?1? ,当 n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? ? ? ,当 n ? 1 时也适合此 2 ? 2?
n

?1? 式,即数列 ?an ? 的通项公式是 a n ? ? ? . ?2?
由 bn ? log 1 a n ,数列 ?bn ? 的通项公式是 bn ? n .
2

所以 Pn (

1 1 1 , n), Pn ?1 ( n ?1 , n ? 1) , 过这两点的直线方程是 y ? n ? ?2 n ?1 ( x ? n ) , 该直 n 2 2 2
n?2 ,0) 和 Bn (0, n ? 2) . 2 n ?1

线与坐标轴的交点是 An (

cn ?

1 (n ? 2)2 OAn ? OBn ? . 2 2n ? 2

因为 c n ? c n ?1 ?

(n ? 2) 2 (n ? 3) 2 2(n ? 2) 2 ? (n ? 3) 2 n 2 ? 2n ? 1 ? ? ? ?0. 2 n? 2 2 n ?3 2 n ?3 2 n ?3
?

即数列 ?cn ? 的各项依次单调递减 ,所以要使 cn ? t 对 n ?N 恒成立,只要 c1 ? t ,又

c1 ?

9 ?9 ? ,可得 t 的取值范围是 ? , ?? ? . 8 ?8 ?

例 4、已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 2Sn ? pan ? 2n , n ? N * ,其中常数 p ? 2 . (1)证明:数列 ?an ? 1? 为等比数列; (2)若 a2 ? 3 ,求数列 ?an ? 的通项公式; (3)对于(2)中数列 ?an ? ,若数列 {bn } 满足 bn ? log 2 (an ? 1) ( n ? N * ) ,在 bk 与 bk ?1 之间插入 2 k ?1 ( k ? N* )个 2,得到一个新的数列 {cn } ,试问:是否存在正整数 m,使

得数列 {cn } 的前 m 项的和 Tm ? 2013 ? 如果存在,求出 m 的值;如果不存在,说明 理由. (1)∵ 2Sn ? pan ? 2n ,∴ 2Sn?1 ? pan?1 ? 2(n ? 1) ,∴ 2an ?1 ? pan ?1 ? pan ? 2 , ∴ an ?1 ?

p 2 p an ? ( an ? 1 ) , ∴ an ?1 ? 1 ? p?2 p?2 p?2

, ∵ 2a1 ? pa1 ? 2 , ∴ a1 ?

p ?0, p?2

∴ a1 ? 1 ? 0 ∴

an ?1 ? 1 p ? ? 0 ,∴数列 ?an ? 1? 为等比数列. an ? 1 p?2 p n p n ) ,∴ an ? ( ) ?1 p?2 p?2

(2)由(1)知 an ? 1 ? (

又∵ a2 ? 3 ,∴ (

p 2 ) ? 1 ? 3 ,∴ p ? 4 ,∴ an ? 2n ? 1 p?2

(3)由(2)得 bn ? log 2 2n ,即 bn ? n,(n ? N * ) , 数列 {Cn } 中, bk (含 bk 项)前的所有项的和是:

( 1 ? 2 ? 3 ? ? ? k ) ? (20 ? 21 ? 22 ? ? ? 2k ?2 ) ? 2 ?
当 k=10 时 , 其 和 是 55 ? 2
10

k (k ? 1) k ?2 ?2 2

? 2 ? 1077 ? 2013 , 当 k=11 时 , 其 和 是

66 ? 211 ? 2 ? 2112? 2013,又因为 2013 ? 1077 ? 936 ? 468 ? 2 ,是 2 的倍数
所以当 m ? 10 ? (1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ) ? 468 ? 989时, Tm ? 2013,
2 8

所以存在 m ? 989 ,使得 Tm ? 2013 例 5、已知数列{an}是各项均不为 0 的等差数列,公差为 d,Sn 为其前 n 项和,且满足 ,n∈N .数列{bn}满足
*

,n∈N ,Tn 为数列{bn}的前 n 项和.

