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直线与圆、圆与圆的位置关系


§ 9.4
2014 高考会这样考

直线与圆、圆与圆的位置关系

1.考查直线与圆的相交、相切问题,判断直线与圆、圆与圆的位置关系;2.计算弦长、面

积,考查与圆有关的最值;根据条件求圆的方程. 复习备考要这样做 1.会用代数法或几何法判定点、直线与圆的位置关系;2.掌握圆的几何性质,通过数形结合

法解决圆的切线、直线被圆截得的弦长等直线与圆的综合问题,体会用代数法处理几何问题的思想.

1.直线与圆的位置关系 设直线 l:Ax+By+C=0 (A2+B2≠0), 圆:(x-a)2+(y-b)2=r2 (r>0), d 为圆心(a,b)到直线 l 的距离,联立直线和圆的方程,消元后得到的一元二次方程的判别式为 Δ. 方法 几何法 代数法 位置关系 相交 相切 相离 2.圆与圆的位置关系 设圆 O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r2 1(r1>0), 圆 O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r2 2 (r2>0). 方法 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 [难点正本 疑点清源] 1. 直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合, “代数法”与“几何法”是从不同的方面和思 路来判断的. 2.计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法 运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算. (2)代数方法 运用根与系数的关系及弦长公式
1

d<r d=r d>r

Δ>0 Δ =0 Δ<0

几何法:圆心距 d 与 r1,r2 的关系 d>r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|<d<r1+r2 d=|r1-r2|(r1≠r2) 0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)

代数法: 两圆方程联立组成方程组的 解的情况 无解 一组实数解 两组不同的实数解 一组实数解 无解

|AB|= 1+k2|xA-xB| = ?1+k2?[?xA+xB?2-4xAxB].

1.(2011· 重庆)过原点的直线与圆 x2+y2-2x-4y+4=0 相交所得弦的长为 2,则该直线的方程为________. 2.若圆 x2+y2=1 与直线 y=kx+2 没有公共点,则实数 k 的取值范围为__________. 3.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x2+y2=4 上有且只有四个点到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1,则实数 c 的取值范围是________. 4.从圆 x2-2x+y2-2y+1=0 外一点 P(3,2)向这个圆作两条切线,则两切线夹角的余弦值为 1 3 3 A. B. C. D.0 2 5 2 5.圆 C1:x2+y2+2x+2y-2=0 与圆 C2:x2+y2-4x-2y+1=0 的公切线有且仅有( A.1 条 B.2 条 C .3 条 D.4 条 ) ( )

题型一 直线与圆的位置关系 例1 已知直线 l:y=kx+1,圆 C:(x-1)2+(y+1)2=12. (1)试证明:不论 k 为何实数,直线 l 和圆 C 总有两个交点; (2)求直线 l 被圆 C 截得的最短弦长.

(2012· 安徽)若直线 x-y+1=0 与圆(x-a)2+y2=2 有公共点,则实数 a 的取值范围是 ( A.[-3,-1] C.[-3,1] 2..若直线 y=kx+2 与曲线 x = )

B.[-1,3] D.(-∞,-3]∪[1,+∞)

1- y 2 有两个不同的交点,求实数 k 的取值范围。

2

例 2 求直线 x ? 3 y ? 2 3 ? 0 被圆 x ? y ? 4 截得的弦长.
2 2

已知过点 M (?3, ?3) 的直线被圆 x ? y ? 4 y ? 21 ? 0 所截得的弦长为 4 5 ,求该直线的方程。
2 2

例 3 自点 A(?1, 4) 作圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 的切线 l ,求切线 l 的方程以及该切线长. 自点 A(1, 4) 作圆 ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 2 的切线 l ,求切线 l 的方程.
2 2

自点 A(-3,3)发出的光线 l 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反射光线所在直线与圆 C:

x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 7 ? 0 相切,求光线 l 所在直线方程。

3

题型二 圆与圆的位置关系 例4 a 为何值时,圆 C1:x2+y2-2ax+4y+a2-5=0 和圆 C2:x2+y2+2x-2ay+a2-3=0. (1)外切;(2)相交;(3)外离;(4)内切.

