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湖北省黄冈中学2016届高三5月第一次模拟考试数学(理)试题


湖北省黄冈中学 2016 届高三 5 月第一次模拟考试 数学试题(理科)
考试时间:2016 年 5 月 10 日 下午 15:00—17:00 试卷满分:150 分 考试用时:120 分钟 注意事项: 1.本试题分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分. 2.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.

第I卷
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.已知集合 A ? ?x | y ? ln(1 ? 2 x)? , B ? x | x 2 ? x ,全集 U ? A A. (??,0)

?

?

B ,则 CU ( A

B) ? (



? 1 ? ?1 ? ? 1 ? B. ? ? ,1? C. (??,0) ? ,1? D. ? ? ,0 ? ?2 ? ? 2 ? ? 2 ? 2?i 为纯虚数,则复数 z ? 2a ? 2i 的模等于( ) 2.已知 i 为虚数单位, a ? R,若 a?i A. 2 B. 3 C. 6 D. 11
3.已知 f ( x) ? 4 ? x2 , g ( x) ? x ? 2 ,则下列结论正确的是( A. h( x) ? f ( x) ? g ( x) 是偶函数 g ( x) ? f ( x) C . h( x ) ? 是偶函数 2? x 4.过双曲线 ) B. h( x) ? f ( x) ? g ( x) 是奇函数 f ( x) D. h( x) ? 是奇函数 2 ? g ( x)

x2 y 2 b ? 0) 的一个焦点 F 作双曲线的一条渐近线的垂线,若垂线的 ? ? 1 (a ? 0 , a 2 b2 c 延长线与 y 轴的交点坐标为 (0 , ) ,则此双曲线的离心率是( ) 2 B. 2 C. 3 D. 2 A. 5 5.现有 4 种不同的颜色为我校校训四个主题词(如图)涂色, 则相邻的词语涂色不同的概率为( ) 3 15 21 27 A. B. C. D. 32 64 64 64 6.如图所示的图形是由一个半径为 2 的圆和两个半径为 1 的半圆组成,它们的圆心分别是 O, O1 , O2 ,动点 P 从 A 点出发沿着圆弧按 A ? O ? B ? C ? A ? D ? B 的路线运动(其
中 A, O, O1 , O2 , B 五点共线) ,记点 P 运动的路程为 x,设 y ? O1 P ,y 与 x 的函数关系为
y ? f ( x) ,则 y ? f ( x) 的大致图象是(
2



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7.执行如图所示的程序,若 P ? 0.9 ,则输出的 n 值是( A.3 B.4 C.5 D.6 1 ? ?? 8.设 ? , ? ? ? 0, ? ,且 tan ? ? tan ? ? ,则( ) cos ? ? 2? A. 3? ? ? ? C. 3? ? ? ?



? ?
2

B. 2? ? ? ? D. 2? ? ? ?

?
?
2

2

2

?2 x ? y ? 3 ? 0 ? 9.不等式组 ?3x ? y ? 3 ? 0 的解集记为 D,有下面四个命题: ?x ? 2 y ?1 ? 0 ?
p1 : ?( x, y) ? D , 2 x ? 3 y ? ?1 ; y ?1 1 p3 : ?( x, y) ? D , ? ; 2? x 3 其中的真命题是( ) A. p1 , p2 B. p2 , p3
2

p2 : ?( x, y) ? D , 2 x ? 5 y ? ?3 ; p4 : ?( x, y) ? D , x2 ? y 2 ? 2 y ? 1 .
C. p2 , p4
2 2 2

D. p3 , p4

10.已知点 A 是抛物线 M : y ? 2 px( p ? 0) 与圆 C : x ? ( y ? 4) ? a 在第一象限的公共点, 且点 A 到抛物线 M 焦点 F 的距离等于 a.若抛物线 M 上一动点到其准线与到点 C 的距离 之和的最小值为 2a ,O 为坐标原点,则直线 OA 被圆 C 所截得的弦长为( ) 7 2 7 2 A. 2 B. 2 3 C. D. 3 6 11.已知函数 f ( x) ? x2 ex ? ln t ? a ,若对任意的 t ? [1, e] , f ( x) 在区间 [?1,1] 总存在唯一的零 点,则实数 a 的取值范围是( ) A. [1, e] B. (1 ? , e]

1 e

C. (1, e]

D. [1 ? , e]

1 e

12.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某四面 体的三视图,则该四面体的外接球半径为( ) 7 2 A. 2 2 B. C. 11 D. 2 3 3

第 II 卷
二、填空题:本大题共 4 个小题,每题 5 分. 13.在 ?1 ? x ?

? ?

1 ? 的展开式中,含 x 2 项的系数为 2016 ? x ?

10

.