*

(1)求数列{an}的通项公式 an 和数列{bn}的前 n 项和 Tn; (2)若对任意的 n∈N ,不等式
*

恒成立,求实数 λ 的取值范围;

(3)是否存在正整数 m,n(1<m<n) ,使得 T1,Tm,Tn 成等比数列?若存在,求出所有 m,n 的值;若不存在,请说明理由. 解: (1)在 an =S2n﹣1 中,令 n=1,n=2, 得 ,即 (2 分)
2

解得 a1=1,d=2,∴an=2n﹣1. ∵ = ﹣ = ( )=
n

﹣ . (5 分)

) ,

∴Tn= (1﹣ + ﹣ +…+

(2)①当 n 为偶数时,要使不等式 λTn<n+8?(﹣1) 恒成立,即需不等式 λ< =2n+ +17 恒成立. (6 分)∵2n+ ≥8,等号在 n=2 时取得. ∴此时 λ 需满足 λ<25. (7 分) n ②当 n 为奇数时,要使不等式 λTn<n+8?(﹣1) 恒成立,即需不等式 λ< =2n﹣ ﹣15 恒成立. (8 分) ∵2n﹣ 是随 n 的增大而增大,∴n=1 时,2n﹣ 取得最小值﹣6.∴λ<﹣21. 综合①、②可得 λ 的取值范围是 λ<﹣21. (10 分) (3)T1= ,Tm= ,Tn= , )2= ( ) ,

若 T1,Tm,Tn 成等比数列,则(


2

=

.由

=

,可得

=

>0,

即﹣2m +4m+1>0,∴1﹣

<m<1+

. (13 分)又 m∈N,且 m>1,所以 m=2,

此时 n=12.当且仅当 m=2,n=12 时,数列 {Tn}中的 T1,Tm,Tn 成等比数列.

【数列】课后作业

姓名

1、 设集合 M={m|m=7n+2n,n∈N*且 m<200},则集合 M 中所有元素的和为_____450 2、设数列 {an } ( n ? N* )是等差数列.若 a2 和 a2012 是方程 4 x ? 8 x ? 3 ? 0 的两根,则数列
2

{an } 的前 2013 项的和 S 2013 ? ______________. 2013
3 、在等比数 列 {an} 中,公比 q = 2 ,前 99 项的和 S99 = 30 ,则 a3 + a 6 + a9 +?+ a99 = 120 ________. 7 4、已知命题: “在等差数列 {an } 中,若 4a2 ? a10 ? a(?) ? 24 ,则 S11 为定值”为真命题,由 于印刷问题,括号处的数模糊不清,可推得括号内的数为_____. 【答案】 18 5、等差数列 ?an ? , ?bn ? 的前 n 项和分别为 S n 和Tn , 若

Sn an 2n 2 ? ? ___ ,则 lim 3 Tn 3n ? 1 n ?? bn
1 ,那么 ? 的取 a1

6、在等比数列 ?an ? 中, a1 ? sec? ( ? 为锐角),且前 n 项和 Sn 满足 lim Sn ?
n ??

值范围是

(0, ) 4


?

7、 对于数列{an}, 定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”, 若 a1=2, {an}的“差数列” 的通项为 2n,则数列{an}的前 n 项和 Sn=________2n 1-2 8、记等比数列{an}的前 n 项积为 Tn(n∈N ),已知 am-1am+1-2am=0,且 T2m-1=128,则 m= ________4 9、设 n 为正整数,在 n ? x ? n ? 1 的范围内,使函数 f ( x) ? x 2 取整数函数值的 x 的个数 记为 a n ; 设 bn ? f (a n ? k ) , 若 {bn } 为单调递增数列, 则 k 的取值范围为
*

k ? ?5

10、已知 Sn 是等差数列 {an }(n ? N * ) 的前 n 项和,且 S6 ? S7 ? S5 ,有下列四个命题,假 . 命题 的是( .. C ) B.在所有 S n ? 0 中, S13 最大; D. a6 ? a7 ;[来源:Z_xx_k.Com]

A.公差 d ? 0 ; C.满 足 S n ? 0 的 n 的个数有 11 个;

