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1。6三角函数模型的简单应用修改版


三角函数模型的简单应用

基础梳理
1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念
y= Asin(ωx+ φ) (A>0, ω >0), x ∈ [0,+ ∞) 振幅 周期 T= 2π ____ ω 频率 1 f= = T
ω 2π ____

相位 ωx +φ

初相
<

br />A

φ

2.用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图

用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五
个关键点,如下表所示.
φ - ω _____

x ωx+ φ y=Asin (ωx+ φ)

π φ π φ - - 2ω ω ______ ω ω _______

3π φ - _______ 2ω ω

2π φ - ________ ω ω

0 0

π 2 A

π 0

3π 2 -A

2π 0

例1 如图1.6-1,某地一天从6~14时的温度变化 ? T / C y ? A sin( ? x ? ? ) ? b 曲线近似满足函数 (1)求这一天6~14时的最大温差; 30 (2)写出这段曲线的函数解析式.
20

解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是200C.10 (2)从图中可以看出,从6~14时的图象是 6 函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? b的半个周期 O 的图象, 1 1 所以,A ? ? 30 ? 10 ? ? 10, b ? ? 30 ? 10 ? ? 20
2
8 10 12 14 t / h

2

3? ) ? 20, x ? ?6,14?. 综上,所求解析式为 y ? 10 sin( x ? 8 4

? 3? 1 2? ? ? 14 ? 6 ? ? ? 8 . 将x ? 6, y ? 10代入上式,解得?= 4 . 2 ?

?

练习:如图所示为函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? b, ( ? ? ) 2 的部分图象.求出函数的解析式 y
解:由图可知

?

?3 ? (?1)? ? 2 A?
2

3

T 11? ? ? ? ? ?T 4 12 3 12 4 2? ?? ? 2 ?T ?

3 ? (?1) ?1 2 2? 3? ? b?

2
1

??
-1

2? 3

11? 12

x

?

3 ? 4? 3? ? ? ? 2 k ? ? (k ? z ) ? ? ? ? 2k? ? (k ? z ) 6 3 2
?? ?

将 x?

2?

, y ? ?1 代入得

sin(

4? ? ? ) ? ?1 3

? ? ?? ? 2 6

综上,所求解析式为

y ? 2 sin( 2 x ? ) ? 1 6

?

小结
1 A ? ? f ( x) max ? f ( x) min ? 2 1 b ? ? f ( x) max ? f ( x) min ? 2 2? 求得 ? T ?

?

利用最低点或最高点在图像上,该 点的坐标满足函数解析式可得 ?

思考: y ?

x

的图像与
y

y ? x 的图

像有何联系?

x

例2 画出函数 y ? sin x 的图像并观察其周期.
y
1

? 2?

??

?

?
2 -1

0

? 2

?

2? x

y
1

?2?

??

?

? 2

o
?1

? 2

?

2?

x

我们也可以这样进行验证: 由于

sin?x ? ? ? ? ? sin x ? sin x

所以,函数

y ? sin x 是以 ?

为周期的函数.

注意:
利用函数图像的直观性,通过观察 图像而获得对函数性质的认识,这 是研究数学问题的常用方法。

练习:1.画出 y ? cos x 的图像并观察其周期.
解:函数图像如图所示,从 图中可以看出函数 y ? cos x 是以 为周期的波浪形曲线.

?

? 2? ? 3? 2

??

?

?
2

? 2

?

3? 2

2?

2.画出 y ? tan x 的图像并观察其周期.
解:函数图像如图所示: 从图中可以看出函数 y ? tan x 是以 为周期的函数.

?

?

3? 2

??

?

? 2

? 2

?

3? 2

小结 画整个函数带有绝对值的图像时:
1.先画出不含绝对值函数的图像; 2.若x轴下方有图像时,则把下面的图像以x 轴为轴翻折上去。X轴上面的图像不动。

考点3 三角函数模型的简单应用 例3 (2013· 金丽衢十二校联考 ) 已知我省某海滨浴场的海浪 高度 y( 米 ) 是时间 t(0≤t≤24 ,单位:小时 ) 的函数,记作 y = f(t).下表是某日各时的浪高数据: t(时 ) y( 米 ) 0 3 6 9 12 15 18 21 24

1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5

经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acos ωt+b 的图象.根据以上数据,你认为一日(持续24小时)内,该海滨

浴场的海浪高度超过1.25米的时间为(
A.10小时 C.6小时 B.8小时 D.4小时

)

【解析】

? ?-A+b=0.5 π 依题意得? , A= 0.5, b= 1, ω= , 6 2π ? ? ω =12
A+ b=1.5

π π 所以 y= 0.5cos t+ 1.令 y= 0.5cos t+ 1>1.25(t∈ [0, 24])得 6 6 cos π 1 π π π 5π π t> .又 t∈ [0,24], t∈ [0,4π],因此 0≤ t< 或 < 6 2 6 6 3 3 6

π π 5π π t≤2π 或 2π≤ t< 2π+ 或 2π+ < t≤2π+ 2π,即 0≤t< 2 或 6 3 3 6 10< t≤12 或 12≤t< 14 或 22< t≤24,在一日内,海滨浴场的海 浪高度超过 1.25 米的时间为 8 小时. 【答案】 B

跟踪训练
3.如图,某市拟在长为 8 km 的道路 OP 的一侧修建一条运动 赛道,赛道的前一部分为曲线段 OSM,该曲线段为函数 y= Asin ωx(A> 0, ω> 0), x∈ [0,4]的图象,且图象的最高点 为 S(3,2 3);赛道的后一部分为折线段 MNP.为保证参赛运 动员的安全,限定∠ MNP=120° . 求 A, ω 的值和 M, P 两点间的距离.

T 解:连接 MP(图略 ).依题意,有 A=2 3, = 3, 4 2π π π 又 T= ,∴ ω= ,∴ y= 2 3sin x. 6 6 ω 2π 当 x= 4 时, y= 2 3sin = 3, 3 ∴ M(4,3).又 P(8, 0), ∴ MP= (-4) 2+ 32= 5. 即 M, P 两点相距 5 km.


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