当前位置:首页 >> 数学 >> 2013江苏高考数学试题及解答

2013江苏高考数学试题及解答


参考公式:
样本数据 x1 , x2 , …, x n 的方差 s2 = 棱锥的体积公式: V =

数学玉试题
1 n 1 n 移 ( x i - - )2 , 其中 - = 移x i . x x n i=1 n i=1

1 Sh, 其中 S 是锥体的底面积, h 为高. 3 棱柱的体积公式: V = Sh, 其中

S 是柱体的底面积, h 为高. 一、填空题:本大题共 14 小题, 每小题 5 分, 共计 70 分. 请把答案填写在答题卡相应位置上. ·踿踿踿踿踿踿踿 仔 1. 函数 y = 3sin(2x+ ) 的最小正周期为摇 银摇 . 4 2. 设 z = (2-i) 2 ( i 为虚数单位) , 则复数 z 的模为摇 银摇 . x2 y2 3. 双曲线 - = 1 的两条渐近线的方程为摇 银摇 . 16 9 4. 集合{ -1, 0, 1} 共有摇 银摇 个子集. ( 第 5 题) 5. 右图是一个算法的流程图, 则输出的 n 的值是摇 银摇 . 6. 抽样统计甲、乙两位射击运动员的 5 次训练成绩( 单位: 环) , 结果如下: 运动员 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 87 91 90 89 93 甲 乙 89 90 91 88 92 则成绩较为稳定( 方差较小) 的那位运动员成绩的方差为摇 银摇 . 7. 现有某类病毒记作 X m Y n , 其中正整数 m, n( m臆7, n臆9) 可以任意选取, 则 m, n 都取到奇 数的概率为摇 银摇 . 8. 如图, 在三棱柱 A1 B1 C1 -ABC 中, D, E, F 分别是 AB, AC, AA1 的中点. 设三棱 锥 F - ADE 的 体 积 为 V1 , 三 棱 柱 A1 B1 C1 - ABC 的 体 积 为 V2 , 则 V1 颐 V2 = 摇 银摇 . 9. 抛物线 y = x2 在 x = 1 处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为 D( 包含 三角形内部与边界) . 若点 P( x, y) 是区域 D 内的任意一点, 则 x+2y 的 取值范围是摇 银摇 . 摇 摇 ( 第 8 题) 1 2 10. 设 D, E 分 别 是 驻ABC 的 边 AB, BC 上 的 点, AD = AB, BE = BC. 2 3 寅 寅 寅 若DE = 姿1 AB+姿2 AC(姿1 , 姿2 为实数), 则 姿1 +姿2 的值为摇 银摇 . 11. 已知 f( x) 是定义在 R 上的奇函数. 当 x>0 时, f( x)= x2 -4x, 则不等式 f( x) >x 的解集用区 间表示为摇 银摇 . x2 y2 12. 在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 C 的标准方程为 2 + 2 = 1( a>b>0) , 右焦点为 F, 右准线 a b 为 l, 短轴 的 一 个 端 点 为 B. 设 原 点 到 直 线 BF 的 距 离 为 d1 , F 到 l 的 距 离 为 d2 . 若 d2 = 6 d1 , 则椭圆 C 的离心率为摇 银摇 . 1 13. 在平面直角坐标系 xOy 中, 设定点 A( a, a) , P 是函数 y = ( x>0) 图象上一动点. 若点 P, x A 之间的最短距离为 2 2 , 则满足条件的实数 a 的所有值为摇 银摇 . 1 14. 在正项等比数列{ a n } 中, a5 = , a6 +a7 = 3. 则满足 a1 +a2 +…+a n >a1 a2 …a n 的最大正整数 n 2 的值为摇 银摇 . 二、 解答题:本大题共 6 小题, 共计 90 分. 请在答题卡指定区域内作答, 解答时应写出文字说 ·踿踿踿踿踿踿 明、证明过程或演算步骤. 15. ( 本小题满分 14 分) 已知向量 a = ( cos琢, sin琢) , b = ( cos茁, sin茁) , 0<茁<琢<仔. — 17 —

