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2013版高中全程复习方略配套课件:8.7双曲线(人教A版·数学理)浙江专用


第七节 双曲线

三年18考

高考指数:★★★

1.了解双曲线的定义,掌握双曲线的几何图形和标准方程,理

解它的简单几何性质.
2.了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用.

3.理解数形结合的思想.

1.双曲线的定义、标准方程、几何性质是

高考的重点,双曲线 的离心率、渐近线或与其他知识结合是高考的热点; 2.选择题、填空题、解答题均有所考查.

1.双曲线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线

之差的绝对值 (1)在平面内;(2)动点到两定点的距离______________为
小于 一定值;(3)这一定值一定要_______两定点的距离.

【即时应用】
判断下列点的轨迹是否为双曲线(请在括号内填写“是”或“否”) (1)平面内到点A(0,2),B(0,-2)距离之差等于2的点的轨迹; ( )

(2)平面内到点A(0,2),B(0,-2)距离之差的绝对值等于3的点的轨 迹; ( )

(3)平面内到点A(0,2),B(0,-2)距离之差等于4的点的轨迹; ( )

(4)平面内到点A(0,2),B(0,-2)距离之差的绝对值等于4的点的
轨迹; ( )

(5)平面内到点A(0,2),B(0,-2)距离之差等于6的点的轨迹; ( )

(6)平面内到点A(0,2),B(0,-2)距离之差的绝对值等于6的点的 轨迹. ( )

【解析】由双曲线的定义可知:(1)点的轨迹是以A,B为焦点,

实轴长为2的双曲线的一支;(2)点的轨迹是以A,B为焦点,实
轴长为3的双曲线;(3)点的轨迹是以B为端点方向向下的一条

射线;(4)点的轨迹是分别以A、B为端点方向向上、下的两条
射线;(5)距离之差大于|AB|,所以点的轨迹不存在;(6)距 离之差的绝对值大于|AB|,所以点的轨迹不存在. 答案:(1)否 (2)是 (3)否 (4)否 (5)否 (6)否

2.双曲线的标准方程和几何性质

y

B2

y
A2

F2

图形

F1

A1

o
B1

A2

F2

x

B1

o

B2 A1 F1

x

标准方程 范围 对称性

x y ? 2 ? 1 ( a >0,b>0) a2 b
x ≥ a或x ≤ -a 对称轴:坐标轴 对称中心:原点 顶点坐标: A1(-a, 0) ,A 2 (a, 0)
y?? b x a

2

2

y x ? ? 1 ( a>0, b>0) a 2 b2

2

2

y≤ a或 y≥a 对称轴:坐标轴 对称中心:原点 顶点坐标 A1(0, -a) , A 2(0, a)
y?? a x b

性 质

顶点 渐近线 离心率 a、b、c 的关系 实虚轴

e?

c , e ? ? 1, ?? ? , a

c 2 ? b2 ? a 2
线段A 1A 2 叫做双曲线的实轴,它的长| A 1A 2|=2 a;线段B 1B 2 叫做双曲线的 虚轴,它的长|B 1B 2|=2 b; a 叫做双曲线的半实轴长,b 叫做双曲线的半虚 轴长

【即时应用】
(1)思考:双曲线离心率的大小与双曲线“张口”大小有怎样

的关系?
c a 2 ? b2 b 提示:因为离心率 e ? ? ? 1 ? ( ) 2, a a a 所以,离心率越大, b 就趋近于+∞,即两条渐近线所形成的角 a

(双曲线所在的区域)就越大,即双曲线的“张口”就越大; 离心率越小即接近1, b 就趋近于0,即两条渐近线所形成的角
a

(双曲线所在的区域)就越小,即双曲线的“张口”就越小.

(2)已知曲线2x2-y2+6=0上一点P到一个焦点的距离为4, 则它到另一个焦点的距离为_____________. 【解析】曲线2x2-y2+6=0的方程可化为:
y2 x 2 ? ? 1, 6 3

所以a2=6,又因为点P到一个焦点的距离为4, 所以到另一焦点的距离为 4 ? 2 6.

答案:4+2 6

x 2 y2 (3)已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0)的虚轴长为2, a b

焦距为2 3 ,则双曲线的渐近线方程为________.
【解析】依题意知:2b=2,2c=2 3 , 所以b=1,c= 3 ,a= 2 ,因此,双曲线的渐近线方程 为: ? ? b x ? ? 2 x. y
a 2

答案:y=〒 2 x
2

双曲线的定义、标准方程

【方法点睛】
1.应用双曲线定义的注意事项 (1)距离之差的绝对值; (2)2a<|F1F2|; (3)双曲线上任意一点与两焦点围成的“焦点三角形” 中的数量关系.

