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广东省广州市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析


广东省广州市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)若 U={1,2,3,4},M={1,2},N={2,3},则?U(M∩N)=() A.{1,2,3} B.{2} C.{1,3,4} D.{4} 2. (5 分)与直线 3x+4y+2=0 平行的直线方程是() A.3x+4y﹣6=0 B.6x+8y+4=0 C.4x﹣3y+5=0 5=0 3. (5 分)函数 y= A.{x|x>0} 的定义域是() B.{x|x>3} C.{x|x≥0} D.{x|x≥3}

D.4x﹣3y﹣

4. (5 分)设点 B 是点 A(2,﹣3,5)关于 xOy 面的对称点,则 A、B 两点距离为() A.10 B. C. D.38 5. (5 分)函数 的图象可能是()

A.

B.

C.

D.

6. (5 分)如图是底面半径为 1,母线长均为 2 的圆锥和圆柱的组合体,则该组合体的侧视图

的面积为()

A.8π
2

B.6π
2 2 2

C.2+

D.4+

7. (5 分)圆(x+1) +(y﹣2) =1 与圆 x +y =9 的位置关系是() A.相交 B.外切 C.相离 8. (5 分)函数 g(x)=x ﹣4x+9 在[﹣2,0]上的最小值为() A.5 B .9 C.21 9. (5 分)圆 x +y ﹣4x=0 在点 P(1, )处的切线方程是() A.x+ y﹣2=0 B.x﹣ y+2=0 C.x﹣ y+4=0 4=0 10. (5 分)已知直线 l⊥平面 α,直线 m?平面 β,下列命题正确的是() ①l⊥m?a∥β ②l∥m?α⊥β ③α⊥β?l∥m ④α∥β?l⊥m. A.①② B.③④ C.②④
2 2 2

D.内切

D.6

D.x+

y﹣

D.①③

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11. (5 分)计算:lg50﹣lg5=. 12. (5 分)已知点 A(5,2) ,B(4,1) ,则直线 AB 的倾斜角是. 13. (5 分)球的体积与其表面积的数值相等,则球的半径等于. 14. (5 分)定义在 R 上的偶函数 y=f(x)在[0,+∞)上递减,且 f( )=0,则满足 f(x+1) <0 的 x 的取值范围.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出说明、证明过程和演算步骤. 15. (12 分)已知函数 f(x)=a +
x

,且 f(1)=



(1)求 a 的值; (2)判定 f(x)的奇偶性,并说明理由; (3)令函数 g(x)=f(x)﹣5,且 g(a)=8,求 g(﹣a)的值. 16. (12 分)已知在平面直角坐标系 xoy 中,直线 AB 的方程为 3x﹣2y+6=0,直线 AC 的方程 为 2x+3y﹣22=0,直线 BC 的方程为 3x+4y﹣m=0. (1)求证:△ ABC 为直角三角形; (2)当△ ABC 的 BC 边上的高为 1 时,求 m 的值.

17. (14 分) 如图, 在三棱锥 P﹣ABC 中, D, E, F 分别为棱 PC, AC, AB 的中点, 已知 PA⊥AC, PA=6,BC=8,DF=5.求证: (1)直线 PA∥平面 DEF; (2)平面 BDE⊥平面 ABC.

18. (14 分)某市一家庭一月份、二月份、三月份天然气用量和支付费用如下表所示: 月份 用气量(立方米) 支付费用(元) 一 4 8 二 20 38 三 26 50 该市的家用天然气收费方法是:天然气费=基本费+超额费+保险费.现已知,在每月用气量不 超过 a 立方米时,只交基本费 6 元;用气量超过 a 立方米时,超过部分每立方米付 b 元;每户 的保险费是每月 c 元(c≤5) .设该家庭每月用气量为 x 立方米时,所支付的天然气费用为 y 元.求 y 关于 x 的函数解析式. 19. (14 分)已知圆 C 的半径为 3,圆心 C 在直线 2x+y=0 上且在 x 轴的下方,x 轴被圆 C 截 得的弦长 BD 为 2 . (1)求圆 C 的方程; (2)若圆 E 与圆 C 关于直线 2x﹣4y+5=0 对称,P(x,y)为圆 E 上的动点,求 的取值范围.