(1) 若 a-b = 2 , 求证:a彝b; (2) 设 c = (0, 1) , 若 a+b = c, 求 琢, 茁 的值. 16. ( 本小题满分 14 分) 如图, 在 三 棱 锥 S - ABC 中, 平 面 SAB 彝 平 面 SBC, AB彝BC, AS = AB. 过 A 作 AF彝SB, 垂足为 F, 点 E, G 分别是棱 SA, SC 的 中点. 求证:(1) 平面 EFG椅平面 ABC; (2) BC彝SA. 17. ( 本小题满分 14 分) 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 点 A(0, 3), 直线 l: y = 2x-4. 设圆 C 的半径为 1, 圆心在 l 上. (1) 若圆心 C 也在直线 y = x-1 上, 过点 A 作圆 C 的切线, 求切 线的方程; (2) 若圆 C 上存在点 M, 使 MA = 2MO, 求圆心 C 的横坐标 a 的 取值范围. 18. ( 本小题满分 16 分) 如图, 游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径. 一种是从 A 沿直线步行到 C, 另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B, 然后从 B 沿直线步行到 C. 现有甲、乙两位游客从 A 处下山, 甲沿 AC 匀速步行, 速度为 50m / min. 在甲出发 2min 后, 乙从 A 乘缆车到 B, 在 B 处停留 1min 后, 再从 B 匀速步行到 C. 假设缆车匀速直线运行的速度为 12 3 130m / min, 山路 AC 长为 1260m, 经测量, cosA = , cosC = . 13 5 (1) 求索道 AB 的长; (2) 问乙出发多少分钟后, 乙在缆车上与甲的距离最短? (3) 为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟, 乙步行的速度应控制在什么范围内? 19. ( 本小题满分 16 分)

( 第 16 题)

( 第 17 题)

(第 18 题)

中 c 为实数. (1) 若 c = 0, 且 b1 , b2 , b4 成等比数列, 证明:S nk = n2 S k( k, n沂N * ) ; (2) 若{ b n } 是等差数列, 证明:c = 0. 20. ( 本小题满分 16 分) 设函数 f( x)= lnx-ax, g( x)= e x -ax, 其中 a 为实数. (1) 若 f(x)在(1, +?)上是单调减函数, 且 g(x)在(1, +?)上有最小值, 求 a 的取值范围; (2) 若 g( x) 在( -1, +?) 上是单调增函数, 试求 f( x) 的零点个数, 并证明你的结论.

设{an }是首项为 a, 公差为 d 的等差数列(d屹0), Sn 是其前 n 项的和. 记 bn =

nSn , n沂N* , 其 2 n +c

一、 填空题: 本题考查基础知识、 基本运算和基本思想方法. 每小题 5 分, 共计 70 分. 3 20 1 1. 仔摇 摇 2. 5摇 摇 3. y =依 x摇 摇 4. 8摇 摇 5. 3摇 摇 6. 2摇 摇 7. 摇 摇 8. 1 颐 24摇 摇 9. [-2, ] 4 63 2 1 3 10. 摇 摇11. (-5, 0)胰(5, +?)摇 摇 12. 摇 摇 13. -1, 10 摇 摇 14. 12 2 3 二、 解答题 15. 本小题主要考查平面向量的加法、减法、数量积、三角函数的基本关系式、诱导公式等基础 知识, 考查运算求解能力和推理论证能力. 满分 14 分. 解:(1) 由题意得 a-b 2 = 2, 即( a-b) 2 = a2 -2a·b+b2 = 2. 又因为 a2 = b2 = a 2 = b 2 = 1, 所以 2-2a·b = 2, 即 a·b = 0, 故 a彝b. — 18 —

