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江苏省南京学大教育专修学校2013届高三数学4月月考试题苏教版


南京学大教育专修学校 2013 届高三 4 月月考数学试题卷
注意事项: 请考生使用蓝色或黑色圆珠笔、签字笔或钢笔作答。 考核内容: 考试范围介绍 高中全部知识点

涉及知识及考点

高中全部知识点

成绩统计: 卷 Ⅰ 卷 Ⅱ 题号 分数 题号 分数 一 附加卷 二 总分 一 二 三 四 总分 一 二 三 四

总分 总成绩

卷Ⅰ(30 分钟,50 分) 一、填空题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.答案写在答卷纸上. ) 1 . 若 全 集 U ? R , 集 合 A ? x x ?1 ? 0 , B ? x x ? 3 ? 0 , 则 集 合
(CU A) ? B =

?

?

?

?



1

2. 已知复数 z ? (a 2 ? 4) ? 3i ,a ? R , 则“ a ? 2 ”是“ z 为纯虚数”的___ __ 件.



(填写“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中的一个) 3.如图所示的算法流程图中,若 f ( x) ? 2 x , g ( x) ? x 2 , 则 h(3) 的值等于
?


?

4. 投掷两颗骰子,得到其向上的点数分别为 m , n ,设 a ? (m, n) ,则满足 a ? 5 概率为 .



2 5.已知正六棱锥 P ? ABCDEF 的底面边长为 1 cm ,侧面积为 3 cm ,则棱锥的体积为

cm3 .
6.已知角 ?、? 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的正半轴重合,?、? ? (0,? ), ? 的终 角 边与单位圆交点的横坐标是 ? 1 ,角 ? ? ? 的终边与单位圆交点的纵 坐标是 4 ,则 3 5

cos? =



7.正项等比数列 ?an ? 满足 a6 ? a7 ? 2a5 ,若存在两项 am , an ,使得 am an ? 2a2 ,则

1 4 ? 的最小值为 m n
8.已知函数 f ?x ? 的定义域为 R ,且对任意 x ? R 都有 f ?x ? ? f ?x ? 1? ? f ?x ? 1? ,若

f ? ?1? ? 2, f ?1? ? 3 ,则 f ? 2013? ? f ? ?2013? ?
x2 y 2 9.已知 F 是椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的右焦点,点 P 在椭圆 C 上,线段 PF 与圆 a b

2

x2 ? y 2 ?

? ? 1 2 b 相切于点 Q ,且 PQ ? QF ,则椭圆 C 的离心率为 4



10.记 min?a, b? ? ?

?a(a ? b) ,已知函数 f ?x? ? min x 2 ? 2tx ? t 2 ? 1, x 2 ? 4x ? 3 为偶函 b( a ? b ) ?

?

?

数( t 为实常数) ,则函数 y ? f (x) 的零点为

(写出所有零点)

卷Ⅱ(60 分钟,50 分) 二、解答题:本大题共 4 小题,共 50 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 11. (本题满分 10 分)已知 m ? (2cos x ? 2 3sin x,1), n ? (cos x, ? y) ,满足 m ? n ? 0 . (1)将 y 表示为 x 的函数 f ( x ) ,并求 f ( x ) 的最小正周期; (2)已知 a, b, c 分别为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 对应的边长,若 f ( x) ? f ( ) 对所有

??

?

?? ?

A 2

x ? R 恒成立,且 a ? 2 ,求 b ? c 的取值范围.

12. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 的右顶点为 A ,上顶点为 B ,直 a2

线 y ? t 与椭圆交于不同的两点 E , F ,若 D(x, y) 是以 EF 为直径的圆上的点,当 t 变化时,

D 点的纵坐标 y 的最大值为 2 .
(1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 (0, 2 ) 且斜率 k 为的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 P, Q ,是否存在 k ,使得向 量 OP ? OQ 与 AB 共线?若存在,试求出 k 的值;若不存在,请说明理由.

??? ??? ? ?

??? ?

3

13. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x ? a ? (1)若 a ? 0 ,求不等式 f ( x) ? 0 的解集;

4 (a ? R ) . x

(2)若对于一切 x ? (0, ??) ,不等式 f ( x) ? 1 恒成立,求 a 的取值范围.

14. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ?

x?3 2

3 ? ( x ? 1), 数列 ?an ? 满足 an?1 ? f (an ) , 2

?n ? N ?
?

