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北京市十一学校2012年高二12月月考直升理科数学试卷


北京市十一学校 2012 年高二 12 月月考数学试卷(2012.12.20)
一.选择题:4*8=32 分

二.填空题:4*6=24 分 9 . 已 知 = .

a4 ( x 1 )? 3 ( x 3 1 ? 2 a ? 4 a ? )

x2 ? (

1 )a ? 1
<

br />x( ?

0

4 , 则 ? 1a) ? a3x? a? 2

a1

1 . 若 集 合 M ? { x, y, z} , 集合 N ? 2 , ? { ?

是从 1, 0 , 1, 2 } , M 到 N 的 映 射 , 则 满 足 f

10.某同学先后随机抛掷两枚正方体骰子,其中 a 表示第 1 枚骰子出现的点数, b 表示第 2 枚 骰子出现的点数. x ? (0, ) 时, 当 则函数 f (x)=(a ? 1)x2 ? bx+1 为单调函数的概率为

f ( x) ? f ( y) ? f ( z) ? 0 的映射有(
A.13 个
2 5

) C.9 个 ) D.800 D.7 个

1 2



B.11 个

11.从 A ? {a1 , a 2 , a3 , a 4 } 到 B ? {b1 , b2 , b3 , b4 } 的一一映射中,限定 a1 的象不能是 b1 ,且 b4 的原象不能是 a 4 的映射有 个.

2.在(x +3x+2) 的展开式中含x项的系数是 ( A.160 B.240 C.360

12.甲、乙、丙三人约定中午 12 点到 13 点在北京西站见面,并约定先到者等候另两人 20 分 3.设有编号为 1,2,3,4,5 的五个茶杯和编号为 1,2,3,4,5 的五个杯盖,将五个杯盖 钟,过后即可离去,则他们三人能一起见面的概率为 盖在五个茶杯上,至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有( ) A.36 种 B.32 种 C.31 种 D.30 种 ; 13.已知两个实数集 A ? {a1, a2 ,?, a10} 与 B ? {1,2,3,4,5} ,若建立映射 f : A ? B 使得

f ( a1 ) ? f ( a2 ) ?? ? f ( a ),则这样的映射共有 10

个。

4.从编号分别为 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 的共 11 个球中,取出 5 个球,使 5 个 球的编号之和为奇数,则其方法种数为( A.231
n

14.1 号箱中有 2 个白球和 4 个红球,2 号箱中有 5 个白球和 3 个红球,现随机地从 1 号箱中 取出一球放入 2 号箱, 然后从 2 号箱随机取出一球, 则从 2 号箱取出红球的概率是 .

) C.236 D.239
2 n

B.230

三.解答题:共 44 分,要求写出详细的逻辑推理和解答过程 ) 15.某厂生产的 A 产品按每盒 10 件进行包装,每盒产品均需检验合格后方可出厂.质检办法 规定:从每盒 10 件 A 产品中任抽 4 件进行检验,若次品数不超过 1 件,就认为该盒产品合 格;否则,就认为该盒产品不合格.已知某盒 A 产品中有 2 件次品.. (Ⅰ)求该盒产品被检验合格的概率;

5.在 (1 ? x) 的展开式中奇数项之和为 p,偶数项之和为 q,则 (1 ? x ) 等于( A.pq B.p -q
2 2

C.q -p

2

2

D.p +q

2

2

6.考察正方体 6 个面的中心, 从中任意选 3 个点连成三角形, 再把剩下的 3 个点也连成三角形, 则所得的两个三角形全等的概率等于 ( A.1 1 B. 2 ) 1 C. 3 D.0

(Ⅱ)若对该盒产品分别进行两次检验,求两次检验得出的结果不一致的概率. (结果用分数 表示)

7.将 1,2,3,?,9 这 9 个数平均分成三组,则每组的三个数都成等差数列的概率为( ) A. 1 56 B. 1 280 5 C. 56 1 D. 420

8.口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球,有放回地每次摸取一个球,定义数列 {an } :

??1 第n次摸到红球 an ? ? ,如果 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和,那么 S7 ? 3 的概率为( ) ?1 第n次摸到白球
?2?5 5?1?2 A.C7? ? ·? ? ?3? ?3? ?1?5 5?1?2 B.C7? ? ·? ? ?3? ?3? ?2?5 3?1? 2 C.C7? ? ·? ? ?3? ?3? ?1?5 2?2?2 D.C7? ? ·? ? ?3? ?3?

16. 一个电路中有三个电子元件,其接通的概率都是 m(0 ? m ? 1) ,有下列三种联接方法(如 图) :

18.一个通讯小组有两套设备,只要其中有一套设备能正常工作,就能进行通讯.每套设备由 3 个部件组成,只要其中有一个部件出故障,这套设备就不能正常工作.如果在某一时间段内 每个部件不出故障的概率为 p ,计算在这一时间段内 (Ⅰ)恰有一套设备能正常工作的概率; (Ⅱ)能进行通讯的概率.