20. (14 分)已知函数 f(x)=lnx+mx(m>0) ,其中 e=2.71828…为自然对数的底数. (1)若函数 f(x)的图象经过点( ,0) ,求 m 的值; (2)试判断函数 f(x)的单调性,并予以说明; (3)试确定函数 f(x)的零点个数.

广东省广州市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)若 U={1,2,3,4},M={1,2},N={2,3},则?U(M∩N)=() A.{1,2,3} B.{2} C.{1,3,4} D.{4} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 由已知中 U={1,2,3,4},M={1,2},N={2,3},进而结合集合交集,并集,补 集的定义,代入运算后,可得答案. 解答: 解:∵M={1,2},N={2,3}, ∴M∩N={2}, 又∵U={1,2,3,4}, ∴?U(M∩N)={1,3,4}, 故选:C 点评: 本题考查的知识点是集合的交集,并集,补集及其运算,难度不大,属于基础题. 2. (5 分)与直线 3x+4y+2=0 平行的直线方程是() A.3x+4y﹣6=0 B.6x+8y+4=0 C.4x﹣3y+5=0

D.4x﹣3y﹣5=0

考点: 直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题: 直线与圆. 分析: 求出已知直线的斜率和直线在 y 轴上的截距,然后分别求得四个选项的斜率与截距 得答案. 解答: 解:由直线 3x+4y+2=0,得 则直线的斜率为﹣ ,且直线在 y 轴上的截距为 直线 3x+4y﹣6=0 的斜率为 直线 6x+8y+4=0 的斜率为 合; 直线 4x﹣3y+5=0、4x﹣3y﹣5=0 的斜率均为 ,与直线 3x+4y+2=0 垂直. 故选:A. 点评: 本题考查了直线的一般式方程与直线平行间的关系,是基础的会考题型. 3. (5 分)函数 y= A.{x|x>0} 的定义域是() B.{x|x>3} C.{x|x≥0} D.{x|x≥3} , .

, 直线在 y 轴上的截距为 , ∴3x+4y﹣6=0 与 3x+4y+2=0 平行; ,直线在 y 轴上的截距为 ,∴6x+8y+4=0 与 3x+4y+2=0 重

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 要使函数有意义,只要使得根式有意义即可,

解答: 解:要使函数有意义,x 应满足:x﹣3≥0, 即 x≥3, 故函数 y= 的定义域是{x|x≥3}

故选:D. 点评: 本题主要考查函数定义域的求法,解题的关键:使函数解析式有意义的自变量的范 围. 4. (5 分)设点 B 是点 A(2,﹣3,5)关于 xOy 面的对称点,则 A、B 两点距离为() A.10 B. C. D.38 考点: 空间两点间的距离公式;空间中的点的坐标. 专题: 计算题. 分析: 点 B 是 A(2,﹣3,5)关于 xoy 平面对称的点,B 点的横标和纵标与 A 点相同,竖 标相反,写出点 B 的坐标,根据这条线段与 z 轴平行,得到 A、B 两点距离. 解答: 解:点 B 是 A(2,﹣3,5)关于 xoy 平面对称的点, ∴B 点的横标和纵标与 A 点相同,竖标相反, ∴B(2,﹣3,﹣5) ∴AB 的长度是 5﹣(﹣5)=10, 故选 A. 点评: 本题看出空间中点的坐标和两点之间的距离,本题解题的关键是根据关于坐标平面 对称的点的特点,写出坐标,本题是一个基础题.

5. (5 分)函数

的图象可能是()

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数 选项,可得结论. 解答: 解:由于函数 的是 R 上的减函数,且图象经过定点(0, ) , 的是 R 上的减函数,且图象经过定点(0, ) ,结合所给的

结合所给的选项,只有 D 满足条件, 故选:D. 点评: 本题主要考查利用函数的单调性、以及图象经过定点,判断函数的图象特征,属于 基础题.

