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《线性代数》基本复习题1


基本复习题

(每小题 2 分, 在你认为正确的结论后面的括号内打“√” ,否则打“×”.) 一、判断题: 判断题: 1.把三阶行列式的第一列减去第二列, 同时把第二列减去第一列, 这样得到的新行列式 与原行列式相等,亦即 a 1 b1 c 1 a 1 ? b1 b1 ? a 1 c 1 a 2 b2 c 2 = a 2 ? b2 b2 ? a 2 c 2 . (× ) × a 3 b3 c 3 a 3 ? b3 b3 ? a 3 c 3 2.设 A, B, C 都是 n 阶矩阵,且 ABC = E ,则 CAB = E . 3.齐次线性方程组一定有解. (√) √ (√ ) √

4.方程组(λE ? A)x = 0 的解向量都是矩阵 A 的属于特征值 λ 的特征向量. (× ) × 5.若一个行列式等于零,则它必有一行(列)元素全为零,或有两行(列)元素完全相 同,或有两行(列)元素成比例. (× ) × 6.若矩阵 A, B, C 满足 AB = AC ,且 A ≠ O ,则 B = C . (× ) ×

7.若齐次线性方程组方程的个数少于未知量的个数,则此方程组一定有非零解. (√ ) √ 8.若矩阵 A 与矩阵 B 相似,则 r( A) = r( B ). (√ ) √

(每小题 3 分, 在每小题给出的选项中,只有一项是正确的,把所选项 二、单项选择题: 单项选择题: 前的字母填在该题括号内.) 1. n 阶行列式
0 0 L n L 0 1 L 2 0 L L L L 0 0
n(n ?1) 2 n! (n ?1)(n ? 2 ) 2 n!

的值为 A. ? n ! 2. n 阶行列式
0 0 L n ?1 0 L 0 1 0 L 2 0 0 L L L L L 0 0 0 L 0 0 n
n(n ?1) 2 n!

B. n !

C. (?1)

D. (?1)

( C )

的值为

A.(?1)n n !

B.(?1)n +1 n !

C.(?1)

D.(?1)

(n ?1)(n ? 2 ) 2 n!

( D )

3. n 阶行列式

a b 0 0 a b Dn = L L L 0 0 0 b 0 0
的值为 A. a C. a
n

L 0 0 L 0 0 L L L L a b L 0 a

+ bn ;
+ (?1)n + 1b n ;

B. a

n

? bn ;
( C )

n

D. n(a + b ).

4.设 A = (a i j )s ×n , B = (bi j )m ×s ,则 A. BA 是 n × m 矩阵; C. BA 是 s × s 矩阵; 5.设 B. BA 是 m × n 矩阵; D. BA 未必有意义. ( D )

b12 b13 ? ?b B = ? 11 ?, ? b 21 b 22 b 23 ?
A、 都是方阵,且 ABC 有意义. 则 C
A. A、C 都是二阶方阵; C. A 、 C 都是三阶方阵; B. A、 分别是二、三阶方阵; C D. A 、 C 分别是三、二阶方阵. ( B )

6.设 A 、 B 为 n 阶对称阵且 B 可逆,则下列矩阵中为对称阵的是 A. AB ?1 ? B ?1 A ; C. B ?1 AB ; B. AB ?1 + B ?1 A ; D. ( AB ) .
2

( B )

?1 a a 2 ? ? ? 7.矩阵 ?1 b b 2 ? 的秩为 3 的充分条件为 ?1 c c 2 ? ? ?
A. a 、 b 、 c 都不等于 1; C. a 、 b 、 c 互不相等; B. a 、 b 、 c 都不等于 0; D. a = b = c . ( C )

8.设 A 为 3 阶方阵, R( A) = 1 ,则

A. R(A ) = 3 ; C. R(A ) = 1 ;
?

?

B. R(A ) = 2 ; D. R(A ) = 0 .
?

?

( D

)

9.设 A, B,C 均为 n 阶矩阵,且 ABC = E . 下面式子:
⑴ BCA = E , 中,一定成立的是 A.⑴⑶ ⑵ BAC = E , ⑶ CAB = E , ⑷ CBA = E

B.⑵⑶

C.⑴⑷

D.⑵⑷

( A

)

10.设 A 是 n 阶方阵,且 A s = O ( s 为正整数),则( E ? A)?1 等于 1 A. B. E ? A ?1 C. A + A 2 + L + A s D. E + A + L + A s ?1 E?A

(D

)

11.已知 A 、 B 均为 n 阶方阵,且 A 与 B 相似,若 A = E ,则 B 为
2 2

( C )

A. A C. E

2

B. A D. A2 ? E
( )

12.下列结论正确的是 A.奇异阵经过若干次初等变换可以化为非奇异矩阵 B.非奇异阵经过若干次初等变换可以化为奇异阵 C.非奇异阵等价于单位阵 D.奇异阵等价于单位阵 13.设 A 是 m × n 矩阵,并且方程 Ax = b 有唯一解,则必有 B. r ( A) < n A. r ( A) < m C. r ( A) = m D. r ( A) = n

C



D )

