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13级:第一讲(一)(2)(3):平均不等式,三个正数的算术几何不等式(1)


第一讲(一)(2)(3)

平均不等式,三个 正数的算术几何不等式(1)

一、复习提问 1、不等式的基本性质有哪些?

1)、性质一 数轴上右边的点比左边的点大
A a a< b 2)、性质二 B b x B b a>b A a

x

实数大小与运算性质的关系
2

a ?b? a?b?0 a ?b? a?b?0 a ?b? a?b?0
3)、性质三

(1) a ? b ? b ? a (对称性) (2) a ? b, b ? c ? a ? c (传递性)
(3) a ? b ? a ? c ? b ? c
3

(加法法则)

(i ) a ? b ? c ? a ? c ? b.
(同向加)

(ii ) a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d
(异向减)

a ? b, 且c ? d, ? a ? c ? b ? d.

(iii )a1 ? b1 , a 2 ? b 2 ...an ? bn ? a1 ? a 2 ? ... ? an ? b1 ? b 2 ? ... ? bn

(4) a ? b, c ? 0 ? ac ? bc; a ? b, c ? 0 ? ac ? bc
4

(同正同向乘)

a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd
a b a ? b ? 0, 且0 ? c ? d, ? ? . c d
(乘方法则)

(5) a ? b ? 0 ? a ? b (n ? N , n ? 2)
n n

(开方法则)

(6) a ? b ? 0 ? a ? b (n ? N , n ? 2)
n n
5

二、新课教学 1、平均不等式 定理1:如果

a, b ? R ,那么 2 2 a ? b ? 2ab (当且仅当 a ? b时取“=”号).
(几何解释及证明见书P5)
2 2

当a ? 0, b ? 0, 在a ? b ? 2ab中

以 a, b分别代替a,b能得到什么结果?
6

a ? b ? 2 ab

定理2(均值定理)

如果 a , b 是正数,那么
a?b ? 2 ab
(几何解释及 证明见书P6)

(当且仅当 a ? b 时取“ = ”号).
a?b 对于两个正数a , b, 称为a , b的算术平均数, 2 ab 称为a , b的几何平均数.
7

结论

1.基本不等式及其常用变式 (1)a ? b ? 2ab
2 2

( a, b ? R )

8

a?b ? (2) ? ab (a, b ? R ) 2 a b 1 (3) ? ? 2(ab ? 0) ? x ? ? (x ? 0) 2 b a x 2 2 a?b 2 a ?b (4)ab ? ( ) ? ( a, b ? R ) 2 2 2 2 2 (5)a + b + c ? ab + bc + ca (a,b,c ? R )

结论

2、已知x,y是正数: 1)若xy是定值P,那么当x=y时,则x+y 有最小值 2 P 2)若x+y是定值S,那么当x=y时,xy 有最大值 1 S 2
4

(1)简称:积定和最小,和定积最大. (2) 应用定理时需 “一正二定三相等” 缺一不可
9

引理:如果a, b, c ? R , 那么a ? b ? c ? 3abc
3 3 3

?

证明:
3

a ? b ? c ? 3abc
3 3 3 3 3 3 3

等号当且仅a=b=c时成立.
2 3

? (a ? b) ? 3a b ? 3ab ? c ? 3abc ? (a ? b) ? c ? 3a b ? 3ab ? 3abc
2

?(a ? b)2 ? (a ? b)c ? c 2 ? ? 3ab(a ? b ? c ) ? (a ? b ? c) ? ? ? a 2 ? 2ab ? b 2 ? ac ? bc ? c 2 ? 3ab ? ? (a ? b ? c) ? ? ? (a ? b ? c)(a ? b ? c ? ab ? bc ? ca) 1 2 2 2 ? (a ? b ? c) ?(a ? b) ? (b ? c) ? (c ? a) ? ? 0, ? ? 10 2
2 2 2

2、三个正数的算术-几何不等式 a?b?c 3 ? 定理3 若a, b.c ? R , 那么 ? abc , 3 当且仅当a ? b ? c时,等号成立。
表述:三个正数的算术平均不小于它们的几何平均.

推论: (1)abc为定值时

a ? b ? c ? 3 abc
3

a?b?c 3 ) (2)a ? b ? c为定值时 abc ? ( 3 当且仅当 a ? b ? c时,等号成立.
11

当且仅当 a ? b ? c时,等号成立.

推广 如果 a1 , a2 ,?, an ? R , n ? 1且n ? N 则: a1 ? a 2 ? ? ? a n 叫做这n个正数的算术平均数。 n
*
n

?

a1 a 2 ? a n叫做这n个正数的几何平均数。
对于 n 个正数 a1 , a2 , a3 ,? an, 它们的算术 平均值不小于它们的几何平均值,

a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ≥ n a1a2 a3 ? an 即 n
(当且仅当 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an 时取等号.)
12

三、巩固运用 例1当0 ? x ? 1时, 求函数 y ? x 解: ? 0 ? x ? 1, ?1 ? x ? 0,
2
2

(1 ? x)的最大值

x x y ? x (1 ? x ) ? 4 ? ? (1 ? x ) 2 2
x x ? ?1? x 4 3 2 2 ? 4( ) ? 3 27

x 2 4 ?当 ? 1 ? x ,即x ? 时, ymax ? . 2 3 27
13

例2 θ是锐角,求y=sinθcos2θ的最大值 1 2 2 4 2 2 2 解:y ? sin ? cos ? ? ?2sin ? ?cos ? ?cos ? 2 2 2 2 1 2sin ? ? cos ? ? cos ? 3 4 ? ( ) ? , 2 3 27
3 当且仅当2sin ? ? cos ? ? 1 ? sin ? , 即sin ? ? 3 2 3 时取等号,此时y max ? . 9
2 2 2

练习P9 习题1.1 14

四、小结

1.均值定理的应用范围广泛, 要关注 变量的取值要求和等号能否成立, 还要注意它的变式的运用,如: a ? b ? 2 | ab |;
2 2 2

a ? b ? c ? ab ? bc ? ca;
2 2

( a ? b )(c ? d ) ? ( ac ? bd )
2 2 2 2

2

2 ab ? a ? b ?
15

2(a ? b )
2 2

等.

2.等号成立的条件不能满足时,可以 再从单调性的角度考虑,力图转化为 a y ? x ? ( a ? 0)的形式. x 3.利用极值求最大(小)值时, (1)x, y ? (0 ,+? ),且xy = P(定值), 那么当x = y时,x + y有最小值2 P ; (2)x, y ? (0 ,+? ),且x + y = S(定值), S 那么当x = y时,xy有最大值 . 4 16
2

作业:《全优设计》P3

2


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