6. (5 分)如图是底面半径为 1,母线长均为 2 的圆锥和圆柱的组合体,则该组合体的侧视图

的面积为() A.8π B.6π C.2+ D.4+

考点: 组合几何体的面积、体积问题. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 根据三视图的侧视图的边长得出面积,运用矩形,三角形求解即可. 解答: 解:∵r=1,l=2, ∴圆锥的高为 , ∴组合体的侧视图的面积为 2×2+ 故选:D =4+ ,

点评: 本题考查了空间几何体的体积面积的计算,三视图,属于容易题. 7. (5 分)圆(x+1) +(y﹣2) =1 与圆 x +y =9 的位置关系是() A.相交 B.外切 C.相离 D.内切 考点: 圆与圆的位置关系及其判定. 专题: 直线与圆. 分析: 求出两圆的圆心,根据圆与圆的位置关系的判断即可得到结论. 2 2 解答: 解: (x+1) +(y﹣2) =1 的圆心 A(﹣1,2) ,半径 R=1, 2 2 x +y =9 的圆心 O(0,0) ,半径 r=3, 则|AB|= ,
2 2 2 2

∵3﹣1<|AB|<3+1, 2 2 2 2 ∴圆(x+1) +(y﹣2) =1 与圆 x +y =9 的位置关系是相交, 故选:A. 点评: 本题主要考查圆与圆的位置关系的判断,求出两圆的圆心和半径是解决本题的关键. 8. (5 分)函数 g(x)=x ﹣4x+9 在[﹣2,0]上的最小值为() A.5 B. 9 C.21
2

D.6

考点: 二次函数在闭区间上的最值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据二次函数的性质判断:函数 g(x)=x ﹣4x+9 在[﹣2,0]单调递减,求解即可. 2 解答: 解:∵函数 g(x)=x ﹣4x+9 在[﹣2,0], ∴对称轴为 x=2, 2 ∴函数 g(x)=x ﹣4x+9 在[﹣2,0]单调递减, ∵最小值为 g(0)=9, 故选:B 点评: 本题考查了二次函数的性质,闭区间上的最值,属于容易题,难度不大. 9. (5 分)圆 x +y ﹣4x=0 在点 P(1, A.x+ y﹣2=0 B.x﹣ y+2=0
2 2 2

)处的切线方程是() C.x﹣ y+4=0

D.x+

y﹣4=0

考点: 圆的切线方程. 专题: 直线与圆. 分析: 根据直线和圆相切得到切线斜率即可得到结论. 解答: 解:∵直线和圆相切于点 P(1, ) , ∴OP 的斜率 k= , 则切线斜率 k= 故切线方程为 y﹣ , = (x﹣1) ,

即 x+ y﹣4=0, 故选:D 点评: 本题主要考查切线方程的求解,根据直线和圆相切得到切线斜率是解决本题的关键. 10. (5 分)已知直线 l⊥平面 α,直线 m?平面 β,下列命题正确的是() ①l⊥m?a∥β ②l∥m?α⊥β ③α⊥β?l∥m ④α∥β?l⊥m. A.①② B.③④ C.②④ D.①③

考点: 平面与平面垂直的判定;空间中直线与直线之间的位置关系;直线与平面平行的判 定. 专题: 证明题;空间位置关系与距离. 分析: 由已知中直线 l⊥平面 α,直线 m?平面 β,结合条件根据线面垂直,面面平行的几何 特征,判断选项的正误得到答案. 解答: 解:直线 l⊥平面 α,直线 m?平面 β,若 l⊥m,直线 m?平面 β,则 α 与 β 可能平行 也可能相交,故①不正确; 若 l∥m,直线 l⊥平面 α,则直线 m⊥平面 α,又∵直线 m?平面 β,则 α⊥β,故②正确; 若 α⊥β,直线 l⊥平面 α,直线 m?平面 β,则 l 与 m 可能平行、可能相交也可能异面,故③ 不正确; 若 α∥β,直线 l⊥平面 α,?l⊥β,④正确.

