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20121022高一数学(2.2.2对数函数及其性质)


对数函数及其性质(一)
对数函数定义及图像
2012年10月22日

知识回顾
1.对数运算有哪三条基本性质? log a M ? log a N ? log a ( M ? N ) (1 ) M log a M ? log a N ? log a (2 ) N n log a M ? n log a M (3 ) 2.对数运算

有哪三个常用结论? (1)log a a ? 1; (2) log a 1 ? 0 ; log N (3 ) a ? N.
.

a

引例: 一张纸,对半折,再撕开,就会有 2 ? 张, 再叠起来,又对半折,撕开会有 ? 4 张。 一张这样的纸撕y次后,得到的纸张数x是撕开次数 y的函数。这个函数可以用指数函数 x= ?2y 表示。 问题1:现在我们反过来问如果要求一张纸撕多少次, 大约可以得到2张、 4张、 8张、 16张、n张 ……
纸张数x 撕纸次数y 2 1

4 2

8 3

16 4




x
y=log2x

1. 在关系式y=log2x中,取x=a(a>0)对应的y的值 存在吗?若存在,有多个吗?

探 究

2. y ? log 2 x 是函数吗?若是这是什么 类型的函数?
3. 函数y=log2x称为对数函数,一般地什么样的 的函数叫对数函数?

建构数学
1.定义:一般地,我们把函数

y ? log a x (a ? 0且a ? 1)

叫做对数函数,其中x是自变量,定义域 为 。 (0,+?)

形式上是对数,对数的系数为1,真数就为x 判断:以下函数是对数函数的是 ( 4 ) 1. y=log2(3x-2) 3. y=log1/3x2 5.
x

2. y=log(x-1)x 4.y=lnx

y ? 3 log 2 ? 5

2.图象 ?? y ? log 2 x 和 y ? log 1 x 为例,用描点法画图. 分别以
y
2

x
1 2

y ? log 2 x y ? log 1 x
2

y ? log 2 x
3 2 1

-1 0 1 2 2.6 3

1 0 -1

1
2 4 6 8

y ? log3 x
1 2 3 4 5 6 7 8

0
-2 -2.6

x
3

-1 -2 -3

y ? log 1 x

-3

y ? log 1 x
2

3.性质:对数函数 (a>1) y

y ? log a x 的图象有2种情况
y (0<a<1)

O

·
1

x

O

·
1

x

定义域 性 质 值域

(0,+∞) R (1,0) 当a>1时,在( 0 , + ∞ ) 上是增函数 当0<a<1时,在( 0 , + ∞ ) 上是减函数

定点
单调性

0<x<1时, y<0; x>1时, y>0

0<x<1时, y>0; x>1时, y<0

数学应用
例1.求下列函数的定义域:

对数函数

y ? log a x

的定义域(0,+∞)

(1) y ? log 2 ( x ? 1) 2 ( 2) y ? log 2 x 1 (3) y ? log 2 x ?1

?x x ? 0?
(1,??)

(1,??)

(4) y=log(x-1)(3-x)

对数函数

y ? log a x

(3)

(5) y=?log0.5(4x-3) ? y ? 1 ? log 0.5 ( 4 x ? 3)
3-x>0
x-1>0 x-1≠? 4x-3>0 所以 1<x<3,x≠2即函数 y=log(x-1)(3-x)的定义域为: (1,2)??????

的定义域(0,+∞)

因为

(4)因为

log0.5(4x-3)?0 定义域为 (3/4,1]

所以

x>3/4
4x-3≤?

1 例2.已知函数 y ? log 2 x, 若x ? ( ,, 8] 2
( -1,3] 则y ? __________
例3.函数 y ? log a ( x ? 1) ? 1 (a>0且a≠1)

图象恒过定点

(0,-1)

.

log 25 与log 27 解:因为对数函数 y = log 2x在(0,+∞)上是增 函数且底数2>1, 所以, log25<log 27 由图象观察:
y log 27
log 25 0 1 5 7 x
y ? log 2 x

得到

log 0.35 与 log 0.37 解:考察对数函数 y = log 0.3 x, 底数为0.3, 即0<0.3<1,所以在(0,+∞)上是减函数, 由图象观察:
y y = log 0.3 x 0 log 0.35 log 0.37 1 5 7 x

得到:log 0.35>log 0.37

log a5 与log a7 ( a>0 且 a≠1 )
对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1. 而已知条件中并未指出底数a与1哪个大?

因此需要对底数a进行讨论:
y x

y 0 x

0

1

1

当a>1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是增函数,故 log a5<log a7 当0<a<1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是减函数,故 log a5>log a7

例5.函数 y ? log a x , y ? log b x , y ? log c x , y ? log d x 的图像如图所示, 则下列式子中正确的是(

y

C)

O

y ? logb x A.0 ? a ? b ? 1 ? c ? d y ? log a x B.0 ? b ? a ? 1 ? d ? c x C . 0 ? d ? c ? 1 ? b ? a y ? log d x y ? logc x D.0 ? d ? c ? 1 ? a ? b

点评: 在 x 轴上方图象从左到右底

数依次增大

1 例2.已知函数 y ? log 2 x, 若x ? ( ,, 8] 2
( -1,3] 则y ? __________
例3.函数 y ? log a ( x ? 1) ? 1 (a>0且a≠1)

图象恒过定点
例 4. (1)求函数 (2)求函数

(0,-1)
2

.

y ? lg( x ? 2 x ? 2) 的定义域
2

y ? lg( x ? 2 x ? 2) 的值域

例 4. (1)求函数 (2)求函数
变式 1: (1)求函数 (2)求函数

y ? lg( x ? 2 x ? 3) 的定义域
2 2

y ? lg( x ? 2 x ? 3) 的值域

y ? lg( x ? 2 x ? 3) 的定义域
2 2

y ? lg( x ? 2 x ? 3) 的值域
2

变式 2: 求函数

y ? lg( x ? 2 x ? 3) 的单调区间

比较下列各组中,两个值的大小: (1) log23.4与 log28.5
解: 考察函数y=log 2 x ,
∵a=2 > 1, ∴函数在区间(0,+∞) 上是增函数; ∵3.4<8.5 ∴ log23.4< log28.5

比较下列各组中,两个值的大小: (2) log 0.3 1.8与 log 0.3 2.7
解:考察函数y=log 0.3 x ,

∵a=0.3< 1,
∴函数在区间(0,+∞)上是减函数;

∵1.8<2.7
∴ log 0.3 1.8> log 0.3 2.7

比较下列各组中,两个值的大小: (1) log23.4与 log28.5 (2) log 0.3 1.8与 log 0.3 2.7 比较两个同底对数值的大小时: 1.观察底数是大于1还是小于1;




( a>1时为增函数0<a<1时为减函数) 2.比较真数值的大小;

3.根据单调性得出结果。

比较下列各组中,两个值的大小:

?(3) loga5.1与 loga5.9
解: ①若a>1则函数在区间(0,+∞)上是增函数; ∵5.1<5.9

∴ loga5.1 < loga5.9 ②若0<a<1则函数在区间(0,+∞)上是减 函数; ∵5.1<5.9 ∴ loga5.1 > loga5.9
注意:若底数不确定,那就要对底数进行分类讨论 即0<a<1 和 a > 1

作业: P74 习题2.2 A组

第7 , 8 题


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