数学玉试题参考答案

由此得, cos琢 = cos( 仔-茁) , 由 0<茁<仔, 得 0<仔-茁<仔, 又 0 <琢<仔, 故 琢 = 仔-茁. 代入 5仔 仔 1 sin琢+sin茁 = 1 得, sin琢 = sin茁 = , 而 琢>茁, 所以 琢 = , 茁 = . 2 6 6 16. 本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系, 考查空间想象能力 和推理论证能力. 满分 14 分. 证明:(1) 因为 AS = AB, AF彝SB, 垂足为 F, 所以 F 是 SB 的中 点. 又因为 E 是 SA 的中点, 所以 EF椅AB. 因为 EF埭平面 ABC, AB奂平面 ABC, 所以 EF椅平面 ABC. 同理 EG椅平面 ABC. 又 EF疑EG = E, 所以平面 EFG椅平面 ABC. ( 第 16 题) (2 ) 因 为 平 面 SAB 彝 平 面 SBC, 且 交 线 为 SB, 又 AF奂平面 SAB, AF彝SB, 所以 AF彝平面 SBC, 因为 BC奂平面 SBC, 所以 AF彝BC. 又因为 AB彝BC, AF疑AB = A, AF, AB奂平面 SAB, 所以 BC彝平面 SAB. 因为 SA奂平面 SAB, 所以 BC彝SA. 17. 本小题主要考查直线与圆的方程, 考查直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系等基础 知识, 考查运用数形结合、待定系数法等数学思想方法分析解决问题的能力. 满分 14 分. 解:(1) 由题设, 圆心 C 是直线 y = 2x - 4 和 y = x - 1 的交点, 解得点 C(3, 2) , 于是切线的斜率必存在. 设过A(0, 3) 的圆 C 的切线 方程为 y = kx+3, 3 3k+1 = 1, 解得 k = 0 或- , 由题意, 2 4 k +1 故所求切线方程为 y = 3 或 3x+4y-12 = 0. (2) 因为圆心在直线 y = 2x-4 上, 所以圆 C 的方程为 ( x-a) 2 +[ y-2( a-2) ] 2 = 1. 设点 M( x, y) , 因为 MA = 2MO,
( 第 17 题)

(2) 因为 a+b = ( cos琢+cos茁, sin琢+sin茁)= (0, 1) , 所以

= {cos琢+cos茁= 10, sin琢+sin茁 ,

12 所以点 C 的横坐标 a 的取值范围为 é0, ù . ê ú ê 5ú ? ? 18. 本小题主要考查正余弦定理、二次函数的最值以及三角函数的基本关系、两角和的正弦等 基础知识, 考查数学阅读能力和分析解决实际问题的能力. 满分 16 分. 3 12 解:(1) 在吟ABC 中, 因为 cosA = , cosC = , 所以 13 5 4 5 sinA = , sinC = . 13 5 从而 sinB = sin[ 仔-( A+C) ] = sin( A+C) = sinAcosC+cosAsinC ( 第 18 题) 5 3 12 4 63 = 伊 + 伊 = . 13 5 13 5 65 — 19 —

即 1臆 a2 +(2a-3)2 臆3. 由 5a2 -12a+8逸0, 得 a沂R; 12 由 5a2 -12a臆0, 得 0臆a臆 . 5

所以 x2 +(y-3)2 =2 x2 +y2 , 化简得 x2 +y2 +2y-3 = 0, 即 x2 +(y+1)2 = 4, 所以点 M 在以 D(0, -1)为圆心, 2 为半径的圆上. 由题意, 点 M(x, y)在圆 C 上, 所以圆 C 与圆 D 有公共点, 则 2-1 臆CD臆2+1,