14.已知线性方程组
? a 11 x 1 + a 12 x 2 + L + a 1n x n = b1 ? ? a 21 x 1 + a 22 x 2 + L + a 2n x n = b 2 ? LLLLLLLLLLLLL ? ?a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + L + a nn x n = bn ?
的系数行列式 D = 0 . 把 D 的第一列换成常数项得到的 D1 ≠ 0 ,则此方程组

A.一定有唯一解 C.一定无解

B.一定有无穷多解 D.不能确定是否有解
( C )

15.设由 n 个 n 元方程构成的非齐次线性方程组 Ax = b 的系数行列式等于零, 则此非齐次线 性方程组

A.可能有无穷多解也可能无解

B.有无穷多解

C.无解

D.有唯一解

(A

)

16.向量组 a1 , a 2 , L, a m ( m ≥ 3 )线性无关的充要条件是 A. 存在不全为零的数 k 1 , k 2 , L, k m ,使 k1a1 + k 2 a 2 + L + k m am ≠ 0 ; B. 所给向量组中任意两个向量都线性无关; C. 所给向量组中存在一个向量,它不能用其余向量线性表示; D. 所给向量组中任意一个向量都不能用其余向量线性表示. ( D )

17.已知 ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 是齐次线性方程组 Ax = 0 的基础解系,则基础解系还可选用 B. ξ 1 , 2ξ 1 , ξ 3 A. 0, ξ 2 , ξ 3 C. ξ 1 + ξ 2 , ξ 2 + ξ 3 , ξ 3 + ξ 1 D. ξ 1 ? ξ 2 , ξ 2 ? ξ 3 , ξ 3 ? ξ 1 ( C )

18. n 元非齐次线性方程组 Ax = b 的增广矩阵的秩为 n + 1 ,则此方程组 Ax = b A.有唯一解 B.有无穷多解 C.无解 D.不能确定其解的数量 ( C )

19. 设 A 2 ? 3 A + 2 E = O ,则 A 的特征值 A.至少有一个为 0 C.只能取 1 或 2 B.只能取 ?3 或 2 D.只能取 ?1 或 ?2 ( C )

20.设 A 为三阶矩阵, E 为三阶单位矩阵, A 的三个特征值分别为 1, 2, ? 3 . 则下列矩阵中 是可逆矩阵的是 A. A ? E B. A + E C. A + 3 E D. A ? 2 E
( B )

21.下列矩阵中,不是二次型矩阵的是

( D )

?0 ? A. 0 ? ?0 ? ? 3 ? C. ? 0 ? ?2 ?

0? ? 0 0? ? 0 ?1 ? 0 0 ?2 ? ? 4 6? ? 6 5?

?1 ? B. 0 ? ?0 ? ?1 ? D. 4 ? ?7 ?

0 ?1 0 2 5 8

0? ? 0? ? 2? 3? ? 6? ? 9?

(每小题 3 分) 三、填空题: 填空题:

1.已知 a 1i a 25a 3 j a 41a 5k 是五阶行列式中的一项且带正号,其中 i < j ,则 i=
,j = ,k = .( 2,4,3 )

2.设四阶方阵 A 的秩为 2,则 R(A ) = 3.设 A 是四阶方阵,且 |= |A (3, 3 )
5

?

.( 0) , 3 A ? 4 A |= |
? ?1

1 ,则 |A ?1|= 3

.

4.已知向量 a1 = (1, 2, 3) , a 2 = (2, b, 6)线性无关,则 b 5.已知二次型 f (x , y, z )的矩阵为 2

.( ≠ 4



2 0? ?1 ? 3 ? 5 ? ,则此二次型 ? ? ?0 ? 5 0? ? ?
.

f (x , y , z ) =
( x 2 + 3y 2 + 4 xy ? 10yz ) 6.已知 a 31a 2i a 13a 5k a 44 是五阶行列式中的一项且带负号,则 i = k= .( 2,5) , ?1 = |A |



|| | | 7.设 A 是四阶矩阵. 已知 A = 2 ,则 kA =
|A ?|=
.( 2k ,
2 4



1 ,8) 2
.( A ? E ) .(1)

8.设 A 是方阵,且满足 A ? A ? E = O ,则 A ?1 = 9.一个非齐次线性方程组的增广矩阵的秩比系数矩阵的秩最多大 10.二次型 f (x 1 , x 2 , x 3 ) = 2x 1 + 2x 1 x 2 ? x 2 x 3 的矩阵为
2



? ?2 1 ? ?1 0 ? ? 1 ?0 ? 2 ?

? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 0 ? ?

)

11.四阶行列式 D = det(a i j )中,含有因子 a 11a 23 且冠以正号的项是
( a 11a 23a 34a 42 ) 12.设四阶方阵 A 的秩为 2,则 R( A* ) =
.( x = 2y )
?1

.

.( 0 )

13.设 a1 = (1,1,1)T , a 2 = (x ,0,y )T , a 3 = (1,3, 2)T . 若 a1 ,a 2 , a 3 线性相关,则 x,y
满足关系式

14.已知三阶矩阵 A 的三个特征值分别为 1,2,? 3 ,则 ? 4 A

? A*

.( ?

4 ) 3


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