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区分二分法中的精确度与精确到


区分二分法中的“精确度”与“精确到”
人教 A 版《数学 1》第 3.1.2 小节讲述了“用二分法求方程的近似解” 。但我 在教学中发现学生对“精确度”和“精确到”这两个概念混淆不清,中学生学习 近似数时使用的都是“精确到” ,而本节内容学习近似数时使用的是一个新名词 ——精确度,它们两者在取近似数时,有什么区别呢?下面我就通过课本上的一 道引例的解答来帮助学生弄清这两个概念。 例:用二分法求函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 在区间(2,3)内的零点 (I)按精确度为 0.01 求近似解;(II)再按精确到 0.1 求近似解。 分析:本题考查函数零点的概念以及用二分法求函数零点的具体步骤,求零 点,关键是确定一个包含此零点的区间,尽可能地根据题中要求找到含有零点的 较小区间,再按要求找到函数的近似解。 解:(I)求函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 在区间(2,3)内的零点(精确度为 0.01) 因为 f (2) ? f (3) ? 0 , 所以函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 在区间(2,3)内有零点, 又因 为 f ( x) 在区间(2,3)内是增函数,所以函数 f ( x) 在区间(2,3)内有唯一零点。采用 二分法,可列表如下: 零点所在区间 (2,3) (2.5,3) (2.5,2.75) (2.5,2.625) (2.5,2.5625) (2.53125,2.5625) (2.53125,2.546875) (2.53125,2.5390625) ∵0.0078125<0.01 中点的值 2.5 2.75 2.625 2.5625 2.53125 2.546875 2.5390625 中点函数值的正负 - + + + - + + 区间的长度 (即精确度) 1 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.015625 0.0078125 ∴闭区间[2.53125,2.5390625]上的任一数值都是所求

答案,按照课本要求,这里统一取区间的端点作为零点的近似值,这是因为近似 数 x 与真实值 x。之差的绝对值|x-x0|就是近似值 x 的精确度 ? (即精确度 ? 是近

似数 x 与真实值 x。之间的接近程度),用数轴上对应的点描述,近似值 x 在以真 实值 x。为中心、精确度 ? 为半径的邻城中的任一数,所以零点(真实 值) x0 ? (2.53125,2.5390625),选闭区间[2.53125,2.5390625]上的任一数 x(近似 值), 均有|x-x0|<2.5390625-2.53125=0.0078125, 所以闭区间[2.53125, 2.5390625] 上的任一数都是精确度为 0.01 的近似值。 (II)零点(真实值) x0 按精确到 0.1 求近似解,要根据零点的第二位小数的值按 四舍五入得到一位小数的近似值, 就是精确到 0.1 的近似值(即精确到是指数据精 确到多少位),答案是唯一的。但是,对零点所在的区间有严格的要求,该区间 上的任一数值都按四舍五入得到一位小数后的近似值必须相同,一般地,只考虑 该区间上的两个端点的四舍五入的数值相同就可以了。这样,由第(I)问的列表可 得,2.53125≈2.5,2.546875≈2.5,则该零点的区间是(2.53125,2.546875),所以 所求近似值为 2.5。 说明:通过本题的解答过程可以归纳出“精确度”与“精确到”的异同点。 相同点: “精确度”与“精确到”是从两个不同方面得到零点的近似值;不同点: “精确度”是对同一个量的不同近似数的精确程度的度量,按照课本规定,找到 的区间的两个端点差的绝对值必须小于题中所给精确度的数值, 则该区间就是满 足题中条件的零点区间,该闭区间上的任一数值就是零点的近似值,该近似值可 以有多个; “精确到”是指一般数据四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到 哪一位,找到的区间两个端点的四舍五入的数值必须相同,则该区间就是零点所 在区间,该闭区间的任一近似值等于零点的数值,该近似值只有唯一一个。


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