AB AC AC 1260 4 = , 得 AB = 伊sinC = 伊 = 1040( m) . sinC sinB sinB 63 5 65 所以索道 AB 的长为 1040m. (2) 假设乙出发 t 分钟后, 甲、乙两游客距离为 d, 此时, 甲行走了(100 +50t) m, 乙距 离 A 处 130t m, 所以由余弦定理得 12 d2 = (100+50t) 2 +(130t) 2 -2伊130t伊(100+50t) 伊 = 200(37t2 -70t+50) , 13 35 1040 , 即 0臆t臆8, 故当 t = ( min) 时, 甲、乙两游客距离最短. 因 0臆t臆 130 37 BC AC AC 1260 5 (3) 由正弦定理 伊 = 500( m) . = , 得 BC = 伊sinA = sinA sinB sinB 63 13 65 乙从 B 出发时, 甲已走了 50伊(2+8+1)= 550(m), 还需走 710m 才能到达 C. 1250 625 500 710 臆3, 解得 臆v臆 , 所以为 设乙步行的速度为 v m / min, 由题意得-3臆 v 50 43 14 使两位 游 客 在 C 处 互 相 等 待 的 时 间 不 超 过 3 分 钟, 乙 步 行 的 速 度 应 控 制 在 é1250 , 625 ù (单位: m / min)范围内. ú ê ê 43 14 ú ? ? 19. 本小题主要考查等差、等比数列的定义、通项、求和等基础知识, 考查分析转化能力及推理 论证能力. 满分 16 分. n( n-1) 解:由题设, S n = na+ d. 2 Sn n-1 (1) 由 c = 0, 得 b n = = a+ d. 又因为 b1 , b2 , b4 成等比数列, 所以 b2 2 = b1 b4 , n 2 d 3 即( a+ ) 2 = a( a+ d) , 化简得 d2 -2ad = 0. 因为 d屹0, 所以 d = 2a. 2 2 因此, 对于所有的 m沂N * , 有 S m = m2 a. 从而对于所有的 k, n沂N * , 有 S nk = ( nk) 2 a = n2 k2 a = n2 S k . nSn (2) 设数列{ bn } 的公差是 d1 , 则 bn =b1 +(n-1)d1 , 即 2 =b1 +(n-1)d1 , n沂N* , 代入 S n 的 n +c 表达式, 整理得, 对于所有的 n沂N * , 有 1 1 ( d1 - d) n3 +( b1 -d1 -a+ d) n2 +cd1 n = c( d1 -b1 ) . 2 2 1 1 令 A = d1 - d, B = b1 -d1 -a+ d, D = c( d1 -b1 ) , 则对于所有的 n沂N * , 有 2 2 An3 +Bn2 +cd1 n = D. 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 ( *) 在( *) 式中分别取 n = 1, 2, 3, 4, 得 A+B+cd1 = 8A+4B+2cd1 = 27A+9B+3cd1 = 64A+16B+4cd1 , 7A+3B+cd1 = 0, 摇 淤 从而有 19A+5B+cd1 = 0, 于 21A+5B+cd1 = 0, 盂 由于, 盂得 A = 0, cd1 = -5B, 代入方程淤, 得 B = 0, 从而 cd1 = 0. 1 1 即 d1 - d = 0, b1 -d1 -a+ d = 0, cd1 = 0. 2 2 1 若 d1 = 0, 则由 d1 - d = 0, 得 d = 0, 与题设矛盾, 所以 d1 屹0. 2 又因为 cd1 = 0, 所以 c = 0. 20. 本小题主要考查导数的运算及利用导数研究函数的性质, 考查函数、方程及不等式的相互 转化, 考查综合运用数学思想方法分析与解决问题及推理论证能力. 满分 16 分. 由正弦定理

