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中学数学研究(代数部分)考试试题A参考答案及评分标准


贵州师范大学 2007—2008 学年度第一学期 《中学数学研究》课程期终考试试卷 中学数学研究》课程期终
(A 卷;闭卷) (代数部分)参考答案及评分标准

一、(12 分) ⑴(8 分)请给出两种不同的方法证明 2 不是有理数? ⑵(4 分)数学发展历史上是如何发现无理数的?这一发现在数系扩展中有何价值?
解: ⑴证法 1(奇偶数判别,导致矛盾) 设 2 是一个有理数 x ,即 x = 2 ,且 x 可表示为既约分数
2

m m2 , (m, n) = 1 ,于是 2 = 2 ,即 n n

m 2 = 2n 2 ,因此 m 2 是偶数,由于奇数的平方不能等于偶数,故 m 是偶数。所以设 m = 2k ,则
2n 2 = m 2 = (2k ) 2 = 4k 2 ,故 n 2 = 2k 2 ,从而 n 也是偶数,这与 (m, n ) = 1 矛盾,这说明 2 不是
有理数。 证法 2 若 x = 2 ,且 x 表示为既约分数
2 2

a 2 2 2 。将 a, b 分解为素因数之积,由于 a = 2b ,则 a 的素因 b

子必定成对出现,而 2b 的素因子中 2 出现奇数次,矛盾。 证法 3 若 x = 2 ,且 x 表示为既约分数
2

a 2 2 2 。因为 a = 2b ,故 b 可整除 a ,但 (a, b ) = 1 ,故 b = 1 , b

所以 a = 2 ,由此得 1 <
2

2 < 2 ,由于 1 和 4 之间没有完全平方项,矛盾。
上述证法,每做对一种,给 4 分。但总分不超过 8 分

⑵略 4分

二、 (13 分) ⑴ (6 分) 为什么说初等数学中三角函数的定义是用几何方法建立起来的?请按中学数 学教材体系给出正弦、余弦在初中和高中的定义。 ⑵(5 分)数学分析教程中,可将三角函数展开成幂级数,请给出解析正弦和解析余弦 的定义。为什么通过证明又说三角式的概念并不依赖于几何解释? ⑶(2 分)上述问题的探析对你有何启示?
解:
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⑴初中通过直角三角形给出三角函数定义。其依据是欧氏几何的相似性理论,通过三角形中边 角关系(即边长的比值)定义锐角三角函数(图略) ; 3分 高中则借助于直角坐标系和单位圆定义三角函数(图略) ,因而正、余弦既可以看作一个比值, 也可用有向线段表示。 6分 ⑵
2n x2 x4 x6 n x C ( x) = 1 ? + ? + L + (? 1) + L ( x ∈ R) 2! 4! 6! (2n)!

x x3 x5 x7 x 2 n +1 n ? + ? + L + (? 1) + L ( x ∈ R) 1! 3! 5! 7! (2n + 1)! (n = 0,1,2, L) S ( x) =
分别称为解析余弦和解析正弦。 2分 可以证明 C ( x ) = cos x, S ( x ) = sin x 即根据解析正弦和解析余弦所具备的某些性质便可推导出 sin x 和 cos x 所具备的一切性质和 运算关系,而不必依赖于几何性质的讨论。 5分 ⑶略

(12 分)已知函数 f ( x ) = 2 x ? 三、

a ,将 y = f (x) 的图像向右平移两个单位,得到函 2x

数 y = g ( x ) ,而函数 y = h(x) 与函数 y = g ( x ) 的图像关于直线 x = 1 对称。 ⑴(5 分)求函数 y = h(x) 的解析式; ⑵(7 分)设 F ( x) =
1 f ( x) + h( x) ,又已知 F (x) 的最小值是 m ,且 m > 2 + 7 ,求实数 a

a 的取值范围。
解: ⑴设 g ( x ) = f ( x ? 2) =

2 x 4a ? 4 2x
2分

则点 P 关于 y = 1 的对称点 P ′( x,2 ? y ) 在 y = g ( x ) 设 P ( x, y ) 是 y = h(x) 图像上的任意一点, 上。

2 x 4a 2 x 4a 故2? y = ? ,所以 y = h( x ) = 2 ? + 4 2x 4 2x
5分

第2页

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⑵Q F ( x ) = ?

?1 1? x ? ?2 + (4a ? 1)2 ? x + 2 ?a 4?
2分

由于 ?

(4 ? a )(4a ? 1) ?1 1? ,故分为以下四种情况讨论 a 的取值范围: ? ?(4a ? 1) = 4a ?a 4?
7 矛盾;

①当 a < 0 时, 4a ? 1 < 0 ,所以 F ( x) < 2 ,与 F ( x ) ≥ m > 2 + ②当 0 < a ≤

1 时,此时 F (x ) 无最小值; 4

③当 a ≥ 4 时,此时 F (x ) 也无最小值;

④当

1 1 1 ?1 1? < a < 4 时, ? > 0,4a ? 1 > 0 。由均值不等式 F ( x) ≥ 2 ? ? ?(4a ? 1) + 2 , 4 a 4 ?a 4?

当且仅当 ?

?1 1? x ? ?2 = (4a ? 1)2 ? x 时等号成立。 ?a 4?

由m > 2+

7 ,及

1 1 < a < 4 得, < a < 2 4 2
?1 ?2 ? ?

所以 a 的取值范围是 ? ,2 ? 。

7分

四、 (13 分) ⑴(6 分)什么是算法?请对数值算法和非数值算法各举出一个实例。 ⑵(2 分)为什么 2003 年颁布的《普通高中数学课程标准》要将算法列入必修课? ⑶(5 分)如果执行下面的程序框图,那么输出的 S 的值是多少?
开始 k=1 S=0 否 k≤50? 是 S=S+2k k=k+1 输出S 结束

解: ⑴算法是解决一个问题而采取的方法和步骤。它可定义为若干组含义明确的有穷规则,它是对 特定问题求解步骤的一种描述。 2分
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数值算法实例(略) 4分 非数值算法实例(略) 6分 ⑵算法列入中学数学课程的意义(略) 2分 ⑶当 k = 1 时, S = 2 ;当 k = 2 时, S = 2 + 4 ;当 k = 3 时, S = 2 + 4 + 6 ;以此类推,可 知 S 即为一个首相为 2,公差为 2 的等差数列的前 50 项的和,由等差数列求和公式可得。 所以 S 的最终值是 2550。 5分

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