2.双曲线的标准方程 (1)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时,其标准方程
x 2 y2 可设为 ? ? 1 (mn>0),这样可避免讨论和复杂的计算; m n

也可设为Ax2+By2=1(AB <0),这种形式在解题时更简便; (2)当已知双曲线的渐近线方程bx±ay=0,求双曲线方程时, 可设双曲线方程为 b2x2-a2y2=λ (λ ≠0),据其他条件

确定λ 的值;
x 2 y2 (3)与双曲线 2 ? 2 ? 1 有相同的渐近线的双曲线方程 a2 b 2 x y 可设为 ? 2 ? ?(λ ≠0),据其他条件确定λ 的值. a2 b

3.求双曲线标准方程的方法及步骤 (1)定义法:根据题设条件得出或已知曲线为双曲线,可直接求 出a、b、c,得出双曲线方程; (2)待定系数法:先设出双曲线的标准方程,将题设条件代入方 程确定相关系数,最后得出方程. 【提醒】用定义法求双曲线方程时,要注意焦点所在坐标轴的

位置.

x 2 y2 【例1】(1)与双曲线 ? ? 1 有相同的渐近线,且过点 9 16

(-3,2

3 )的双曲线方程为____________.

(2)已知定点A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以C为一个焦点作过 A、B的椭圆,求另一个焦点F的轨迹方程.

【解题指南】(1)先设出双曲线的方程,用待定系数法求解;
(2)由椭圆定义得出关于点F的等式,化简后可得出点F的轨迹,

进而得出轨迹方程.
x 2 y2 【规范解答】(1)因为所求双曲线与 ? ? 1 有相同的渐 9 16 2 x y2 近线,所以设所求双曲线方程为 ? ? λ (λ≠0), 9 16 又因为双曲线过点(-3,2 3 ),所以 9 ? 12 ? λ ,解得λ= 1 , 4 9 16 2 2 x y 4x 2 y 2 所以所求双曲线方程为: ? ? 1 ,即 ? ?1 . 9 4 9 4 2 2 4 答案:4x ? y ? 1 9 4

(2)由椭圆的定义知:|AC|+|AF|=|BC|+|BF|, 又因为A(0,7),B(0,-7),C(12,2), 所以|AC|=13,|BC|=15,因此|AF|-|BF|=2, 所以F的轨迹是双曲线的一支,其中c=7,a=1,b2=48,
x2 因此所求轨迹方程为: y ? ? 1 (y<0). 48
2

【反思·感悟】1.第一小题有相同渐近线的双曲线方程的设 法只有一个参数,再需一个条件即可求解; 2.第二小题是借助于椭圆的定义,得出一个等式,再由双曲 线的定义得出轨迹为双曲线的一支.

双曲线的几何性质 【方法点睛】 1.双曲线的几何性质的关注点 双曲线的几何性质从以下三点关注:

(1)“六点”:两焦点、两顶点、两虚轴端点;
(2)“四线”:两对称轴(实、虚轴),两渐近线;

(3)“两形”:中心、顶点、虚轴端点构成的三角形,
双曲线上的一点(不包括顶点)与两焦点构成的三角形.

2.双曲线的离心率与渐近线斜率的关系 (1)已知双曲线的离心率e求渐近线方程要注意
b e ? 1 ? ( ) 2 及判断焦点的位置; a

(2)已知渐近线方程y=mx(m>0)求离心率时,若焦点不确定时,
m= b 或m= a ,因此离心率有两种可能.
a b

【提醒】双曲线中a、b、c之间的关系为c2=a2+b2,不要和椭圆
之间的关系混淆.

【例2】(1)(2011·福建高考)设圆锥曲线C的两个焦点分别为 F1,F2,若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2, 则曲线C的离心率等于(
3 (A) 1 或 2 2 (C) 1 或 2 2

)

2 或 2 3 3 (D) 2 或 2 3

(B)

x 2 y 2 (a>0,b>0) (2)(2012·杭州模拟)已知点F是双曲线 ? 2 ?1 2 a b

的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过点F且垂直于x轴的直线 与双曲线交于A、B两点,△ABE是锐角三角形,则该双曲线的离 心率e的取值范围是( (A)(1,+∞) (C)(1,1+ 2 ) ) (B)(1,2) (D)(2,1+ 2 )

x 2 y2 (3)(2010·北京高考)已知双曲线 ? ? 1 的离心率为2, a 2 b2 x 2 y2 焦点与椭圆 ? ? 1 的焦点相同,那么双曲线的焦点坐 25 9

标为____________,渐近线方程为_______________.