{

— 20 —

解:(1) 令 f 忆(x)=

1 -ax 1 -a = <0, 考虑到 f(x)的定义域为(0, +?), 故 a>0, 进而解得 x>a-1 , x x 即 f(x)在(a-1 , +?) 上是单调减函数. 同理, f (x) 在(0, a-1 ) 上是单调增函数. 由于 f(x)在(1, +?)上是单调减函数, 故(1, +?) 哿(a-1 , +?), 从而a-1 臆1, 即 a逸1. 令 g忆(x)= ex -a =0, 得x =lna. 当 x <lna 时, g忆(x) <0; 当x>lna 时, g忆(x) >0. 又 g ( x) 在 (1, +?)上有最小值, 所以 lna>1, 即 a>e. 综上, 有 a沂(e, +?). (2) 当 a臆0 时, g( x) 必为单调增函数; 当 a>0 时, 令 g忆( x)= e x -a>0, 解得 a<e x , 即 x>lna, 因为 g(x)在( -1, +?)上是单调增函数, 类似(1)有 lna臆-1, 即 0<a臆e -1 . 结合上述两种情况, 有 a臆e -1 . 1 ( 印) 当 a = 0 时, 由 f(1)= 0 以及 f 忆( x)= >0, 得 f( x) 存在唯一的零点; x ( 英) 当 a<0 时, 由于 f ( e a ) = a -ae a = a (1 - e a ) < 0, f ( 1 ) = - a > 0, 且函数 f ( x) 在 [ e a , 1 ] 上的图象不间断, 所以 f( x) 在( e a , 1) 上存在零点. 1 另外, 当 x>0 时, f 忆( x)= -a>0, 故 f( x) 在(0, +?) 上是单调增函数, 所以 x f( x) 只有一个零点. 1 ( 樱) 当 0<a臆e -1 时, 令 f 忆( x)= -a = 0, 解得 x = a -1 . 当 0<x<a -1 时, f 忆( x) >0, 当 x x>a-1 时, f 忆(x)<0, 所以, x =a-1 是 f(x)的最大值点, 且最大值为 f ( a-1 ) = -lna-1. 淤 当-lna-1 = 0, 即 a = e -1 时, f( x) 有一个零点 x = e. 于 当-lna-1>0, 即 0<a<e -1 时, f( x) 有两个零点. 实际上, 对于 0 <a<e -1 , 由于 f ( e -1 ) = -1 -ae -1 <0, f ( a -1 ) >0, 且函数 f( x) 在 [ e -1 , a -1 ] 上的图象不间断, 所以 f( x) 在( e -1 , a -1 ) 上存在零点. 1 另外, 当 x沂(0, a -1 ) 时, f 忆( x)= -a>0, 故 f( x) 在(0, a -1 ) 上是单调增函 x 数, 所以 f( x) 在(0, a -1 ) 上只有一个零点. -1 -1 下面考虑 f( x) 在( a -1 , +?) 上的情况. 先证 f( e a )= a( a -2 -e a ) <0. x 2 x 2 为此, 我们要证明: 当 x>e 时, e >x . 设 h( x)= e -x , 则 h忆( x)= e x -2x, 再设 l( x)= h忆( x)= e x -2x, 则 l忆( x)= e x -2. 当 x>1 时, l忆( x)= e x -2>e-2>0, 所以 l( x) = h忆( x) 在(1, +?) 上是单调增函 数. 故当 x>2 时, h忆( x)= e x -2x>h忆(2)= e2 -4>0, 从而 h( x) 在(2, +?) 上是单调增函数, 进而当 x>e 时, h x( =)e x -x2 >h e( =)e e -e2 >0. 即当 x>e 时 e x >x2 . , -1 -1 -1 当 0<a<e -1 , 即 a -1 >e 时, f( e a )= a -1 -ae a = a( a -2 -e a ) <0, 又 f( a -1 ) >0, 且 -1 -1 函数 f( x) 在[ a -1 , e a ] 上的图象不间断, 所以 f( x) 在( a -1 , e a ) 上存在零点. 1 又当 x>a -1 时, f 忆( x) = -a<0, 故 f( x) 在( a -1 , +?) 上是单调减函数, 所以 x f( x) 在( a -1 , +?) 上只有一个零点. 综合( 印) , ( 英) , ( 樱) , 当 a臆0 或 a = e -1 时, f( x) 的零点个数为 1, 当 0<a<e -1 时, f( x) 的零点个数为 2.