已知圆 C 与圆 C1:x2+y2-2x=0 相外切,并且与直线 l:x+ 3y=0 相切于点 P(3,- 3),求圆 C 的方程.

例 5 圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 1 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 13 ? 0 相交于 P, Q 两点,求直线 PQ 的方程及公共弦 PQ 的长.

变式题:求以圆 C1 : x2 ? y 2 ? 12 x ? 2 y ? 13 ? 0 和圆 C2 : x2 ? y 2 ? 12 x ? 16 y ? 25 ? 0 公共弦为直径的圆的方程.

例 6 求过直线 x + y + 4 = 0 与圆 x2 + y2 + 4x – 2y – 4 = 0 的交点且与 y = x 相切的圆的方程.

4

变式题 1: 求过两圆 x2 + y2 + 6x – 4 = 0 求 x2 + y2 + 6y – 28 = 0 的交点,且圆心在直线 x – y – 4 = 0 上的圆的方程.

例 4.已知圆 C1 : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 6 y ? 1 ? 0 ,圆 C2 : x ? y ? 4 x ? 2 y ? 11 ? 0 ,求两圆的公共弦所在的直线方程及公
2 2

共弦长.

点评:
2 2 1、圆系方程经过 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0, 与Ax ? By ? C ? 0 交点的圆系方程为:

2 2 为 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? ? ( Ax ? By ? C ) ? 0

2、经过 x ? y ? D1 ? x ? E1 y ? F1 ? 0 与 x ? y ? D2 x ? E 2 y ? F2 ? 0 交点的圆系方程为:
2 2 2 2

x 2 ? y 2 ? D1 ? x ? E1 y ? F1 ? ? ( x 2 ? y 2 ? D2 x ? E 2 y ? F2 ) ? 0
3.两圆相交时的公共弦方程 设相交两圆的方程为: x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0与x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 则公共弦的方程为: ( D1 - D2 ) x ? ( E1 - E2 ) y ? ( F1 - F2 ) ? 0

5

题型三 直线与圆的综合问题 例3 已知⊙M:x2+(y-2)2=1,Q 是 x 轴上的动点,QA,QB 分别切⊙M 于 A,B 两点. 4 2 (1)若|AB|= ,求|MQ|、Q 点的坐标以及直线 MQ 的方程; 3 (2)求证:直线 AB 恒过定点.

已知点 P(0,5)及圆 C:x2+y2+4x-12y+24=0. (1)若直线 l 过点 P 且被圆 C 截得的线段长为 4 3,求 l 的方程; (2)求过 P 点的圆 C 的弦的中点的轨迹方程.

典例:(12 分)已知圆 C:x2+y2-2x+4y-4=0.问在圆 C 上是否存在两点 A、B 关于直线 y=kx-1 对称,且以 AB 为直径的圆经过原点?若存在,写出直线 AB 的方程;若不存在,说明理由.

6

方法与技巧 1.过圆上一点(x0,y0)的圆的切线方程的求法 1 先求切点与圆心连线的斜率 k,由垂直关系知切线斜率为- ,由点斜式方程可求切线方程.若切线斜率不 k 存在,则由图形写出切线方程 x=x0. 2.过圆外一点(x0,y0)的圆的切线方程的求法 (1)几何方法 当斜率存在时,设为 k,切线方程为 y-y0=k(x-x0),即 kx-y+y0-kx0=0.由圆心到直线的距离等于半径, 即可得出切线方程. (2)代数方法 设切线方程为 y-y0=k(x-x0),即 y=kx-kx0+y0,代入圆方程,得一个关于 x 的一元二次方程,由 Δ=0, 求得 k,切线方程即可求出. 3.两圆公共弦所在直线方程求法 若两圆相交时,把两圆的方程作差消去 x2 和 y2 就得到两圆的公共弦所在的直线方程. 4.圆的弦长的求法 l ?2 2 2 (1)几何法:设圆的半径为 r,弦心距为 d,弦长为 l,则? ?2? =r -d .
?y=kx+b, ? (2)代数法:设直线与圆相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,解方程组? 消 y 后得关于 x 2 2 2 ? ??x-x0? +?y-y0? =r ,

的一元二次方程,从而求得 x1+x2,x1x2,则弦长为 |AB|= ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2](k 为直线斜率). 失误与防范 1.求圆的弦长问题,注意应用圆的性质解题,即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质,可以用勾股定理或斜率 之积为-1 列方程来简化运算. 2.过圆上一点作圆的切线有且只有一条;过圆外一点作圆的切线有且只有两条,若仅求得一条,除了考虑运算 过程是否正确外,还要考虑斜率不存在的情况,以防漏解.

