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第二章 推理与证明复习小结


第二章

推理与证明复习小结

知识结构
合情推理 推理 推 理 与 证 明 证明 间接证明 演绎推理 比较法

归纳推理 类比推理

直接证明

综合法 分析法 反证法

数学归纳法

一.综合法
例 .已 知 a、

b、 c

为不 相 等 正 数 , 且 a b c
c < 1 a + 1 b + 1 c .

= 1,

证求
1 a

:a +

b+

证法 1 : ∵ a 、 b 、 c 为 不 相 等 正 数 , 且 a b c = 1 ,
∴ + 1 b + 1 c = bc + ca + ab

=

bc + ca 2

+
2

ca + ab 2

+

ab + bc 2
2 ab c =

>

abc

+


a bc +
a + b+

2

a +
1 c 成立.

b +

c.

c <

1 a

+

1 b

+

例 .已 知 a、 b、 c

为不 相 等 正 数 , 且 a b c
c < 1 a + 1 b + 1 c .

= 1,

证求

:a +

b +

证法 2 : ∵ a 、 b 、 c 为不 相 等 正 数 , 且 a b c = 1 ,
a + b+ c = 1 bc + 1 ca + 1 ab



1 < b

+ 2

1

1

c + c

+ 2

1

1

a + a

+ 2

1 b

=
c <

1 a 1
a

+
+

1 b 1
b

+
+

1 c 1
c

.
成立.



a +

b+

二.分析法
例 : 已 知 a > 5, 求证 :

? ? ? ? ? ? ? ?

a -5 -

证明: a-5 - a-3 < a-2 - a 要证 只需证 a - 5 ? a < a - 2 + a - 3 只需证 a ( a - 5 ) < ( a - 2 ) ( a - 3 ) 只需证 a ( a - 5 ) < ( a - 2 ) ( a - 3 ) 只需证 0 < 6 0 < 6 成立. 因为 所以 a - 5 - a - 3 < a - 2 - a 成立.

a -3 <

a -2 -

a.

问题一:

三:反证法

求证:两条相交直线有且只有一个交点.
注:1.结论中的有且只有(有且仅有)形式出现, 是唯一性问题,常用反证法 2.有且只有的反面包含1)不存在;2)至少两个.

问题二:求证一元二次方程至多 ------有两个不相等的实根.
注:所谓至多有两个,就是不可能有三个,要 证“至多有两个不相等的实根”只要证明 它的反面“有三个不相等的实根”不成立即 可.

问题:如图;已知L1、L2 是异面直线且
A、B∈ L1,C、D∈ L2,,

求证;AC,SD也是异面直线.
C D

L1

a

L2
A

B

五.归纳、类比、猜想、证明
例 : 在 各 项 为 正 的 数 列 {a n}中 , 数 列 的 前 n项 和 sn满 足 sn = 1 2 (a n + 1 an )

( 1 ) 求 a 1、 a 2 、 a 3; ( 2) 由 ( 1) 猜 想 到 数 列 {a n}的 通 项 公 式 , 并用数学归纳法证明你的猜想。

例:有下列各式: 1> 1+ 1+ 1+ ? 你能得到怎样的一般不等式,并加以证明。 1 2 1 2 1 2 1 2 , + + + 1 3 1 3 1 3 > 1, + + 1 4 1 4 + + 1 5 1 5 + + 1 6 1 6 + + 1 7 1 7 > 3 2 , 1 15 >2

+? +

例:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条 不过同一点,证明交点的个数f(n)等于n(n-1)/2. 证:(1)当n=2时,两条直线的交点只有1个,又 f(2)=2?(2-1)/2=1,因此,当n=2时命题成立. (2)假设当n=k(k≥2)时命题成立,就是说,平面内满足 题设的任何k条直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2. 以下来考虑平面内有k+1条直线的情况.任取其中 的1条直线,记作l.由归纳假设,除l以外的其他k 条直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2. 另外,因为已知任何两条直线不平行,所以直线l 必与平面内其他k条直线都相交,有k个交点.

又因为已知任何三条直线不过同一点,所以上面的k 个交点两两不相同,且与平面内其他的k(k-1)/2个 交点也两两不相同. 从而平面内交点的个数是 k(k-1)/2+k=k[(k-1)+2]/2 =(k+1)[(k+1)-1]/2. 这就是说,当n=k+1时,k+1条直线的交点个数为: f(k+1)=(k+1)[(k+1)-1]/2. 根据(1)、(2)可知,命题对一切大于1的正整数都成 立. 说明:用数学归纳法证明几何问题,重难点是处理好当 n=k+1时利用假设结合几何知识证明命题成立.

注:在上例的题设条件下还可以有如下二个结论: (1)设这n条直线互相分割成f(n)条线段或射线, ---则: f(n)=n2. (2)这n条直线把平面分成(n2+n+2)/2个区域. 练习1:凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形的对角线 ------的条数f(n+1)=f(n)+_________. n-1 练习2:设有通过一点的k个平面,其中任何三个平面或 三个以上的平面不共有一条直线,这k个平面将 空间分成f(k)个区域,则k+1个平面将空间分成 f(k+1)=f(k)+__________个区域. 2k

作业:
1:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条 不过同一点, 证明这n条直线把平面分成f(n)=(n2+n+2)/2个区域.


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