(1)

(2)

(3)

试分析这三种电路哪一种性能最优,并证明你的结论.

17.某游戏规则如下:有 A、B 两个试题袋,各有十道试题。抽签决定回答 A 袋或 B 袋中的一道 试题,回答正确即可过关.已知十支签中有 7 支标 A,3 支标 B,抽中 A 则回答 A 袋中的一道试 题,抽中 B 则回答 B 袋中的一道试题。已知某人能回答 A 袋中的 5 道题、B 袋中的 8 道题.求此 人成功过关的概率.

参考答案: 一.ABCC,BAAD 提示: 6.[解析] 正方体六个面的中心任取三个只能组成两种三角形. 一种是等腰直角三角形, 如图甲.另一种是正三角形,如图乙.若任取三个点构成的是等腰直角三角形,剩下的三个 点也一定构成等腰直角三角形,若任取三个点构成的是正三角形,剩下的三点也一定构成正 三角形.这是一个必然事件,因此概率为 1.

二.填空题: 9.[解析] [(x+1)-1] =a4(x+1) +a3(x+1) +a2(x+1) +a1(x+1)+a0, ∴a3-a2+a1=(-C4)-C4+(-C4)=-14. 10.解:记数对(a,b)为两次出现的点数情况. 当 a=1 时, 函数 f(x)=(a-1)x -bx+1=-bx+1 为单调函数, 此时符合题意的点为: (1,1), (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),共 6 个; 当 a≠1 时,即 a>1,函数 f(x)=(a-1)x -bx+1 为二次函数,开口向上,其对称轴为 x= 2?
2 2 1 2 3 4 4 3 2

b 1 b 1 ,要使函数 f(x)在 x∈(0, )上为单调函数, 只需 ≥ 即可,即 b≥a-1, a-1? 2 2? a-1? 2

则符合题意的点有:(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,2),(3,3),(3,4), (3,5),(3,6),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6),共 7.[答案] A C9·C6·C3 [解析] 基本事件总数 =280. 3 A3 每组三个数都成等差数列的有 (1)(1,2,3),(4,5,6),(7,8,9) (2)(1,2,3,),(4,6,8),(5,7,9) (3)(1,3,5),(2,4,6),(7,8,8) (4)(1,4,7),(2,5,8),(3,6,9) (5)(1,5,9),(2,3,4),(6,7,8) 1 为第一组首项时,只有公差 1,2,3,4,四种情形, 5 1 ∴所求概率 P= = . 280 56 8.[答案] D 2 1 [解析] 有放回地每次摸取一个球,摸到红球的概率为 ,摸到白球的概率为 ,这是一个 3 3 独立重复试验.S7=3,说明共摸 7 次,摸到白球比摸到红球多 3 次,即摸到白球 5 次,摸到红
2?2?2?1? 5 球 2 次,所以 S7=3 的概率为 C7? ? ? ? . ?3? ?3? 3 3 3

20+6 13 20 个. 故 P= = . 36 18 11.14 12.

125 729
1 0 2 1 3 2 4 3 5 4 C5C9 ? C5 C9 ? C5 C9 ? C5 C9 ? C5 C9 ? 1001个

13.[解析] 14.[答案]



11 27

[分析] 从 2 号箱中取出红球的概率大小与从一号箱中取出的球有关,故应按从一号箱中 取出红球和白球讨论,故这是一个条件概率问题. [解析] 记事件 A:最后从 2 号箱中取出的是红球;事件 B:从 1 号箱中取出的是红球. 4 2 1 - 则 P(B)= = ,P( B )=1-P(B)= , 2+4 3 3

P(A|B)=

3+1 4 3 1 - = ,P(A| B )= = , 8+1 9 8+1 3

- 从而 P(A)=P(AB)+P(A B ) - - =P(A|B)P(B)+P(A| B )P( B ) 4 2 1 1 11 = × + × = . 9 3 3 3 27

三.解答题:
4 15.解: (1)从该盒 10 件产品中任抽 4 件,有等可能的结果数为 C10 种, 4 3 其中次品数不超过 1 件有 C8 ? C8C1 种, 2
4 3 C8 ? C8C1 13 2 ? . 4 15 C10

18.解:解:记“第一套通讯设备能正常工作”为事件 A , “第二套通讯设备能正常工作”为 事件 B .由题意知 P( A)=p 3 , P( B)=p 3 ,

P( A)= -p 3 , P( B)= -p 3 . 1 1
(Ⅰ)恰有一套设备能正常工作的概率为

被检验认为是合格的概率为

P( A ? B+A ? B) ? P( A ? B)+P( A ? B) .
? p 3 (1 ? p 3 ) ? (1 ? p 3 ) p 3 ? 2 p 3 ? 2 p 6 .
(Ⅱ)方法一:两套设备都能正常工作的概率为