A 组 专项基础训练 (时间:35 分钟,满分:57 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.“a=3”是“直线 y=x+4 与圆(x-a)2+(y-3)2=8 相切”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
7

(

)

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 )

2.(2012· 重庆)对任意的实数 k,直线 y=kx+1 与圆 x2+y2=2 的位置关系一定是( A.相离 C.相交但直线不过圆心
2

B.相切 D.相交且直线过圆心 ( )

3.过原点且倾斜角为 60° 的直线被圆 x +y2-4y=0 所截得的弦长为 A. 3 B.2
2

C. 6
2

D.2 3

4.直线 y=kx+3 与圆(x-2) +(y-3) =4 相交于 M,N 两点,若|MN|≥2 3,则 k 的取值范围是 ( 3 ? A.? ?-4,0? 3 3 B.?- , ? ? 3 3? C.[- 3, 3] ) 2 ? D.? ?-3,0?

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5.设直线 ax-y+3=0 与圆(x-1)2+(y-2)2=4 相交于 A、B 两点,且弦 AB 的长为 2 3,则 a=________. 6.若圆 x2+y2=4 与圆 x2+y2+2ay-6=0 (a>0)的公共弦长为 2 3,则 a=________. 7. (2012· 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中, 圆 C 的方程为 x2+y2-8x+15=0, 若直线 y=kx-2 上至少存在一点, 使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是________. 三、解答题(共 22 分) 8.(10 分)求过点 P(4,-1)且与圆 C:x2+y2+2x-6y+5=0 切于点 M(1,2)的圆的方程.

9.(12 分)已知点 A(1,a),圆 x2+y2=4. (1)若过点 A 的圆的切线只有一条,求 a 的值及切线方程; (2)若过点 A 且在两坐标轴上截距相等的直线与圆相切,求 a 的值及切线方程.

8

B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟,满分:43 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) 1.(2012· 天津)设 m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0 与圆(x-1)2+(y-1)2=1 相切,则 m+n 的取值范 围是 A.[1- 3,1+ 3] C.[2-2 2,2+2 2]
2 2

( B.(-∞,1- 3]∪[1+ 3,+∞) D.(-∞,2-2 2]∪[2+2 2,+∞)

)

2.(2011· 江西)若曲线 C1:x +y -2x=0 与曲线 C2:y(y-mx-m)=0 有四个不同的交点,则实数 m 的取值范围 是 3 3 A.(- , ) 3 3 3 3 C.[- , ] 3 3 3 B.(- ,0)∪(0, 3 3 D.(-∞,- )∪( 3 ( ) 3 ) 3 3 ,+∞) 3

3.(2011· 大纲全国)设两圆 C1、C2 都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2|等于 ( A.4 B.4 2 C.8 D.8 2 )

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 4.若过点 A(a,a)可作圆 x2+y2-2ax+a2+2a-3=0 的两条切线,则实数 a 的取值范围为 ______________. 5.若过定点 M(-1,0)且斜率为 k 的直线与圆 C:x2+4x+y2-5=0 在第一象限内的部分有交点,则 k 的取值范 围是__________. 1 ? 2 2 6.过点 M? ?2,1?的直线 l 与圆 C:(x-1) +y =4 交于 A、B 两点,C 为圆心,当∠ACB 最小时,直线 l 的方程 为______________. 三、解答题 7.(13 分)如图,已知以点 A(-1,2)为圆心的圆与直线 l1:x+2y+7=0 相切.过点 B(-2,0)的动直线 l 与圆 A 相交于 M,N 两点,Q 是 MN 的中点.

(1)求圆 A 的方程; (2)当|MN|=2 19时,求直线 l 的方程.

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