故选 C. 点评: 本题考查的知识点是空间平面与平面关系的判定及直线与直线关系的确定,熟练掌 握空间线面关系的几何特征是解答本题的关键. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11. (5 分)计算:lg50﹣lg5=1. 考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据对数的运算性质计算即可 解答: 解:lg50﹣lg5=lg =lg10=1

故答案为:1 点评: 本题考查了对数的运算性质,属于基础题 12. (5 分)已知点 A(5,2) ,B(4,1) ,则直线 AB 的倾斜角是 45°. 考点: 专题: 分析: 解答: 直线的倾斜角. 直线与圆. 由两点的坐标求得直线 AB 的斜率,再由倾斜角的正切值等于斜率求得倾斜角的值. 解:由 A(5,2) ,B(4,1) ,可得 .

直线 AB 的斜率 k=

设直线 AB 的倾斜角为 α(0°≤α<180°) , 则 tanα=1,α=45°. 故答案为:45°. 点评: 本题考查了直线的倾斜角,考查了直线的倾斜角与斜率的关系,是基础题. 13. (5 分)球的体积与其表面积的数值相等,则球的半径等于 3. 考点: 球的体积和表面积. 专题: 计算题;球. 分析: 设出球的半径,求出球的体积和表面积,利用相等关系求出球的半径即可. 解答: 解:设球的半径为 r,则球的体积为: 因为球的体积与其表面积的数值相等,所以 ,球的表面积为:4πr =4πr
2 2

解得 r=3, 故答案为:3. 点评: 本题考查球的体积与表面积的计算,是基础题.

14. (5 分)定义在 R 上的偶函数 y=f(x)在[0,+∞)上递减,且 f( )=0,则满足 f(x+1) <0 的 x 的取值范围 .

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据偶函数在对称区间上单调性相反,f(x)=f(﹣x)=f(|x|) ,可利用函数的单调 性,结合 f( )=0,满足 f(x+1)<0 可转化为|x+1| .去绝对值求解即可.

解答: 解:∵定义在 R 上的偶函数 y=f(x)在[0,+∞)上递减,且 f( )=0, ∴f(x)=f(﹣x)=f(|x|) , ∴满足 f(x+1)<0 可转化为|x+1| 即:x 故答案为: 点评: 本题综合考查了函数的单调性,奇偶性的运用,结合不等式求解即可,属于中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出说明、证明过程和演算步骤. 15. (12 分)已知函数 f(x)=a +
x



,或 x



,且 f(1)=



(1)求 a 的值; (2)判定 f(x)的奇偶性,并说明理由; (3)令函数 g(x)=f(x)﹣5,且 g(a)=8,求 g(﹣a)的值. 考点: 函数奇偶性的判断;函数的值. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)运用代入法,解方程即可得到 a; (2)运用奇偶性的定义,求出定义域,再计算 f(﹣x) ,与 f(x)比较,即可得到奇偶性; (3)求出 f(a) ,由奇偶性得到 f(﹣a) ,进而得到 g(﹣a) . 解答: 解: (1)因为 所以 a=3; (2)由(1)得 , ,所以 ,

所以 f(x)的定义域为(﹣∞,+∞) , , 所以 f(x)=f(﹣x) , 所以 f(x)为偶函数; (3)因为 g(x)=f(x)﹣5,g(a)=8,

所以 f(x)=g(x)+5, 所以 f(a)=g(a)+5=13 因为 f(x)为偶函数, 所以 f(﹣a)=g(﹣a)+5=13, 所以 g(﹣a)=8. 点评: 本题考查函数的奇偶性的判断和运用:求函数值,考查定义法的运用,考查运算能 力,属于基础题. 16. (12 分)已知在平面直角坐标系 xoy 中,直线 AB 的方程为 3x﹣2y+6=0,直线 AC 的方程 为 2x+3y﹣22=0,直线 BC 的方程为 3x+4y﹣m=0. (1)求证:△ ABC 为直角三角形; (2)当△ ABC 的 BC 边上的高为 1 时,求 m 的值. 考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 直线与圆. 分析: (1)由两直线方程得到两直线的斜率,由斜率之积等于﹣1 得到直线 AB 与 AC 互 相垂直,从而说明△ ABC 为直角三角形; (2)联立方程组求得 A 的坐标,然后由 A 到 BC 边的距离为 1 求得 m 的值. 解答: 解: (1)直线 AB 的斜率为 直线 AC 的斜率为 , ,

∵kAB?kAC=﹣1, ∴直线 AB 与 AC 互相垂直, 因此,△ ABC 为直角三角形; (2)解方程组 ,得 ,即 A(2,6) ,

设点 A 到直线 BC 的距离为 d,则



依题意有 d=1,即

,即|30﹣m|=5,解得 m=25 或 35.