数学域( 附加题)

21. 揖 选做题铱 本题包括 A、 B、 C、 D 四小题, 请选定其中两小题, 并在相应的答题区域内作答. ·踿踿踿踿踿踿踿 ·踿踿踿踿踿踿踿踿踿踿踿 若多做, 则按作答的前两小题评分. 解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.

— 21 —

A. [ 选修 4-1:几何证明选讲] ( 本小题满分 10 分) 如图, AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D, C, AC 经过圆心 O, 且 BC = 2OC. 求证:AC = 2AD. B. [ 选修 4-2:矩阵与变换] ( 本小题满分 10 分) -1 0 ù -1 é1 2 ù 已知矩阵 A = é ê 0 2 ú , B = ê 0 6 ú , 求矩阵 A B. ? ? ? ? C. [ 选修 4-4:坐标系与参数方程] ( 本小题满分 10 分) x = t+1, ( 第 21-A 题) (t 为参数), 在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为 y = 2t x = 2 tan2 兹, 曲线 C 的参数方程为 (兹 为参数). 试求直线 l 和曲线 C 的普通方程, 并求出它们 y = 2tan兹 的公共点的坐标. D. [ 选修 4-5:不等式选讲] ( 本小题满分 10 分) 已知 a逸b>0, 求证:2a3 -b3 逸2ab2 -a2 b. 揖 必做题铱 第 22 题、第 23 题, 每题 10 分, 共计 20 分. 请在答 题卡指定区域 内作答, 解答时应 · 踿踿踿踿踿踿 写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. ( 本小题满分 10 分) 如图, 在 直 三 棱 柱 A1 B1 C1 - ABC 中, AB 彝 AC, AB = AC = 2, A1 A = 4, 点 D 是 BC 的中点. (1) 求异面直线 A1 B 与 C1 D 所成角的余弦值; (2) 求平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的正弦值.

{

{

23. ( 本小题满分 10 分) 设数 列 { an }: 1, - 2, - 2, 3, 3, 3, - 4, - 4, - 4, - 4, …,
k个

( 第 22 题) (k-1)k k(k+1) <n臆 (k 沂N* ) 时, 2 2 an =(-1) k-1 k. 记 Sn =a1 +a2 +…+an (n沂N* ). 对于 l沂N* , 定义集合 Pl = {n Sn 是 an 的整数倍, 摇 * n沂N , 且 1臆n臆l}. (1) 求集合 P11 中元素的个数; (2) 求集合 P2000 中元素的个数.

21. 揖 选做题铱 A. [ 选修 4-1:几何证明选讲] 本小题主要考查圆的切线性质、相似三角形判定与性质, 考查推理论证能力. 满分 10 分. 证明:连结 OD. 因为 AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D, C, 所以蚁ADO = 蚁ACB = 90毅. 又因为蚁A = 蚁A, 所以 Rt驻ADO易Rt驻ACB. BC AC 所以 = . OD AD 又 BC = 2OC = 2OD, 故 AC = 2AD. B. [ 选修 4-2:矩阵与变换] ( 第 21-A 题) 本小题主要考查逆矩阵、矩阵的乘法, 考查运算求解能力. 满分 10 分. a bù -1 0ù é a b ù é 1 0ù é - a - b ù = é 1 0ù , 解:设矩阵 A 的逆矩阵为 é ê ú , 则é ê úê ú =ê ú , 即ê ú ê ú ? c d? ? 0 2? ? c d? ? 0 1? ? 2c 2d ? ? 0 1? — 22 —

