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17.1.2反比例函数的图象和性质第一课时教案


17.1.2 反比例函数的图象与性质 [教学过程] 活动一 情景导入 激发兴趣 复习巩固 1、什么是反比例函数? k 答:形如 y ? ? k为常数, k ? 0 ? 的函数称为反比例函数 x 2、作出一次函数 y ? 6 x 的图象,图象是什么形状?作图的步骤是什么? 答: 一次函数 y ? 6 x 的图象是一条直线, 作图的步骤包括列表、 描点、 连线。 3、比一比,你能否找到 2 个数使得他们的乘积是 6?利用几何画板演示找到的点 以及对应的轨迹。 引入课题 6 3、由问题 2,猜测:反比例函数 y ? 的图象会是什么形状呢?我们可以用什么 x 方法画这个反比例函数的图象? 答: (学生自由猜测,教师引导学生对比反比例函数与一次函数的不同)

活动二 类比联想 探索交流 6 6 1、画出反比例函数 y ? 与 y ? ? 的图象(图一) x x

(图一) 教师先引导学生思考, 示范画出反比例函数 y ?
6 反比例函数 y ? ? 的图象。 x 6 的图象再让学生尝试画出 x

在作图过程中,启发学生类比画一次函数的图象的过程;探索反比例函数的 图象作图步骤:
描点法作图 列表 描点 连线

教师在活动中应重点关注: (1)启发学生反比例函数与一次函数的作图基本步骤是一致的。但是在具体

的作图过程中又有它自己的特点,和学生一起体会其中的共性和特性。 (2) ①列表时, 关注学生是否注意到自变量的取值应使函数有意义 (即 x ? 0 ) 同时,所取的点既要使自变量的取值有一定的代表性,又不至于使自变量或对 应的函数值太大或是太小,以便于描点和全面反映图象的特征。②描点时,一 般情况下所选的点越多则图象越精细,③连线时,让学生根据已经描好的点先 思考:图象有没有可能是直线。学生自主探究发现图象特点后,引导学生用平 滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接各点,得到反比例函数的图象。 3 3 2、学生分组画出反比例函数 y ? 与 y ? ? 的图象。(图二) x x

(图二) 教学中,教师可以针对学生做反函数图象常出现的问题(图三)引发学生思 考: ①学生作图时,没有将曲线的两支断开,而是用线段将两支连在一起 ②对于图象的延伸部分,学生容易画成圆的图象的一部分,没有让延伸部分 逐渐靠近坐标轴,或者是延伸部分与坐标轴有交点。 ③用线段连接图象。 ④图象没有画成向两坐标轴不断趋近 作图中常见问题:

. . .
(图三) (3)学生能否通过观察发现反比例函数的对称性,并利用对称性找到比较快 捷的画图方法 通过充分讨论,师生共同总结: a.反比例函数的图象是双曲线,双曲线的两支是段开的,每一支随着 x 的不 断增大(或减小) ,曲线会越来越接近坐标轴。 b.反比例函数的图象是轴对称图形,图象关于一、三象限角平分线、二、四

.

象限角平分线对称。 活动三 探索比较 发现规律
6 与 x

以四人小组为单位做游戏:每人手中拿一种函数的图象,观察函数 y ?
y??

6 3 3 的图象以及 y ? 与 y ? ? 的图象, 找一找它们之中谁和谁可以成为好朋 x x x

友? 学生讨论分类:
6 3 与 y ? 的图象特征(图四) x x 归纳总结 1:当 k ? 0 时,双曲线的两支分别位于第一、三象限,在每个象限内 y 随 x 值的增大而减小 6 3 分类二:观察 y ? ? 与 y ? ? 的图象特征(图五) x x 归纳总结 2:当 k ? 0 时,双曲线的两支分别位于第二、四象限, 在每个象限内 y 随 x 值的增大而增大 6 6 分类三:观察 y ? ? 与 y ? 的图象特征(图六) x x 归纳总结 3: 在同一直角坐标系内两个反比例函数的即关于 y 轴对称, 也关于 x 轴 对称,具有对称关系的两个反比例函数的 k 值互为相反数。

分类一:观察 y ?

最后, 利用几何画板再作出若干个 k 值不同的反比例函数验证观察所得的特征结 论。

(图四)

(图五) 活动四 运用新知 拓展训练

(图六)

问题 (1)你问我答:请一位同学构造一个反比例函数,他的同桌指出这个反比例函 数图象所在的象限,以及函数值随自变量变化的变化情况。 4?k (2)已知反比例函数 y ? ,分别根据下列条件求出字母 k 的取值范围, x ①函数图象位于第一、三象限; ②在第一象限内, y 随 x 的增大而减小 8 (3)在函数 y ? 的图象上有三点 ? ?3, y1 ? , x

? ?1, y2 ? , ? 2, y3 ? ,则函数值 y1, y2 , y3 的大小关系是?
6 的图象上有点 A (1,6) ,分别做 A 点与坐标轴的垂线, x 试求垂线与坐标轴围成的矩形 的面积。用相同方法求一下 B (2,3) , C (-3, 2)的垂线与坐标轴围成的矩形的面积。 猜测一下: k a:对于任意一个在函数 y ? 图象上的点 M , 它与两坐标轴的垂线与坐标轴围 x 成的矩形的面积有什么规律? k b:推广:对于任意一个在 y ? 图象上的点 M ,它与 x 轴的垂线、原点的连线 x 以及坐标轴围成的三角形的面积有什么规律?

(4)反比例函数 y ?

拓展练习是为了让学生灵活的用反比例函数的性质解决问题, 学生在研究每一问 特点时,能够紧扣性质进行分析,达到理解并掌握性质的目的。 活动五 归纳总结 强化概念 归纳总结 布置作业 1、本节课你学习了哪些知识?填写表格 [2] 反比例函数
k 的符号
k ?0

y?

k (k为常数, k ? 0) x
k?0

图象

所在象限

一、三象限

二、四象限

y与x 的变化情况

在每个象限内 y 随 x 值的 在每个象限内 y 随 x 值的 增大而减小 增大而增大

对称性

当 k 互为相反数时,对应的反比例函数图象既关于 x 轴对称,也关于 y 轴对称


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