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必修4 简单的三角恒等变换的基本技巧


必修 4 简单的三角恒等变换的基本技巧
(2013.4.25) 【知识要点】
1、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是:一角二名三结构。即首先 观察角与角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心!第二看 函数名称之间的关系,通常“切化弦” ;第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有: (1)巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、 两角与其和差角的变换. 如 ? ? (? ? ? ) ? ? ? (? ? ? ) ? ? , 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ,

2 2 2 2 3 ? 1 ? 2 例 1.已知 tan(? ? ? ) ? ,tan( ? ? ) ? , 那么 tan(? ? ) 的值是_____ (答: ) ; 22 4 4 4 5 ? ? 1 ? 2 例 2.已知 0 ? ? ? ? ? ? ? ,且 cos( ? ? ) ? ? , sin( ? ? ) ? ,求 2 2 9 2 3 490 cos( ? ? ? ) 的值(答: ) ; 729

2? ? ( ? ? ? ) ? ( ? ? ? ) , ? ? ? ? 2 ?

? ??



???

? ??

?

?

? ?? ? ?
? ?

等) ,

(2)三角函数名互化(切化弦) 例 3.求值 sin50? (1 ? 3 tan10 ?) (答:1) ;

例 4.已知

1 sin ? cos ? 2 ? 1, tan(? ? ? ) ? ? ,求 tan( ? ? 2? ) 的值(答: ) 8 1 ? cos 2? 3

1

(3)公式变形使用( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? 例 5.已知 A、 为锐角, B 且满足 tan A tan B ? tan A ? tan B ? 1 , cs A ?)B =_____ 则 o( (答: ?

2 ) ; 2

例 6.设 ?ABC 中, tan A ? tan B ? 3 ? 3 tan Atan B , sin Acos A ? 角形是____三角形(答:等边)

3 ,则此三 4

(4)三角函数次数的降升(降幂公式: cos ? ?
2

1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 2 , sin ? ? 与升幂 2 2

公式: 1 ? cos 2? ? 2cos ? , 1 ? cos 2? ? 2sin ? )
2 2

例 7.若 ? ? ( ? , ? ) ,化简

3 2

? 1 1 1 1 ; ? ? cos 2? 为_____(答: sin ) 2 2 2 2 2

(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同) 例 8.求证:

1 ? sin ? 1 ? 2sin

2 ?

?

1 ? tan 1 ? tan

? ?
2

2

2

2

1 2 (答: 1 cos 2 x ) 例 9.化简: ? ? 2 2 tan( ? x)sin 2 ( ? x) 4 4 2 cos 4 x ? 2 cos 2 x ?

? tan ? ? sin ? ?? 等) 4 2

(6)常值变换主要指“1”的变换( 1 ? sin x ? cos x ? sec x ? tan x ? tan x ? cot x
2 2 2 2

2 2 例 10.已知 tan ? ? 2 ,求 sin ? ? sin ? cos ? ? 3cos ? (答:

3 ). 5

sin (7)正余弦“三兄妹— sin x ? cos x、 x cos x ”的内存联系――“知一求二”
例 11.若 sin x ? cos x ? t ,则 sin x cos x ? __(答: ?

t2 ?1 ),特别提醒:这里 2

t ?[? 2, 2]
4? 7 例 12.若 ? ? (0, ? ),sin ? ? cos ? ? 1 ,求 tan ? 的值。 (答: ? )

2

3

例 13.已知

? ? sin 2? ? 2sin 2 ? ? k ( ? ? ? ) ,试用 k 表示 sin ? ? cos ? 的值(答: 4 2 1 ? tan ?

1? k ) 。

3

a 2、辅助角公式中辅助角的确定: sin x ? b cos x ?
的象限由 a, b 的符号确定, ? 角的值由 tan ? ?

a 2 ? b 2 sin ? x ? ? ? (其中 ? 角所在

b 确定)在求最值、化简时起着重要作用。 a 例 14.若方程 sin x ? 3 cos x ? c 有实数解,则 c 的取值范围是___________.(答:[-

2,2]) ;

例 15.函数 f ( x ) ? 5 sin xcos x ? 5 3cos 2 x ? ___________(答: [ k? ?

?
12

,k? ?

5? ]( k ? Z ) ) 12

5 3( x ? R ) 的单调递增区间为 2

3、求角的方法:先确定角的范围,再求出关于此角的某一个三角函数(要注意选择, 其标准有二:一是此三角函数在角的范围内具有单调性;二是根据条件易求出此三角函数 值) 。 例 16.若 ? , ? ? (0, ? ) ,且 tan 值______(答:

? 、tan ? 是方程 x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 的两根,则求 ? ? ? 的

3? ) 4

例 17. ?ABC 中, 3sin A ? 4cos B ? 6, 4sin B ? 3cos A ? 1 ,则 ?C =_______(答:

? ) ; 3

4


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