11、正方形 ABCD 的边长是 a,依次连结正方形 ABCD 各边中点得到一个新的正方形,再依 次连结正方形各边中点又得到一个新的正方形,依此得到一系列的正方形.如图所示,现有 一只小虫从 A 点出发,沿正方形的边逆时针方向爬行,每遇到新正方形的顶点时,沿这个 正方形的边逆时针方向爬行,如此下去,爬行了 10 条线段.则这 10 条线段的长度的平方和 是( A ) 1 023 2 B. a 768 511 2 C. a 1 024 2 047 2 D. a 4 096

1 023 2 A. a 2 048

a 2 2 解 析:小虫爬行的线段 长度依次为: , a, a,?, 2 4 8 1 它们的平方依次构成公比为 的等比数列. 2 1 a2? 1- 10? 4 ? 2 ? 1 023 a2 1 023 2 S10= = · = a. 1 1 024 2 2 048 1- 2

[ 来源:中。国 教。育 出。版 网]

12 、已知数列 ?an ? 是各项均为正数且公比不等于 1 的等比数列( n ? N* ) . 对于函数

y ? f ( x) ,若数列 ?ln f (an )? 为等差数列,则称函数 f ( x) 为“保比差数列函数”. 现有
定义在 (0, ??) 上的如下函数:① f ( x) ? ④ f ( x) ?

1 , x

② f ( x) ? x2 ,

③ f ( x) ? e x , ………( C )

x ,则为“保比差数列函数”的所有序号为
(B)
③④.

( A)

①②.

(C )

①②④.

( D) ②③④ .

13、某城市 2007 年底人口为 500 万,人均居住面积为 20 平方米,如果该城市每年平均新增 住房面积 100 万平方米,每年人口平均增长率为 1%. (1)求该市 2008 年底的住房总面积和人口总数;

(2)到 2012 年底,该市 人 均 住房面积是多少平方米?(精确到 0.01)
? ?

【解答】设 2007 年底住房面积总数为 a1 ,相应地 2012 年底住房面积总数为 a6 ,则

a1 , a2 ?a6 成等差数列,且 a1 =20×500 万平方米,从而 a6 = a1 +5d =10500 万平方米.
另外,2007 年底人口为 b1 ,相应地,2012 年底人口为 b6 ,则 b1 , b2 ?b6 成等比数列, 且 b1 = 500 万平方米,从而 b6 = b1 · q = 500 · 1.01 .? 该市 2008 年底的住房总面积
5 5

a2 ? 10100(万平方米)
2012 年底人均住房面积为

人口总数 b2 ? 500(1 ? 1%) ? 505(万)

a6 10500 ? ? 19.98 平方米. b6 500? 1.015

? 到 2012 年底,该市人均住房面积是 19.98 平方米.

14、已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,对一切正整数 n ,点 Pn (n, S n ) 都在函数

f ( x) ? x 2 ? 2x 的图像上。 (1)求数列 {an } 的通项公式;
(2)设 bn ?

1 ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Bn ,问是否存在正整数 m ,使得 an ? an ?1

1 (m ? 2) ? Bn 对 n ? N * 恒成立,若存在,求出最小正整数 m ,若不存在, 9
请说明理由; (3)设 cn ? t n (t ? 0) ,数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn ,求 lim
a

Tn?1 的值。 n ?? T n

【解答】 : (1)因为点 Pn (n, S n ) 都在函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x 的图象上 所以 S n ? n 2 ? 2n

n? N *

当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 ? 2 ? 3

当 n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? n 2 ? 2n ? [(n ? 1) 2 ? 2(n ? 1)] ? 2n ? 1 (*) 令 n ? 1 , a1 ? 2 ? 1 ? 3 ,也满足(*)式 所以,数列 {an } 的通项公式是 an ? 2n ? 1 . (2) bn ?