点评: 本题考查了直线的一般式方程与直线垂直的关系,考查了点到直线距离公式的应用, 是基础题. 17. (14 分) 如图, 在三棱锥 P﹣ABC 中, D, E, F 分别为棱 PC, AC, AB 的中点, 已知 PA⊥AC, PA=6,BC=8,DF=5.求证: (1)直线 PA∥平面 DEF; (2)平面 BDE⊥平面 ABC.

考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离;空间角;立体几何. 分析: (1)由 D、E 为 PC、AC 的中点,得出 DE∥PA,从而得出 PA∥平面 DEF; (2)要证平面 BDE⊥平面 ABC,只需证 DE⊥平面 ABC,即证 DE⊥EF,且 DE⊥AC 即可. 解答: 证明: (1)∵D、E 为 PC、AC 的中点,∴DE∥PA, 又∵PA?平面 DEF,DE?平面 DEF, ∴PA∥平面 DEF; (2)∵D、E 为 PC、AC 的中点,∴DE= PA=3; 又∵E、F 为 AC、AB 的中点,∴EF= BC=4; ∴DE +EF =DF , ∴∠DEF=90°, ∴DE⊥EF; ∵DE∥PA,PA⊥AC,∴DE⊥AC; ∵AC∩EF=E,∴DE⊥平面 ABC; ∵DE?平面 BDE,∴平面 BDE⊥平面 ABC. 点评: 本题考查了空间中的平行与垂直问题,解题时应明确空间中的线线、线面、面面之 间的垂直与平行的互相转化关系,是基础题目. 18. (14 分)某市一家庭一月份、二月份、三月份天然气用量和支付费用如下表所示: 月份 用气量(立方米) 支付费用(元) 一 4 8 二 20 38 三 26 50 该市的家用天然气收费方法是:天然气费=基本费+超额费+保险费.现已知,在每月用气量不 超过 a 立方米时,只交基本费 6 元;用气量超过 a 立方米时,超过部分每立方米付 b 元;每户 的保险费是每月 c 元(c≤5) .设该家庭每月用气量为 x 立方米时,所支付的天然气费用为 y 元.求 y 关于 x 的函数解析式. 考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 函数的性质及应用.
2 2 2

分析: 根据题意,利用天然气费=基本费+超额费+保险费,把 x≤a 及 x>a 时的天然气费表 示出来,再写出 x 的范围限制即可. 解答: 解:根据题意, 因为 0<c≤5,所以 6+c≤11. 由表格知,二、三月份的费用大于 11,因此,二、三月份的用气量均超过基本量 a, 于是有 解得 b=2,2a=8+c.③ 因为 0<c≤5,所以 所以 6+c=8,c=2. 因此,a=5,b=2,c=2. 所以, . .

点评: 本题主要考查函数的应用,读懂题意,列出函数的表达式,注意:要根据实际意义 写出自变量 x 的范围. 19. (14 分)已知圆 C 的半径为 3,圆心 C 在直线 2x+y=0 上且在 x 轴的下方,x 轴被圆 C 截 得的弦长 BD 为 2 . (1)求圆 C 的方程; (2)若圆 E 与圆 C 关于直线 2x﹣4y+5=0 对称,P(x,y)为圆 E 上的动点,求 的取值范围.