ì ? ? ? ? í ? ? ? ? ? (-1)
k-1

k, …, (-1) k-1 k, …, 即当

数学域( 附加题) 参考答案

故 a=-1, b =0, c=0, d=

é -1 0 ù 1 2 ê ú ù = é -1 -2 ù . 1úé 所以 A -1 B = ê ú ú ê ê 0 3 ? ?0 6 ? ? 0 ê 2ú ? ? C. [ 选修 4-4:坐标系与参数方程] 本小题主要考查参数方程与普通方程的互化以及直线与抛物线的位置关系等基础知 识, 考查转化问题的能力. 满分 10 分. x = t+1, 解:因为直线 l 的参数方程为 ( t 为参数) , 由 x = t+1 得 t = x-1, 代入y = 2t, 得到 y = 2t 直线 l 的普通方程为 2x-y-2 = 0. 同理得到曲线 C 的普通方程为 y2 = 2x. y = 2( x-1) , 1 解得公共点的坐标为(2, 2) , ( , -1) . 联立方程组 2 2 y = 2x, D. [ 选修 4-5:不等式选讲] 本小题主要考查利用比较法证明不等式, 考查推理论证能力. 满分 10 分. 证明:2a3 -b3 -(2ab2 -a2 b)= 2a( a2 -b2 ) +b( a2 -b2 ) = ( a2 -b2 ) (2a+b) = ( a-b) ( a+b) (2a+b) . 因为 a逸b>0, 所以 a-b逸0, a+b>0, 2a+b>0, 从而( a-b) ( a+b) (2a+b) 逸0, 即 2a3 -b3 逸2ab2 -a2 b. 22. 揖 必做题铱 本小题主要考查异面直线、二面角、空间向量等基础知识以及基本运算, 考查运 用空间向量解决问题的能力. 满分 10 分. 解:(1) 以 A 为坐标原点, 建立如图所示的空间直角坐标系A- xyz, 则 A(0, 0, 0), B(2, 0, 0), C(0, 2, 0), D(1, 1, 0), A1(0, 0, 4), 寅 寅 C1(0, 2, 4), 所以A1 B =(2, 0, - 4), C1 D =(1, -1, - 4). 寅 寅 A1 B·C1 D 寅 寅 3 10 18 因为 cos掖 A1 B, C1 D业 = 寅 寅 = 20 伊 18 = 10 , A1 B C 1 D

1 , 从而 A 的逆矩阵为 A 2

-1

é -1 ê =ê ê0 ?

0 1 2

ù ú ú, ú ?

{

{

5 . 3 23. 揖 必做题铱 本小题主要考查集合、数列的概念和运算、计数原理等基础知识, 考查探究能力 及运用数学归纳法的推理论证能力. 满分 10 分. 解:(1) 由数列 { a n } 的 定 义 得 a1 = 1, a2 = - 2, a3 = - 2, a4 = 3, a5 = 3, a6 = 3, a7 = - 4, a8 = -4, a9 = - 4, a10 = - 4, a11 = 5, 所 以 S1 = 1, S2 = - 1, S3 = - 3, S4 = 0, S5 = 3, S6 = 6, S7 = 2, S8 = -2, S9 = -6, S10 = -10, S11 = -5, 从而 S1 = a1 , S4 = 0伊a4 , S5 = a5 , S6 = 2a6 , S11 = -a11 , 所以集合 P11 中元素的个数为 5. (2) 先证:S i(2i+1) = -i(2i+1) ( i沂N * ) . 事实上, 淤当 i = 1 时, S i(2i+1) = S3 = -3, -i(2i+1)= -3, 故原等式成立; 因此, 平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的正弦值为 — 23 —

10 . 10 ( 第 22 题) 寅 (2) 设平面 ADC1 的法向量为 n1 = (x, y, z), 因为 AD =(1, 1, 0), 寅 寅 寅 AC1 =(0, 2, 4), 所以n1 ·AD =0, n1 ·AC1 =0, 即 x+y =0 且 y+2z = 0, 取 z = 1, 得 x = 2, y = -2, 所以, n1 =(2, -2, 1)是平面 ADC1 的一个法向量. 取平面 AA1 B 的一个法向量为 n2 =(0, 1, 0), 设平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的大小为 兹. n1 ·n2 2 2 5 由 cos兹 = = = , 得 sin兹 = . 3 n1 n2 9伊 1 3

