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第06讲 初等函数(下):幂函数、对勾函数


初等函数(下):幂函数、对勾函数
幂函数:一般地,形如 = ( ∈ )的函数称为幂函数,其中为常数。 幂函数的性质: (1) 在(0, +∞)上恒有定义 (2) 在第一象限内必有图像( > 0增函数; < 0减函数) (3) 图像必过(1,1) (4) > 0,函数过原点 有理指数幂函数() = ( ∈ , =

/>, , ∈ ? )的性质:

(1) 为偶数, ()在( ? ∞,0)上无定义 (2) 为奇数,为偶数,()为偶函数 (3) 为奇数,为奇数,()为奇函数

对勾函数: 形 如 = + (, > 0) 的 函 数 称 为 对 勾 函 数 , 它 是 奇 函 数 , 在 区 间


(?∞, ?



)与(



, +∞)上单调递增,在区间(?



, 0)与(0,



)单调递减。轴

与 = 分别是函数的渐近线,可以做出函数的草图,根据草图的形状,我们形 象地称此类函数为对勾函数,又称为“Nike 函数” 。

二次函数: = 2 + + ( ≠ 0) 判别式:?= 2 ? 4 对称轴: = ?
2

,最值: =


4 ? 2 4

韦达定理:1 + 2 = ? 1 ·2 = 求根公式:1,2 =
? ± 2 ?4 2

给定区间求值域:对称轴、单调性、区间端点
【例 1】 (1) 当 (0, +∞)时, 幂函数 = (2 ? ? 1) ? ?5 ?3 为减函数, 则实数的值为 ( A ) A.2 B.?1C.?1 或 2D. ≠
1± 5 2

解析:幂函数? 2 ? ? 1 = 1 ? = ?1 或 = 2 单调递减? ?5 ? 3 < 0 ? m > ? 5 ∴? m = 2 (2)已知幂函数 =
2 ?2 ?3

3

( ∈ ? )的图像关于轴对称且在(0, +∞)上是减函数,求满足

( + 1)? 3 < (3 ? 2)? 3 的取值范围。 解析: 2 ? 2 ? 3 < 0 2 ? 2 ? 3 是偶数
1 1

? = 1,所以不等式为( + 1)?3 < (3 ? 2 )?3

1

1

考虑函数 = ?3 ,∴ = ?3 在(?∞, 0) ∪ (0, +∞)上为减函数。 根据函数草图得知∴ ( + 1)?3 < (3 ? 2)?3 ?
1 2
1 1

+ 1 > 3 ? 2 > 0 2 3 3 ? 2 < + 1 < 0 ? (?∞, ?1) ∪ (3 , 2) + 1 < 0 ∧ 3 ? 2 > 0
1 ( )

【例 2】 (1)若函数 = ()的值域是[ , 3],则函数 = + A. [2 , 3]
1

的值域( B )

B. [2, 3 ]

10

C. [2 , 3 ]
1

5 10

D. [3, 3 ]
1

10

解析:考察对勾函数,原式相当于 = + , y ∈ [2 , 3] (2)(2009 崇文)已知函数 = A.(0,1) B.(?2,1)
4 2 ?7 2?

, [0,1],则 的单调递增区间为( D )
1

C.(0, 2)

D.(2 ,1)

1

(3)设函数 = A. > > C. > >

? 2 +

的图像下图所示,则, , 的大小关系是( B ) B. > > D. > >

解析: 0 = ? = 0 ? = 0, 1 = 1 ? +1 = 1 ? = + 1 ? > 根据图像, > 0 ? > ,当 ≠ 0时,将 变形得 =
+






,分母类似对勾函数

若 < 0,不满足图形单调性,若 = 0,原函数成了反比例函数,与图形不符合,所以 > = 0 【例 3】已知函数 = 2 + + (, ∈ , < 0), (1)当 的定义域为[0,1]时,值域也是[0,1],求, 的值。 (2)当 = ?2时,函数g = 范围。 解析:(1)由 < 0,对进行讨论 0 < ?2 ≤ 1


对于任意的 ∈ 3, +∞ , g() > 0恒成立,试求实数 的取值

4? = ?2 ① 情况 : ? 2 = 4 = 0 ? = 1 : 0 = = 1 1 = 1 + + ≤ 1

2

?2 ≤ < 0 4? 2 : ? = =0 ② 情况 ? ?? 2 4 = 0 或 b = 4 : 1 = 1 + + = 1 0 = ≤ 1 < ?2 ③ 情况 : 1 = 1 + + = 0 ? ?? = ?2 : 0 = = 1 综上, = ?2, = 1; (2)g() > 0恒成立? g() > 0; = 2 ? 2 + ? g = + ?2 ?2 > 1


0 < ?2 ≤ 1



1. 当 ≤ 0时,g( )在 3, +∞ 上单调递增

? g() = g 3 = 3 +

? 2 > 0 ? ?3 < ≤ 0 3

2. 当 > 0时,g( )为对勾函数,在(0, )上单调递减,在[ , +∞)上单调递增。 2.1 若 ≤ 3 ? ≤ 9,则g() = g 3 = 3 + 3 ? 2 > 0 ? > ?3 故0 < ≤ 9. 2.2 若 > 3 ? > 9,则g() = g ? > 1,故 > 9,综上, > ?3。 【例 4】 (1( ) 2007 浙江) 设函数 = 则g()的值域是( C ) A. ?∞, ?1 ∪ [1, +∞) C. [0, +∞) B. ?∞, ?1 ∪ [0, +∞) D. [1, +∞) g + + 4, < g() ,则()的值域是( D ) g ? , ≥ g 2 , ≥ 1 ,g()是二次函数, 若[g( )]的值域是[0, +∞), , < 1 = +


? 2 = 2 ? 2 > 0

(2)设函数g = 2 ? 2, ∈ , = A.[? 4 , 0) ∪ (1, +∞) C. [? 4 , +∞)
9 9

B.[0, +∞) D. [? 4 , 0) ∪ (2, +∞)
9


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