【解题指南】(1)由于已知圆锥曲线的两个焦点,所以该圆锥曲 线为椭圆或双曲线.再由椭圆、双曲线的定义及离心率的定义即

可求解.
(2)利用AB⊥x轴得△ABE为等腰三角形,从而由∠AEB为锐角

得∠AEF<45°可求得e的取值范围.
(3)由椭圆的焦点坐标得出双曲线的焦点坐标及c值,由离心率 的值,可求出a,进而得出双曲线的渐近线方程.

【规范解答】(1)选A.∵|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2, ∴可设|PF1|=4k,|F1F2|=3k,|PF2|=2k,k>0, 其中|F1F2|=2c=3k,∴c= 3k .
2

若圆锥曲线C为椭圆,则|PF1|+|PF2|=2a=6k,
3 k c 2 1 ∴a=3k,∴e ? ? ? . a 3k 2

若圆锥曲线C为双曲线,则|PF1|-|PF2|=2a=2k,
3 k c 2 3 ∴e的取值为 1 或 3 . ∴a=k,∴ e ? ? ? , 2 2 a k 2

(2)选B.因为AB⊥x轴,所以△ABE为等腰三角形.又△ABE是

锐角三角形,所以∠AEB为锐角,即∠AEF<45°.于是
b2 |AF|<|EF|,即 <a+c,于是c2-a2<a2+ac,即e2-e-2<0, a

解得-1<e<2.又双曲线的离心率e>1,从而1<e<2. (3)椭圆的焦点坐标为(4,0),(-4,0),故c=4,
c =2,故a=2,b= c2 ? a 2 = 2 3 . a 所以双曲线的渐近线方程为y=〒 b x=〒 3 x. a

且满足

答案:(4,0),(-4,0)

y=〒 3 x

【反思·感悟】1.第一小题首先是讨论曲线的类型,然后再根 据相应曲线的定义,求出离心率的值. 2.第三小题解题的关键是求出a,b,c的值,然后求解.

与双曲线有关的综合问题 【方法点睛】 1.直线与双曲线的位置关系 判断直线l与双曲线E的位置关系时,通常将直线l的方程Ax+By+C=0

(A、B不同时为0)代入双曲线E的方程F(x,y)=0,消去
y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程.
Ax ? By ? C ? 0 即? 消去y后得ax2+bx+c=0. , ? ?F ? x, y ? ? 0

方程特征

公共点个数

位置关系
直线与双曲线的渐近 线平行,两者相交 相交

直 线 与 双 曲 线

a=0
a≠0 a≠0 a≠0
△>0

1 2 1 0

△=0 △<0

相切 相离

2.解决与双曲线有关的参数的取值范围或最值问题的常用方法 (1)当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义时,可考虑

利用数形结合法求解或构造参数满足的不等式(组),通过解不等
式(组)求得参数的取值范围;

(2)当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系时,则可先
建立目标函数,进而转化为求解函数的值域.

【提醒】解决直线与双曲线相交问题时,若涉及到弦的中点或 斜率,一般用点差法求解.

x2 【例3】(2012·合肥模拟)已知双曲线C: 2 ? y 2 ? 1(a>0) a

与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A、B.

(1)求双曲线C的离心率e的取值范围.
??? 5 ??? ? (2)设直线l与y轴交点为P,且 PA ? PB ,求a的值. 12

【解题指南】(1)将直线方程代入双曲线方程消去y,整理成 关于x的一元二次方程,得a的范围,利用a的取值范围求解;

(2)设出A,B的坐标,利用(1)中一元二次方程的根与系数的
关系求解.

【规范解答】(1)由双曲线C与直线相交于两个不同的点,
? x2 2 ? 2 ? y ? 1 有两个不同的解,消去y并整理得: 知方程组 a ? ?x ? y ? 1 ? 2 2 2 2

(1-a )x +2a x-2a =0

①,

?1 ? a 2 ? 0 ? , ∴? 4 2 2 ?Δ ? 4a ? 8a ?1 ? a ?>0 ? 解得0<a< 2且a≠1,
1? a2 1 双曲线的离心率 e ? ? ? 1. 2 a a

∵0<a< 2 且a≠1,

∴e> 6 且e≠ 2 ,
2

即离心率e的取值范围为(

6 , 2 )∪( 2

2 ,+∞).

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,1),
??? 5 ??? ? ∵ PA ? PB, 12

∴(x1,y1-1)= 5 (x2,y2-1),
12

得x1= 5 x2,
12

由于x1,x2是方程①的两个根,
2a 2 ,x x = 2a 2 , ∴x1+x2= ? 1 2 ? 2 1? a 1? a2 17 x = 2a 2 ,5 2= 2a 2 ,消去x , 即 x2 ? 2 ? 2 2 2 12 1? a 12 1? a 2 得? 2a = 289 , 60 1? a2 17 解得a= . 13

【反思·感悟】双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置 关系.解决这类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程,

然后把直线方程和双曲线方程联立组成方程组,消元后转化成
关于x(或y)的一元二次方程,利用根与系数的关系,整体代入

的思想解题.设直线与双曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直
线的斜率为k,则|AB|= 1 ? k 2 |x1-x2|.

