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2009年安徽省名校高三教学质量检测试卷一数学文科2009.2


2009 年安徽省名校高三教学质量检测试卷(一)
数学(文科)试卷
一:选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1、已知 A ? { y | yy ? log2 x, x ? 1}, B ? {x | x ? A. ( ,?? )

1 , y ? 1} ,则 A ? B 等于( ) 2y
D. (0,2

)

1 2

B. ( ,2)

1 2

C. (0, ) ) 。

1 2

2.若复数 z 满足 (2 ? i) z ? 2 ,则 z 等于( A.

2 2 ? i 5 5

B.

4 2 ? i 5 5

C. 1 ? i

D. 1 ? i

3.如图所示,一个简单几何体的三视图其正视图与侧视图是边长为 2 的正三角形,俯视图轮廓为正 方形,则其体积是 A.

4 2 3 3 6

B.

4 3 3
8 3
正视图 侧视图 俯视图

C.

D.

4.下面为一个求 20 个数的平均数的程序,在横线上应填充的语句为( ) i ? 20 A. i ? 20 B. C. i ?? 20 D. i ?? 20 5.某市 A , B , C 三个区域共有高中学生 20000 人,其中 A 区有高中学生 7000 人,现采 用分层抽样的方法从这三个区所有高中学生抽样一个容量为 600 人的样本进行 “学习兴趣” 调查, 在 A 区应抽取( ) A. 200 人 B.

205 人

C.

210 人

D.

215 人
)

6.下列函数中,最小正周期为 ? ,且图像关于直线 x ? A. y ? sin( 2 x ?

?
3

对称的是(

?
3

) B.

y ? sin( 2 x ?

?
6

) C. y ? sin( 2 x ?

?

x ? ) D. y ? sin( ? ) 6 2 6

7.若 ? , ? 为不同平面, m , n 为不同的直线,则下列命题不正确的是( ) A.

m ? ? , m // ? ? ? ? ?

B. m // ? , ? ? ? ? n ? n // m D. m // n , m ? ? ? n ? ?

C. m ? ? , m ? ? ? ? / ?

8.已知数列 {an } ,它的前 n 项和为 S n ,若点 ( n, 通项公式 an ? ( A. 4 n ? 1 ) B. 2 n ? 1

Sn ) 恒在直线 y ? 2 x ? 3 上,则数列的 n

C. 4 n ? 1

D. 2 n ? 1 )

9.由方程 x | x | ? y | y |? 1 所确定的函数 y ? f ( x) 在 (??,??) 上是(
第 1 页 共 7 页

A. 奇函数

B.偶函数

C. 增函数

D.减函数

?x ? y ? 1 ? 0 ? 10.已知 ? x ? y ? 1 ? 0 且 U ( x, y) ? x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 8 ,则 U ( x, y) 的最小值为( ) ? y ? ?1 ?
A.

3 2 2

B.

9 2

C.

2 2

D.

1 2

11.若函数 f ( x) ? 2 x 2 ? ln x 在其定义域的一个子区间 (k ? 1, k ? 1) 上不是单调函数,则实数 k 的 取值范围是( ) A.

3 ( ,?? ) 2

B.

1 (?? ,? ) 2

C.

1 3 (? , ) 2 2

D.

3 [1, ) 2

12.曲线 y ? 1 ? 4 ? x 2 与直线 y ? k ( x ? 2) ? 4 有两个不同交点时,实数 k 的值范围是 A. (

5 3 , ] 12 4

B. (

5 ,?? ) 12

C. ( , ]

1 3 2 4

D. (0,

5 ) 12

二:填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分 ,共 16 分) 13.在平面直角坐标系中,横、纵坐标均为整数的点叫“格点” ,若函数 y ? f ( x) 的图像 恰好经过 k 个格点,则称函数 f ( x) 为 k 阶格点函数,下列函数中为一阶格点函数的是 ____________; ① y ? sin x ② y ? cos( x ?
2

?
6

)

③ y ? e ?1
x

④y?x

2

14.若函数 f ( x) ? a( x ? 3x) 区间 (?1,1) 上单调递减,则实数 a 的取值范围

__

?1, ( x ? 0) ? ? sngx 15.定义符号函数 sgn x ? ?0, ( x ? 0) ,则不等式 x ? 2 ? (2x ? 1) 的解集 ? ?? 1, ( x ? 0) ?
16.由曲线 y ? sin x 在 x ?