(1)若 a1 ? 3 ,求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 a1 ?

3 (m为常数,且 m为大于1的整数 ) , S n 为数列 ?an ? 的前 n 项和. 2 ?1
m

①求数列 ?an ? 的通项公式; ②在平面直角坐标系 xoy 中,记点 A( p, S p ), B(m, S m ),C(q, S q ),其中p, q ? N , 且
?

p ? m ? q ,问是否存在 p, q ,使点 A, B, C 三点共线.若存在,求出 p, q与m 的关系,若
不存在,说明理由.

4

附加卷(20 分钟,20 分) 15. (本小题满分 5 分)选修 4-2:矩阵与变换 已知矩阵 A= ?

?0 1? ?0 2 ? ? ,矩阵 B= ?b 0? ,直线 l1 : x ? y ? 4 ? 0 经矩阵 A 所对应的变换得 ? a 0? ? ?

到直线 l 2 ,直线 l 2 又经矩阵 B 所对应的变换得到直线 l3 : x ? y ? 4 ? 0 ,求直线 l 2 的方程.

16、 (本小题满分 5 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 椭圆中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为

1 ,点 P( x, y ) 是椭圆上的一个动点,若 2

2x ? 3 y 的最大值为 10 ,求椭圆的标准方程.

5

17. (本小题满分 10 分) 由数字 1,2,3,4 组成五位数 a1a2 a3a4 a5 ,从中任取一个. (1)求取出的数满足条件:“对任意的正整数 j ?1 ? j ? 5? ,至少存在另一个正整数
k (1 ? k ? 5 ,且 k ? j ) ,使得 a j ? ak ”的概率;

(2)记 ? 为组成该数的相同数字的个数的最大值,求 ? 的概率分布列和数学期望.

试卷配套答案 一、填空题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.答案写在答卷纸上. )

6

由正弦定理得 b ?

4 4 3 sin B , c ? 3 sin C , 3 3

b?c ?
?8 分

4 3 4 3 4 3 4 3 2? ? sin B ? sin C ? sin B ? sin( ? B) ? 4 sin(B ? ) ???? 3 3 3 3 3 6
2? ? 1 ) ,? sin( B ? ) ? ( ,1] ,? b ? c ? (2,4] , 3 6 2
????

? B ? (0,

所以 b ? c 的取值范围为 (2, 4] 10 分 12.解: (1)由 ?

?y ? t ?x ? a y ? a
2 2 2 2

? x 2 ? a 2 (1 ? t 2 ) , ? 1 ? t ? 1

r?


EF 2
EF

? a 1 ? t 2 ,圆心为 (0, t )
为 直 径 的 圆 的 方 程 为 :

x 2 ? y 2 ? a 2 (1 ? t 2 )

------------------------------------------2
7



k?

x0 ? x0 ? ?3ky0 ? 3 y0



--------------------------------------------9 分 M 在直线 l 上 ? y0 ? kx0 ? 2 ② 又 A( 3,0), B(0,1) ? AB ? (? 3,1) ,而 OP ?OQ 与 AB 共线,可得 OM // AB

?

?

?

?

?

?

? x0 ? ? 3y0
-------------------------------------------------11 分 由 ① ② ③ 得



,

k?

3 3



-----------------------------------------13 分 这与 k ?

3 矛盾,故不存在 ---------14 分 3

8

14

9

10

附加题参考答案 15. 选修 4-2:矩阵与变换 【解】BA ? ?

0 2 ? ? 0 1 ? ? ? 2a 0 ? ?b 0 ? ? a 0 ? ? 0 b ? ? ?? ? ? ? ax ?xy????2by

?????2 分

设 P ( x, y ) 是 l1 上的任意一点,其在 BA 作用下对应的点为 ( x?, y?) , 得 l1 变换到 l3 的变换公式 , ?????3 分

则 2ax ? by ? 4 ? 0 即为直线 l1 : x ? y ? 4 ? 0 ,

1 , b ? ?1 . 2 0 2? 此时 B ? ? , ? ?1 0 ? ? ?
则得 a ? 同理可得 l2 的方程为 2 y ? x ? 4 ? 0 ,即 x ? 2 y ? 4 ? 0 .

?????4 分

?????5 分

11

答: ? 的数学期望为

635 . 256

?????10 分

12


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