(2)两次检验是相互独立的,可视为独立重复试验,因两次检验得出该盒产品合格的概率均为

13 ,故“两次检验得出的结果不一致”即两次检验中恰有一次是合格的概率为 15 13 13 52 C1 ? ? (1 ? ) ? . 2 15 15 225 13 52 答:该盒产品被检验认为是合格的概率为 ;两次检验得出的结果不一致的概率为 . 15 225
16.(1)三种电路各自接通分别记为事件 A1 、 A2 、 A3 ,则:

P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? p 6 .
至少有一套设备能正常工作的概率,即能进行通讯的概率为

P( A ? B+A ? B)+ P( A ? B)
? 2 p3 ? 2 p 6 ? p 6 ? 2 p 3 ? p 6 .
方法二:两套设备都不能正常工作的概率为

P( A1 ) ? m 3 ; P( A2 ) ? 1 ? (1 ? m)3 ? 3m ? 3m 2 ? m 3 ;

P( A3 ) ? 2(1 ? m)m2 ? m3 ? 2m2 ? m3
(2) P( A2 ) ? P( A1 ) ? 3m ? 3m ? 3m(1 ? m) ? 0 ,? P ( A2 ) ? P ( A1 )
2

P( A ? B) ? P( A) ? P(B) ? (1 ? p 3 ) 2 .
至少有一套设备能正常工作的概率,即能进行通讯的概率为

P( A2 ) ? P( A3 ) ? 2m 3 ? 5m 2 ? 3m ? m(2m ? 3)(m ? 1) ? 0 ,? P( A2 ) ? P( A3 )
三个电子元件并联接通的概率最大,故性能最优. 17.解:设事件 A={抽中签 A},事件 B={抽中签 B},则 A、B 互斥,且 P ( A) ?

1 ? P( A ? B) ? 1 ? P( A) ? P(B) ? 1 ? (1 ? p 3 ) 2 ? 2 p 3 ? p 6 .
7 3 , P( B) ? ; 10 10
答:恰有一套设备能正常工作的概率为 2 p3 ? 2 p6 ,能进行通讯的概率为 2 p3 ? p 6 .

事件 C={回答 A 袋中题目正确},事件 D={回答 B 袋中题目正确},则 C、D 互斥,且

1 8 4 P(C ) ? , P( D) ? ? .显然,事件 A ? C 与事件 B ? D 互斥,且事件 A 与 C 是相互独立 2 10 5
的 ,B 与 D 也 是 相 互 独 立 的 , 所 以 试 验 成 功 的 概 率

为: P ? P ( A ? C ? B ? D ) ? P ( A ? C ) ? P ( B ? D ) ? P ( A) P (C ) ? P ( B ) P ( D ) ? 答:本次试验成功的概率为

59 100

59 . 100

备选题: 9.(文)(07·山东)设集合 A={1,2},B={1,2,3},分别从集合 A 和 B 中随机取一个数 a 和 b, 确定平面上的一个点 P(a,b),记“点 P(a,b)落在直线 x+y=n 上”为事件 Cn(2≤n≤5,

[答案] D [解析] 设甲在第 x 天到达某地,乙在第 y 天到达某地,则依题意总事件为

0≤x≤10,0≤y≤10 而能会面即|x-y|≤3,由几何概型知所求概率 1 2 100-2× ×7 2 51 P= = . 100 100

n∈N),若事件 Cn 的概率最大,则 n 的所有可能值为
A.3 [答案] D B.4 C.2 和 5 D.3 和 4

(

)

[解析] 所有可能的点 P 为(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3);点 P(a,b)落 在直线 x+y=n 上(2≤n≤5)为事件 Cn, n=2 时, 点可为(1,1); n=3 时, 点可能是(1,2), ∴ P 当 P (2,1);当 n=4 时,P 点可能是(1,3),(2,2);当 n=5 时,P 点可为(2,3),故事件 C3、C4 的概 率最大.

10. (文)若区域 M={(x, )||x|+|y|≤2}, y 在区域 M 内的点的坐标为(x, ), x -y ≥0 y 则 的概率是 A. 1 6 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 ( )

2

2

11.连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n,向量 a=(m,n)和向量 b=(1,-1)的夹角为 θ ,则 θ 为锐角的概率是 A. 5 6 B. 1 6 C. 7 12 D. 5 12 ( )

[答案] C [解析] 区域 M 是以(-2,0),(2,0),(0,-2),(0,2)为顶点的正方形,如图所示,其 中满足 y ≤x 的是直线 y=x 和 y=-x 所夹的包含(-2,0),(2,0)的两块区域即阴影部分,这 1 个区域的面积恰好是区域 M 面积的一半,故所求的概率为 . 2
2 2

[答案] D [解析] ∵夹角 θ 为锐角,∴? 又∵m,n∈{1,2,3,4,5,6}, ∴满足条件的结果数为 15. 而连掷两次骰子得到的结果数为 36, 5 ∴满足条件的概率是 . 12
? ?m-n>0 ?m≠-n ?