_____;

2? 处的切线与 x, y 轴围成的三角形的面积是______; 3

三:解答题(本大题共 6 小题,共 74 分) 17: (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2 cos x sin( x ? (1)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (2)将函数 f ( x) 的图像按向量 a ? (m,0) 平移,使函数 f ( x) 为偶函数,求 | m | 的最小值;
?

?
3

) ? 3 sin 2 x ? sin x cos x ,

第 2 页 共 7 页

18: (本小题满分 12 分)已知袋中有编号为 1 — 6 的小球各一个,它们的大小相同,从中 任取两个小球,求: (1)恰好有一球的编号是 3 的倍数的概率; (2)两个小球编号之和是 3 的倍数的概率;

19: (本小题满分 12 分)在长方形 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, P 为对角线 B1C 上一点, (1)试确定 P 点位置,使 AB1 // 平面 PBD (2)是否存在点 P ,使 B1C ? 平面 PBD , 若存在,确定 P 点的位置;若不存在, 请说明理由。 A1 D A D1 B1 C1 P C B

20: (本小题满分 12 分)已知数列 {an } 的各项均为正整数,且满足
2 an?1 ? an ? 2nan ? 2 (n ? N * ) ,又 a4 ? 9 ;

(1)求 a1 , a2 , a3 的值,并由此猜想出 {an } 的一个通项公式; (2)设 bn ? 20 ? an ,求 S n ?| b1 | ? | b2 | ??? | bn |

第 3 页 共 7 页

21: (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x 2 ? a ln x 在 [1,2] 上是增函数, g ( x) ? x ? a x 在 (0,1) 上为减函数。 (1)求 f ( x) , g ( x) 的表达式; (2)求证:当 x ? 0 时,方程 f ( x) ? g ( x) ? 2 有唯一解;

22: (本小题满分 14 分)如图所示,已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , F1 、 F2 为 a2 b2

/ 其左、右焦点, A 为右顶点, l 为左准线,过 F1 的直线 l : x ? my ? c 与椭圆相交于 P 、

Q 两点,且有: AP ? AQ ?
1 2 2 3

?

?

1 (a ? c) 2 ( c 为椭圆的半焦距) 2
l
y

(1)求椭圆 C 的离心率 e 的最小值; (2)若 e ? ( , ) ,求实数 m 的取值范围; M P F1 N Q

O

A

x

l/

第 4 页 共 7 页

参考答案
一:选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

C

B

B

A

C

B

B

A

D

B

D

A

二:填空题 13.①③;14. (??,0) ;15. (? 三解答题: 17. 解: (1) f ( x) ? 2 sin( 2 x ? 由?

3 ? 33 ? 3 2 ,3) ; 16. ( ? ) ; 4 2 2

?
3

), ? 2k? , k ? Z 得: ? 5? ? ? k? ? x ? ? k? , k ? Z ; 12 12

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
3

?

?
2

所以函数 f ( x) 的单调增区间 [?

5? ? ? k? , ? k? ], k ? Z 12 12
?

(2)将函数 f ( x) 的图像按向量 a ? (m,0) 平移得:

f ( x ? m) ? 2 sin( 2 x ? 2m ?
由题意得 2 x ? 2m ?

?
3

),

?
3

?

?
2

? k? , k ? Z ,将 x ? 0 代入得:

2 12 ? k? ? ? |, k ? Z ,当 k ? 0 时, | m | 的最小值为 ; 所以: | m |?| 12 2 12
18.解: (1) 从 6 各小球中任取两个共有 15 种取法, 即: (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,4), (3,5), (3,6),(4,5) , (4,6) , (5,6),它们是等可能的。 则恰好有一个球的编号是 3 的倍数的取法为 8 种: 即(1,3), (1,6), (2,3), (2,6), (3,4), (3,5), (4,6) , (5,6),记该事件为 A ,则 P ( A) ?

2 ? 0 ? 2m ?

?
3

?

?

? k? , k ? Z ; m ?

?

?

k? ,k ? Z 2

8 15 5 1 ? ; 15 3

(2)两个小球的编号之和是 3 的倍数的有 5 种,即(1,2), (1,5), (2,4), (3,6), (4,5) 所以,两个小球编号之和是 3 的倍数的概率是 P ?