1 1 1 1 ? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? Bn ? [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] = ( ? )? ? 2 3 5 5 7 2 n ? 1 2 n ? 3 2 3 2n ? 3 6 4n ? 6

? Bn 随 n 的增大而增大, Bn ? [

1 1 , ) 15 6

依题意,

1 1 7 (m ? 2) ? ,解得: m ? , 9 6 2

? m ? Z ? ? 存在最小正整数 m ? 4 满足题意。
(3) cn ? t 2 n?1 因为

c n ?1 ? t 2 ,则数列 ?cn ? 成公比为等比数列 t 2 的等比数列。 cn
t ? 0, t ? 1, Tn ? t 3 (1 ? t 2 n ) ; 1? t2

?t ? 0

当 t ? 1 时, Tn ? n ;

当 t ? 1 时, lim

Tn?1 T n ?1 1 ? t 2n?2 ? lim ? 1 ,当 t ? 1 时, lim n?1 ? lim ? t2 n ?? T n ?? n n?? T n?? 1 ? t 2 n n n

当 0 ? t ? 1 时, lim

Tn?1 Tn ?1 ?1, 0 ? t ? 1 1 ? t 2n? 2 , ? lim ? 1 ? lim ?? 2 n?? T n?? 1 ? t 2 n n ?? T n n ?t , t ? 1

15、数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,a1 ? 1 ,an?1 ? 2Sn ? 1 ,等差数列 ?bn ? 满足 b3 ? 3, b5 ? 9 , (1)分别求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式;
* (2)若对任意的 n ? N , ( S n ? ) ? k ? bn 恒成立,求实数 k 的取值范围.

1 2

解析: (1)由 an?1 ? 2Sn ? 1 ----①得 an ? 2Sn?1 ? 1 ----②, ① ? ②得 an?1 ? an ? 2(Sn ? Sn?1 ) ,?an?1 ? 3an ,?an ? 3n?1 ;

b5 ? b3 ? 2d ? 6,?d ? 3,?bn ? 3 ? (n ? 3) ? 3 ? 3n ? 6 ; (2) Sn ?

3n ? 1 1 a1 (1 ? q n ) 1 ? 3n 3n ? 1 ? )k ? 3n ? 6 对 n ? N * 恒成立, 即 , ?( ? ? 2 2 1? q 1? 3 2

?k ?

3n ? 6 * 对 n ? N 恒成立, 3n 3n ? 6 3n ? 6 3n ? 9 ?2n ? 7 ? n ?1 ? 令 cn ? , cn ? cn ?1 ? , n 3 3n 3 3n 2 2 ,k ? . 9 9

当 n ? 3 时, cn ? cn?1 ,当 n ? 4 时, cn ? cn?1 ,? (cn ) max ? c3 ?

16、 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? a( x ? R) , 在定义域内有且只有一个零点, 存在 0 ? x1 ? x2 ,
2

使得不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立. 若 n ? N , f ( n) 是数列 {an } 的前 n 项和.
*

(1)求数列 {an } 的通项公式;

(2)设各项均不为零的数列 {cn } 中,所有满足 ck ? ck ?1 ? 0 的正整数 k 的个数称为这个 数列 {cn } 的变号数,令 cn ? 1 ?

4 ( n 为正整数) ,求数列 {cn } 的变号数. an

【解析】 (1)∵函数 f ( x ) 在定义域内有且只有一个零点,
2 ∴ ? ? a ? 4a ? 0 ,得 a ? 0 或 a ? 4 .

当 a ? 0 时,函数 f ( x) ? x 2 在 (0,?? ) 上递增, 故不存在 0 ? x1 ? x2 ,使得不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立. 综上,得 a ? 4, f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 4 . ∴ Sn ? n2 ? 4n ? 4 . ∴ an ? Sn ? Sn ?1 ? ?

n ?1 ?1, ?2n ? 5, n ? 2



n ?1 ??3, ? (2)由题设 cn ? ? , 4 1? , n?2 ? ? 2n ? 5
∵ n ? 3 时, cn ?1 ? cn ?

4 4 8 ? ? ? 0, 2n ? 5 2n ? 3 (2n ? 5)(2n ? 3)
1 4 ? 0 ,由1 ? ? 0 ,得 n ? 5 . 3 2n ? 5

∴ n ? 3 时,数列 {cn } 递增.∵ c4 ? ?

∴ c5 ? 0 ,可知 c4 ? c5 ? 0 .∴ n ? 3 时,有且只有 1 个变号数; 又∵ c1 ? ?3 , c2 ? 5 , c3 ? ?3 ,∴ c1 ? c2 ? 0 , c2 ? c3 ? 0 . ∴此时变号数有 2 个; ∴数列 {cn } 共有 3 个变号数,即变号数为 3 .


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