考点: 直线与圆相交的性质. 专题: 综合题;直线与圆. 分析: (1)由题意可设方程为(x﹣a) +(y+2a) =9,由条件可得 a=1,进而可得方程; (2)设圆心 E(m,n) ,由对称关系可得 m=﹣2,n=4,半径为 3, 表示圆 E 上的点与(1,﹣2)的距离,即可求出 的取值范围. .
2 2 2

解答: 解: (1)由题意设圆心坐标(a,﹣2a)﹣﹣﹣(1 分) ,则圆方程为(x﹣a) +(y+2a) 2 =9﹣﹣﹣﹣(2 分) 作 CA⊥x 轴于点 A,在 Rt△ ABC 中,CB=3,AB= ,∴CA=2,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分) 所以|﹣2a|=2,解得 a=±1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5 分) 又因为点 C 在 x 轴的下方,所以 a=1,即 C(1,﹣2)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) 2 2 所以圆方程为: (x﹣1) +(y+2) =9﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7 分) (2)设圆心 E(m,n) ,由题意可知点 E 与点 C 是关于直线 2x﹣4y+5=0 对称,

所以有

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9 分)可解得 m=﹣2,n=4﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(11 分) 所以点 E(﹣2,4)且圆 E 的半径为 3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分) 所以圆 E 的方程为(x+2) +(y﹣4) =9, 表示圆 E 上的点与(1,﹣2)的距离. 因为(1,﹣2)与点 E(﹣2,4)的距离为 所以 的取值范围为[3 ﹣3,3 +3]. =3 ,
2 2

点评: 本题考查直线和圆的位置关系,以及对称问题,考查学生分析解决问题的能力,属 中档题. 20. (14 分)已知函数 f(x)=lnx+mx(m>0) ,其中 e=2.71828…为自然对数的底数. (1)若函数 f(x)的图象经过点( ,0) ,求 m 的值; (2)试判断函数 f(x)的单调性,并予以说明; (3)试确定函数 f(x)的零点个数. 考点: 利用导数研究函数的单调性;函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)代入点的坐标秒即可求出 m 的值, (2)利用定义证明即可; (3)需要分类讨论,当 m∈(0,e)时,根据函数零点定理,以及函数的单调性, 当 m=e 时,当 m∈(e,+∞)时,f(x)在定义域上单调递增,得到结论, 当 m∈(e,+∞)时,设 x0=m﹣e>0 根据函数零点定理,以及函数的单调性,即可得到结论 或构造函数,设 ,根据根据函数零点定理得到结论. ,

解答: 解: (1)因为函数 f(x)的图象经过点 所以 ,

所以 m=e; (2)因为函数 f(x)的定义域为(0,+∞) ,设 0<x1<x2, 所以 f(x1)=lnx1+mx1,f(x2)=lnx2+mx2, 所以 ,

因为 0<x1<x2,m>0,所以

,所以



所以 f(x1)﹣f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2) , 所以 f(x)在定义域上单调递增. (3)函数 f(x)的零点只有一个 ①当 m∈(0,e)时,f(1)=ln1+m=m>0 且函数 f(x)在 上的图象是连续不间断曲线,
﹣1



所以由零点定理可得 函数 f(x)在(e ,1)上存在一个零点, 又由(2)得 f(x)在定义域上单调递增,所以函数 f(x)的零点只有一个. ②当 m=e 时, ,又由(2)得 f(x)在定义域上单调递增,

所以函数 f(x)的零点只有一个. 方法一: ③当 m∈(e,+∞)时,设 x0=m﹣e>0 则 f(1)=ln1+m=m> 0 , 因为 x0>0,所以 ,

所以

,即



且函数 f(x)在 所以由零点定理可得 函数 f(x)在

上的图象是连续不间断曲线 上存在一个零点,

又由(2)得 f(x)在定义域上单调递增,所以函数 f(x)的零点只有一个. 方法二: ③当 m∈(e,+∞)时,设 则 且函数 g(x)在[1,m]上的图象是连续不间断曲线 所以存在 x0∈(1,m) ,使得 g(x0)=0,即 从而有 , , ,

且函数 f(x)在(0,+∞)上的图象是连续不间断曲线 又由(2)得 f(x)在定义域上单调递增, 所以当 m∈(e,+∞)时,函数 f(x)的零点只有一个.

点评: 本题考查了函数零点存在定理和函数的单调性,培养可分类讨论的能力,转化能力, 运算能力,属于中档题.


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