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高中数学常用结论及公式


高中数学常用结论及公式
一.集合逻辑:
2 2 1. A ? x | y ? x , B ? y | y ? x , A ? B ? _____

对数恒等式: a
n

log a N

? N ( a ? 0 ,且 a ? 1 , N ? 0 ).

推论 log a

m b ?

n log a b ( a ? 0 ,且 a ? 1 , N ? 0 ). m

?

?

?

?

三.三角函数: 1.二倍角: sin 2? ? 2sin ? cos ? .

2.充要条件: (1)、 p ? q ,则 P 是 q 的充分条件,反之,q 是 p 的必要条件; A_____B (2) 、 p ? q ,且 q ≠> p,则 P 是 q 的充分不必要条件;A_____B (3)、p ≠> p ,且 q ? p ,则 P 是 q 的必要不充分条件;A_____B (4) 、p ≠> p ,且 q ≠> p,则 P 是 q 的既不充分又不必要条件。 3.否命题: “若 a ? 1, 则 a2 ? 1, ” 的否命题是_____________.
2 4.否定: “ ?x0 ? R, 使得 x0 ? mx0 ? 2m ? 3 ? 0 .的否定是__________________________.

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? . sin 2 ? ? _______,cos2 ? ? _______ 2 tan ? tan 2? ? . 1 ? tan 2 ?
2.同角三角函数的基本关系式 : sin ? ? cos ? ? 1 , tan ? =
2 2

sin ? , cos ?

二.函数导数: 1.函数的周期性:(1)、f(x+m)=f(x) ,此时周期为 2m (2) 、 f(x+T)= - f(x) ,此时周期为 2T ; (3)、 f ( x ? m) ?

若 tan ? ? 2,sin 2 ? ? 3sin ? cos ? ? 1 ? _____ 3. 正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变,符号看象限) 4.和角与差角公式 sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ;

tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? . 1 ? tan ? tan ?
b ). a

1 ,此时周期为_______.; 。 f ( x)

a sin ? ? b cos ? = a 2 ? b2 sin(? ? ? )
(辅助角 ? 所在象限由点 ( a, b) 的象限决定, tan ? ? 5.正弦,余弦定理:

(4)、 f ( x ? m) ? ?

1 ,此时周期为 2m f ( x)

2.对称性: (1)对于函数 y ? f ( x) ( x ? R ), f ( x ? a) ? f (a ? x) , ( f ( x) ? f (2a ? x) )恒成立,则 函数 f ( x) 的对称轴是________; (2) 对于函数 y ? f ( x) ( x ? R ), f ( x ? a) ? ? f (a ? x)( f ( x) ? ? f (2a ? x) ) 恒成立,则函数 f ( x) 的对称中心是________; (3)若对称中心是(a,0), 相邻的对称轴是 x=b,则周期是________; (4)若一条对称轴是 x=a,相邻的另一条对称轴是 x=b,则周期是________; 3.若函数为奇函数,在 x=0 处有意义,则__________,若函数为偶函数,则__________ . 5.不等式恒成立问题或存在性问题首选

a b c ? ? ? 2 R (R 为 ?ABC 外接圆的半径). sin A sin B sin C ? a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C ? a : b : c ? sin A : sin B : sin C (2)在 ?ABC 中, sin A ? sin B 是 A>B 的_______条件。 (3)直线 y ? x 与 y ? sin x 有_______个交点。 (4) y ? sin x 的对称轴是________,对称中心是_________. y ? cos x 的对称轴是________,对称中心是_________.
(1) 四.向量:

1.平行与垂直 :设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0 ,则:

?

?

?

?

方法(转化为最值问题)

? ? ? ? a || b ? b =λ a ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 .(交叉相乘差为零) ? ? ? ? ? ? a ? b ( a ? 0 ) ? a · b =0 ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 .(对应相乘和为零) ? ? 2.两向量的夹角公式:设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,
cos? ? ________ ? ___________
3.三点共线:

log m N 6. 对数的换底公式 : log a N ? ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m ? 0 ,且 m ? 1 , N ? 0 ). log m a

若 A,B, P 三点共线,且满足 OP =x OA +y OB (O 为平面内任一点,x ? R,y x ? R),则________. 4. O 为 ?ABC 的重心 ? OA ? OB ? OC ? 0 . 五:不等式: 1.均值定理:已知 x , y 都是正数,则有 (1)若积 xy 是定值 p ,则当 x ? y 时和 x ? y 有最小值 2 p ;

若数列 ?an ? 为等比数列,则 Sn=__________ 若等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? 3 ? k ,则 k=__________。
n

??? ? ??? ? ??? ?

?

注意:求通项公式时,不要漏掉验证 n=1. 七.解析几何: 1.点到直线的距离 : d ?

1 2 (2)若和 x ? y 是定值 s ,则当 x ? y 时积 xy 有最大值 s . 4 ? (3)已知 a, b, x, y ? R ,若 ax ? by ? 1则有 1 1 1 1 by ax ? ? (ax ? by )( ? ) ? a ? b ? ? ? a ? b ? 2 ab ? ( a ? b ) 2 。 x y x y x y
2.含有绝对值的不等式 :当 a> 0 时,有

| Ax0 ? By0 ? C |

A2 ? B 2 2. 圆的标准方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 .

(点 P( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ).

圆的一般方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D ? E ? 4 F >0).
2 2

点 P( x0 , y0 ) 在圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的内部 ? ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 . 点 P( x0 , y0 ) 在圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的外部 ? ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 . 八.立体几何 1.证明直线与平面的平行的思考途径: (1)转化为线线平行; (2)转化为面面平行. 2. 证明平面与平面的平行的思考途径: 转化为线线平行; 3.证明直线与平面垂直的思考途径: (1)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (2)利用面面垂直的性质 4.证明平面与平面的垂直的思考途径: 转化为线面垂直 5.球的半径是 R,则其体积 V ?

x ? a ? x ? a ? ?a ? x ? a .
2 2

x ? a ? x2 ? a2 ? x ? a 或 x ? ?a
六.数列: 1.等差数列: 通项公式: (1) an ? a1 ? (n ?1)d ,其中 a1 为首项,d 为公差,n 为项数, an 为末项。 (2)推广: an ? ak ? (n ? k )d 前 n 项和: (1) S n ?

n(a1 ? an ) ;其中 a1 为首项,n 为项数, an 为末项。 2 n(n ? 1) d (2) S n ? na1 ? 2

2.等比数列: 通项公式: (1) an ? a1q
n ?1

4 ? R 3 ,其表面积 S ? 4? R2 . 3

?

a1 n ? q (n ? N * ) ,其中 a1 为首项,n 为项数,q 为公比。 q

6.球的组合体: (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长 , 正方体的内切球的直径是正方 体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (选看) (3)球与正四面体的组合体: 棱长为 a 的正四面体的内切球的半径为 (正四面体高

(2)推广: an ? ak ? qn?k

6 a。 12

? na1 ? 前 n 项和: (1) S n ? ? a1 (1 ? q n ) ? 1? q ?

(q ? 1) (q ? 1)

1 3 6 6 6 a 的 ),外接球的半径为 a (正四面体高 a 的 ). 4 4 3 4 3

(2)若数列 ?an ? 为等差数列,则 Sn=__________ 若等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? 3n ? 2n ,则 a1=__________,d=______
2

正四面体外接球与内切球半径之比为 3:1 九.概率统计: 1.互斥事件 A,B 分别发生的概率的和:P(A+B)=P(A)+P(B). n 个互斥事件分别发生的概率的和:P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An). 2.方差:s =_________________________________ 标准差:
2


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