【易错误区】双曲线几何性质的解题误区
x 2 y 2 (a>0,b>0) 【典例】(2011·山东高考)已知双曲线 2 ? 2 ? 1 a b

的两条渐近线均和圆C:x2+y2-6x+5=0相切,且双曲线的右焦 点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为(
x 2 y2 (A) ? ? 1 5 4 x 2 y2 (C) ? ? 1 3 6 x 2 y2 (B) ? ? 1 4 5 2 x y2 (D) ? ? 1 6 3

)

【解题指南】求出圆C的圆心坐标、半径,写出渐近线方程,由 圆心到渐近线的距离等于半径即可得到a,b的关系,再由双曲线 的右焦点为圆C的圆心知c值,即可求出结果.

【规范解答】选A.双曲线的渐近线方程为bx+ay=0和bx-ay=0, 圆心为(3,0),半径r=2.由圆心到渐近线的距离为圆的半径
2 得: ? 3b a 2 ? b2 , 即4a2=5b2,又因为双曲线的右焦点为

圆C的圆心,所以c=3,即9=a2+b2,所以,a2=5,b2=4.
x 2 y2 所以该双曲线的方程为 ? ?1 5 4

【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结,我们可以 得到以下误区警示和备考建议:

解答本题时有以下几个误区:

误 (1)圆心坐标为双曲线的右焦点,注意焦点坐标为(c,0), 区 易误认为(2c,0),从而结果错误; 警 示 (2)双曲线中a、b、c之间的关系为c2=a2+b2,椭圆中a、b、 c之间的关系为a2=c2+b2,两者易混淆,从而错解.

解决与双曲线有关的问题时,要注意以下几点:

备 (1)根据题设条件,合理选择双曲线的标准方程的形式 考 (注意焦点的位置); 建 议 (2)弄清双曲线中a、b、c之间的关系,最大者为c,即 c2=a2+b2.

1.(2011·安徽高考)双曲线2x2-y2=8的实轴长是( (A)2 (B)2 2 (C)4 (D)4 2

)

【解析】选C.将双曲线2x2-y2=8化成标准方程 则a2=4,所以实轴长2a=4.

x 2 y2 ? ?1 , 4 8

x 2 y2 2.(2011·湖南高考)设双曲线 2 ? ? 1(a>0)的渐近 a 9

线方程为3x±2y=0,则a的值为( (A)4 (B)3 (C)2

) (D)1

x 2 y2 【解析】选C.由 2 ? ? 1 可得到双曲线的渐近线方程为 a 9 y=〒 3 x,又已知双曲线的渐近线方程为3x〒2y=0, a

根据直线重合的条件可得到a=2.

3.(2011·新课标全国卷)设直线l过双曲线C的一个焦点, 且与C的一条对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|为C的 实轴长的2倍,则C的离心率为( (A) 2 (B) 3 ) (D)3

(C)2

【解析】选B.不妨设双曲线的焦点在x轴上(焦点在y轴上的
x 2 y2 离心率与焦点在x轴上的离心率一样),方程为 2 ? 2 ? 1 a b

(a>0,b>0),设F(c,0),A(x1,y1),B(x2,y2),由l过点F且
与对称轴垂直,可得x1=x2=c,将其代入双曲线的方程得
b2 2b 2 |y1|=|y2|= ,故|AB|= ,依题意, a a 2 |AB|=2a〓2=4a,∴ 2b =4a, a

化简整理得b2=2a2,解得e= 3 .

y2 x 2 4.(2011·江西高考)若双曲线 ? ? 1的离心率e=2, 16 m

则m=_________.

【解析】由题意可得a2=16,b2=m,
故c2=a2+b2=16+m,又∵e= c ,
a

∴2= 16 ? m ,∴m=48.
4

答案:48

x 2 y2 5.(2011·辽宁高考)已知点(2,3)在双曲线C: 2 ? 2 ? 1 a b

(a>0,b>0)上,C的焦距为4,则它的离心率为________. 【解析】由题意可得
?4 9 ?a ? 1 ? a 2 ? b2 ? 1 ? c 2 ? 所以所求离心率 e ? ? ? 2 . ,解之得 ?b ? 3, ? 2c ? 4 a 1 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ?c ? 2 ? ? ?

答案:2


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