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第二讲 证明不等式的基本方法(2)


第二讲

证明不等式的基本方法(2)

反证法
先假设要证明的命题结论不成立,以此为出 发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性 质等,进行正确的推理,得到矛盾,说明假设不 正确,从而间接说明原命题成立的方法。

反证法的证题步骤: (1)反设 (2)归谬 (3)存真

例1 已 知

x , y ? 0, 且x ? y ? 2, 1? x 1? y 试证 , 中至少有一个小于 2. y x 1? x 1? y 证明: 假设 , 都不小于2, y x

? x, y ? 0,?1 ? x ? 2 y, 1 ? y ? 2x,
? 2 ? x ? y ? 2( x ? y) ? x ? y ? 2,

1? x 1? y 即 ? 2, 且 ? 2, y x

这与已知条件

x ? y ? 2 矛盾 .

1? x 1? y ? 与 中至少有一个小于 2 y x

已知a, b, c ? R? 1 1 1 求证:三个数 a ? ,b ? ,c ? b c a 中至少有一个不小于 2

例2、已知a + b + c > 0,ab + bc + ca > 0, abc > 0, 求证:a, b, c > 0

证:假设a,b,c不全是正数,即其中至少有一个不是正数, 不妨先设a ≤ 0, 若a = 0,则与abc > 0矛盾, 若a<0,∵abc > 0, ∴bc < 0 又由a + b + c > 0, 则b + c > ?a > 0 ∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾 ∴必有a > 0 同理可证:b > 0, c > 0

放缩法
? 在证明不等式过程中,有时为了证明的 需要,可对有关式子适当进行放大或缩小 ,实现证明.这种证明方法,我们称之为放缩

法。 ? 放缩法的依据就是传递性。

例3、若a, b, c, d?R+,求证:
a b c d 1? ? ? ? ?2 a?b?d b?c?a c?d ?b d ?a?c

练习 用放缩法证明: 1 1 1 1? ? ?? ? ?2 n 2 3 n (提 示 : 当 i ? 1时, i ? i ? 1 ? 2 i从 而 1 ? 2( i ? i ? 1).) i

练习: [2014新课课标全国卷 ?] 选修4 - 5: 不等式选讲 1 设函数f(x) = x ? + | x-a | (a>0). a 证明:f(x) ≥2;

(2012 年江苏省高考试题) 1 1 已知实数 x, y满 足 x ? y ? , 2 x ? y ? , 3 6 5 求 证: y ? 18

一、二维形式的柯西不等式
定理1 (二维形式的柯西不等式 ) 若a , b, c , d都是 实数, 则 (a 2 ? b2 )(c 2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 当且仅当ad ? bc时, 等号成立.

二维形式的柯西不等式的变式:
(1) a 2 ? b2 ? c 2 ? d 2 ? ac ? bd ( 2) a 2 ? b2 ? c 2 ? d 2 ? ac ? bd

a b 例1 已知x, y, a, b ? R? , 且 ? ? 1, 求x ? y的最小值 . x y

例题:

练习 1 已知a, b为实数, 证明(a 4 ? b4 )(a 2 ? b2 ) ? (a3 ? b3 )2

1 1 练习2 设a, b ? R? , a ? b ? 1, 求证 ? ? 4 a b

三维形式的柯西不等式
2 2 2 2 2 2 (a1 ? a2 ? a3 ) (b1 ? b2 ? b3 ) ? (a1b1 ? a2b2 ? a3b3 )2

当且仅当bi ? 0(i ? 1,2,3), 或存在一个数 k, 使得ai ? kbi (i ? 1,2,3)时, 等号成立.

猜想一般形式的柯西不 等式
(a ? a ? ? ? a )( b ? b ? ?b ) ? (a1b1 ? a2b2 ? ?anbb )
2 1 2 2 2 n 2 1 2 2 2 n

设a1 , a2 , a3 ,? , an , b1 , b2 , b3 ,? , bn 是实数, 则

2

当且仅当bi ? 0(i ? 1,2,? , n)或存在一个数 k , 使得ai ? kbi (i ? 1,2,? , n)时, 等号成立。

例2 已知x ? 2 y ? 3z ? 1, 求x ? y ? z 的最小值
2 2 2

1 14

21.[2014· 福建卷] (Ⅲ)选修45:不等式选 讲 已知定义在R上的函数f(x)=|x+1|+|x-2| 的最小值为a. (1)求a的值; (2)若p,q,r是正实数,且满足p+q+r=3, 求证:p2+q2+r2≥3.

(2013 年全国新课标? 数学理)选修4 - 5 不等式选讲。设 a, b, c均为正数,且 a ? b ? c ? 1, 证明:

1 ( 1)ab ? bc ? ca ? 3 2 2 2 a b c (2) ? ? ? 1 b c a

自选模块1.[2014· 浙江卷] (2)设正数a,b,c满足abc=a+b+c,求证: ab+4bc+9ac≥36,并给出等号成立条件.

课堂小结
证明不等式的特殊方法: (1)反证法:先假设结论的否命题成立, 再寻求矛盾,推翻假设,从而证明结 论成立的方法。 (2)放缩法:对不等式中的有关式子进行 适当的放缩实现证明的方法。

(3)柯西不等式:

课后活动
1、预习下一节内容。 2、完成《创新设计》“当堂检测”部分. 3、P49 1


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