(理)甲、乙两人相约 10 天之内在某地会面,约定先到的人等候另一个人,经过 3 天以后 方可离开,若它们在限期内到达目的地的时间是随机的,则甲、乙两人能会面的概率为 ( A. C. 3 10 49 100 B. D. 7 10 51 100 )

11







(1 ? 3x) 7 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a7 x 7 , 则 | a0 | ? | a1 | ? | a2 | ??? | a7 |?
. 11.4
7

把一枚骰子投掷 2 次,观察出现的点数,记第一次出现的点数为 a,第二次出现的点数为

b,则方程组{ax+by=3?x+2y=2 只有一个解的概率为________.

[答案]

11 12

13.在大小相同的 6 个球中,有 2 个红球,4 个白球,若从中任意选取 3 个,则所选的 3 个球 中至少有 1 个红球的概率是 .(结果用分数表示)13.

[解析] 点(a,b)取值的集合共有 6×6=36 个元素.方程组只有一个解等价于直线 ax+

4 5

a b by=3 与 x+2y=2 相交,即 ≠ ,即 b≠2a,而满足 b=2a 的点只有(1,2),(2,4),(3,6)3 个,
1 2 33 11 故方程组{ax+by=3?x+2y=2 ,只有一个解的概率为 P= = . 36 12 在矩形 ABCD 中,AB=2,AD=3,如果在该矩形内随机取一点 P,那么使得△ABP 与△CDP 的面 积都不小于 1 的概率为 3 A. 4 [答案] D [分析] 欲使△ABP 与△CDP 的面积都不小于 1,因为 AB=CD=2,故应使 P 到 AB、CD 的 距离都大于 1. [解析] 取 AD 的三等分点 E′、F′,取 BC 的三等分点 E、F,连接 EE′、FF′,如图所 示. 因为 AD=3,所以可知 BE=EF=FC=AE′=E′F′=F′D=1.又 AB=2,所以当点 P 落在 线段 EE′上时,△ABP 的面积等于 1,当点 P 落在线段 FF′上时,△CDP 的面积等于 1,从而 可知当点 P 落在矩形 EE′F′F 内(包括边界)时△ABP 与△CDP 的面积均不小于 1,故可知所求 1 的概率为 . 3 2 B. 3 1 C. 2 ( 1 D. 3 )

(理)已知实数 a、b∈{-2,-1,1,2}. (1)求直线 y=ax+b 不经过第四象限的概率; (2)求直线 y=ax+b 与圆 x +y =1 有公共点的概率. [解析] 由于实数对(a,b)的所有取值为:(-2,-2),(-2,-1),(-2,1),(-2,2), (-1,-2),(-1,-1),(-1,1),(-1,2),(1,-2),(1,-1),(1,1),(1,2),(2,- 2),(2,-1),(2,1),(2,2),共 16 种. 设“直线 y=ax+b 不经过第四象限”为事件 A, “直线 y=ax+b 与圆 x +y =1 有公共点” 为事件 B. (1)若直线 y=ax+b 不经过第四象限,则必须满足{a≥0?b≥0 , ∴满足条件的实数对(a,b)的取值为:(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),共 4 种. 4 1 ∴P(A)= = . 16 4 (2)若直线 y=ax+b 与圆 x +y =1 有公共点,则必须满足
2 2 2 2 2 2

|b|

a2+1

≤1,即 b ≤a +1.

2

2

若 a=-2,则 b 的值可以为-2,-1,1,2,此时实数对(a,b)有 4 种不同取值; 若 a=-1,则 b 的值可以为-1,1,此时实数对(a,b)有 2 种不同取值; 若 a=1,则 b 的值可以为-1,1,此时实数对(a,b)有 2 种不同取值; 若 a=2,则 b 的值可以为-2,-1,1,2,此时实数对(a,.b)有 4 种不同取值. ∴满足条件的实数对(a,b)共有 12 种不同取值, 12 3 ∴P(B)= = . 16 4

12.把 13 个乒乓球运动员分成 3 组,一组 5 人,另两组各 4 人,但 3 个种子选手每组要选派 1 人,则不同的分法有 12.12600 种 提示: A3 C10
3 4

种. (结果用数字表示)
3 3 ? C6 ? C6 ? 2 ? 12600 种


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