3 所以异面直线 A1 B 与 C1 D 所成角的余弦值为

于假设 i = m 时成立, 即 S m(2m+1) = -m(2m+1) , 则 i = m+1 时, S ( m+1) (2m+3) = S m(2m+1) + (2m+1) 2 -(2m+2) 2 = -m(2m+1) -4m-3 = -(2m2 +5m+3)= -( m+1) (2m+3) . 综合淤于可得 S i(2i+1) = -i(2i+1) . 于是 S ( i+1) (2i+1) = S i(2i+1) +(2i+1) 2 = -i(2i+1) +(2i+1) 2 = (2i+1) ( i+1) . 由上可知 S i(2i+1) 是 2i +1 的倍数, 而 a i(2i+1) +j = 2i +1 ( j = 1, 2, …, 2i + 1 ) , 所以 Si(2i+1)+j =Si(2i+1) +j(2i+1) 是 ai(2i+1)+j (j = 1, 2, …, 2i +1) 的倍数. 又 S(i+1)(2i+1) = (i +1) (2i+1) 不 是 2i + 2 的 倍 数, 而 a(i+1)(2i+1)+j = - (2i + 2 ) (j =1, 2, …, 2i+2), 所 以 S(i+1)(2i+1)+j =S(i+1)(2i+1) -j(2i+2)= (2i+1)(i+1)-j(2i+2)不是 a(i+1)(2i+1)+j(j =1, 2, …, 2i+2) 的倍数, 故当 l =i(2i+1)时, 集合 Pl 中元素的个数为 1+3+…+(2i -1)= i2 , 于是, 当 l =i(2i+1)+j (1臆j臆2i+1)时, 集合 Pl 中元素的个数为 i2 +j. 又 2000 = 31伊(2伊31+1) +47, 故集合 P2000 中元素的个数为 31 2 +47 = 1008.


更多相关文档:

2013年江苏省高考数学试题及答案

2013年江苏省高考数学试题及答案_高考_高中教育_教育专区。2013年江苏省高考数学试题及答案 文档贡献者 lawyxw 贡献于2013-06-10 ...

2013年江苏省高考数学试卷加详细解析

2013年江苏省高考数学试卷加详细解析_高考_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档2013年江苏省高考数学试卷加详细解析_高考_高中教育_教育专区。...

2013年江苏省高考真题数学试卷及答案(理科)word版

2013年江苏省高考真题数学试卷及答案(理科)word版_高考_高中教育_教育专区。2013年江苏省高考真题数学试卷及答案(理科)word版 2013 年普通高等学校统一考试数学试题 ...

2013江苏数学高考试题及答案完整版

2013江苏数学高考试题及答案完整版_数学_高中教育_教育专区。2013 年普通高等学校统一考试试题(江苏卷)一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分...

2013年江苏高考数学试题及答案(含理科附加题)WORD版

2013江苏高考数学试题及答案(含理科附加题)WORD版_高考_高中教育_教育专区。...绝密★启用前 2013 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 数学Ⅰ注意事项: ...

2013江苏高考数学试题及答案

8页 免费 2013江苏高考数学试题(含... 6页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 ...

2013年高考理科数学江苏卷试题与答案word解析版

2013高考理科数学江苏试题答案word解析版_高考_高中教育_教育专区。2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(江苏卷) 数学试题一、填空题:本大题共 ...

2013年江苏省高考数学试卷及答案(Word解析版)

2013年江苏省高考数学试卷及答案(Word解析版)_高考_高中教育_教育专区。2013 年普通高等学校统一考试试题(江苏卷)一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,...

2013江苏高考数学高考试题及答案

2013江苏高考数学高考试题及答案_高考_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 2013江苏高考数学高考试题及答案_高考_高中教育_教育专区。理科 试卷...
更多相关标签:
2016江苏高考数学试题 | 2015江苏数学高考试题 | 2013江苏高考数学试题 | 数学建模 试题解答 | 2016江苏英语高考试题 | 江苏成人高考试题 | 2015江苏成人高考试题 | 2016江苏高考语文试题 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com