19. 解(1) P 为 B1C 的中点,易证 (2)不存在,若 B1C ? 平面 PBD , 则 B1C ? BD , A1 D
第 5 页 共 7 页

D1 B1

C1 P C B

A

又 BC 为 B1C 在平面 ABCD 内的射影, 所以 BC ? BD ,而 BC 与 BD 不垂直,故得
2 20.解(1)由 a4 ? a3 ? 6a3 ? 2 ? 9 ? a3 ? 7 或 a3 ? ?1 (舍去)

同样可得: a 2 ? 5 , a1 ? 3 ,由此猜得: an ? 2n ? 1 ; (2) bn ? 19 ? 2n ;因为 b1 ? b2 ? ?b9 ? 0 ? b10 ? ? ? bn ; 所以 n ? 9 时, S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?

17 ? 19 ? 2n ? n ? ?n 2 ? 18n 2

n ? 9 时, S n ? b1 ? b2 ? ? ? b9 ? b10 ? b11 ? ? ? bn

? 2S9 ? (b1 ? b2 ? ? ? bn )
? 2 ? (18 ? 9) ? 9 ? 17 ? 19 ? 2n ?n 2

? n 2 ? 18n ? 162;

?? n 2 ? 18n (0 ? n ? 9) ? 所以: S n ? ? ?n ? 18n ? 162 (n ? 9) ?
21. 证明: (1) f ( x ) ? 2 x ?
/

a a 2 在 [1,2] 上恒正,即 2 x ? , a ? 2 x 恒成立, x x

2 因为 2 x 在 [1,2] 上的最小值为 2 ;所以 a ? 2 ;①

g / ( x) ? 1 ?

a 2 x

在 (0,1) 上恒负,即 1 ?

a ? 0 , a ? 2 x 恒成立, 2x

因为 2 x 在 (0,1) 上有 2 x ? 2 ;所以 a ? 2 ;② 所以由①②得: a ? 2 ;所以 f ( x) ? x 2 ? 2 ln x ; g ( x) ? x ? 2 x ; (2)令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 2 ;

h / ( x) ? 2 x ?

2 1 ( x ? 1)(2 x x ? x ? 2 x ? 2) ? (1 ? )? ; x x x
/ /

当 x ? (0,1) 时; h ( x) ? 0 ;当 x ? (1,??) 时; h ( x) ? 0 ; 因为 h(1) ? 0 ;所以 x ? 1 是 h( x) ? 0 ,即 f ( x) ? g ( x) ? 2 有唯一解;

第 6 页 共 7 页

22. 解(1)设直线 l 与椭圆相交于 P(my1 ? c, y1 ) , Q(my2 ? c, y 2 ) ,因为 A ( a,0) ;
/

故 AP ? (m y1 ? c ? a, y1 ) , AQ ? (m y2 ? c ? a, y 2 ) ,由 AP ? AQ ?

?

?

?

?

1 (a ? c) 2 得: 2

(m 2 ? 1) y1 y 2 ? (a ? c)( y1 ? y 2 ) ? (a ? c) 2 ?
将 x ? my ? c 代入

1 (a ? c) 2 2

①;

x2 y2 ? ? 1 得: (a 2 ? b 2 m 2 ) y 2 ? 2b 2 cmy ? b 4 ? 0 ; a2 b2

? 2b 2 cm y ? y ? 2 2 2 ? ? 1 a 2 ? b 2 m 2 代入①中,并化简得: m 2 ? a ? 2(a ? c) 由题意得: ? b2 b4 ?y y ? ? 1 2 ? a 2 ? b2m2 ?
因此, a 2 ? 2(a ? c) 2 ? 0 , ?

2 c 2 ;即椭圆的离心率的最小值为 1 ? ; ? 1? 2 a 2

(2)由 m ?
2

a 2 ? 2(a ? c) 2 a 2 ? 2(a ? c) 2 ? 1 ? 4e ? 2e 2 2 m ? ? 得: ; b2 a2 ? c2 1 ? e2
16 7 ? (4e ? 3) ? 6 4e ? 3
1 2 2 3
2

? 2?

16(4e ? 3) ? 2? 7 ? 6(4e ? 3) ? (4e ? 3) 2



2 由于 m 是 e 的单调增函数,因为 e ? ( , ) ,故 m ? ( , ) ,

2 7 3 5

所以 m 的取值范围: (?

35 6 6 35 ,? )?( , ) 5 3 3 5

第 7 页 共 7 页


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