14.在一个俱乐部里,有老实人和骗子两类成员,老实人永远说真话,骗子永远说假话.一 次我们和俱乐部的四个成员谈天,我们便问他们:“你们是什么人,是老实人? 还是骗 子?” 这四个人的回答如下: 第一个人说:“我们四个人全都是骗子.” 第二个人说:“我们当中只有一个人是骗子.” 第三个人说:“我们四个人中有两个人是骗子.” 第四个人说:“我是老实人.” 请判断一下,第四个人是老实人吗? .(请用“是”或“否”作答) 2 15.已知 AD, BE 分别是 ? ABC 的中线,若 AD ? BE ? 1 , 且 AB ? AC ? ,则 AD 与 BE 的夹 3 角为 . 11 16.在四边形 ABCD 中, AB ? 7 , AC ? 6 , cos ?BAC ? , CD ? 6sin ?DAC ,则 BD 的 14 最大值为 .
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三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)设 S n 是数列 ?an ? 的前 n 项和, 已知 a1 ? 3 , an?1 ? 2Sn ? 3 . (Ⅰ) 求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)令 bn ? ? 2n ? 1? an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

18. (本小题满分 12 分)为评估设备 M 生产某种零件的性能,从设备 M 生产零件的流水线 上随机抽取 100 件零件最为样本,测量其直径后,整理得到下表: 直径/mm 件数 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100

经计算,样本的平均值 ? ? 65 ,标准差 ? ? 2.2 ,以频率值作为概率的估计值. (Ⅰ)为评判一台设备的性能,从该设备加工的零件中任意抽取一件,记其直径为 X,并 根据以下不等式进行评判(P 表示相应事件的频率): ① P(? ? ? ? X ? ? ? ? ) ? 0.6826 ;② P(? ? 2? ? X ? ? ? 2? ) ? 0.9544 ; ③ P(? ? 3? ? X ? ? ? 3? ) ? 0.9974 .评判规则为:若同时满足上述三个不等式,则设 备等级为甲;仅满足其中两个,则等级为乙,若仅满足其中一个,则等级为丙;若 全部不满足,则等级为丁.试判断设备 M 的性能等级. (Ⅱ)将直径小于等于 ? ? 2? 或直径大于 ? ? 2? 的零件认为是次品 (i)从设备 M 的生产流水线上随意抽取 2 件零件,计算其中次品个数 Y 的数学期望 E (Y ) ; (ii)从样本中随意抽取 2 件零件,计算其中次品个数 Z 的数学期望 E ( Z ) .

19. (本小题满分 12 分)如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,底面 ? ABC 是边长为 2 的等边三 角形,过 A1C 作平面 A1CD 平行于 BC1 ,交 AB 于 D 点. (Ⅰ)求证: CD ? AB ; (Ⅱ)若四边形 BCC1 B1 是正方形,且 A1 D ? 5 , 求二面角 D ? A1C ? B1 的余弦值.

20. (本小题满分 12 分)已知椭圆

x2 y 2 1 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点为 F,离心率为 ,直 2 a b 2 线 l 与椭圆相交于 A、B 两点.当 AB ? x 轴时, ?ABF 的周长最大值为 8. (Ⅰ)求椭圆的方程; 0) ,求当 ?ABF 面积最大时直线 AB 的方程. (Ⅱ)若直线 l 过点 M (?4 ,

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21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? e (?a ? cos x) , a ? R . (Ⅰ)若函数 f ( x) 存在单调增区间,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若 a ? 0 ,证明: ?x ? ? ?

1? x

? 1 ? ,1 ,总有 f ( x 1) 2 f ( x) cos( x 1) 0 . ? 2 ? ?

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做, 则按所做第一个题目计分,做答时,请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4 ? 1 :几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形, AB 是圆 O 的直径, BC ? CD , AD 的延长线与 BC 的延长线交于点 E ,过 C 作 CF ? AE ,垂足为点 F . (Ⅰ)证明: CF 是圆 O 的切线; (Ⅱ)若 BC ? 4 , AE ? 9 ,求 CF 的长.

E D A F C B

O

23.(本小题满分 10 分)选修 4 ? 4 :坐标系与参数方程 ? 2 t ?x ? m ? 2 (t 为参数),以坐标原点为极点, x 轴的正半轴 已知直线 l 的参数方程为 ? ? ?y ? 2 t ? 2 ? 为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? 2 cos2 ? ? 3? 2 sin2 ? ? 12 ,且曲线 C 的左 焦点 F 在直线 l 上. (Ⅰ)若直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点,求 FA ? FB 的值; (Ⅱ)求曲线 C 的内接矩形的周长的最大值.

24.(本小题满分 10 分)选修 4 ? 5 :不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ? sin 2 ? , g ? x ? ? 2 x ? cos2 ? ,? ? ?0,2? ? ,且关于 x 的不等式

2 f ? x ? ? a ? g ? x ? 对 ?x ? R 恒成立.
(Ⅰ)求实数 a 的最大值 m ; (Ⅱ)若正实数 a, b, c 满足 a ? 2b ? 3c ? 2m ,求 a 2 ? b2 ? c2 的最小值.

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