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函数单调性2


函数的单调性
习题课

复习准备
1、函数单调性的 定义是什么? 对于给定区间D上的函 数f(x),若对于D上的任意两 个值x1,x2,当x1<x2时,都有 f(x1)<(>)f(x2),则称f(x)是D上 的增(减)函数,区间D称为 f(x)的增(减)区间.

复习准备
1、函数单调性的

定义是什么? 2、证明函数单调 性的步骤是什么? 证明函数单调性应该按 下列步骤进行:

第一步:取值
第二步:作差变形

第三步:定号
第四步:判断下结论

复习准备
1、函数单调性的 定义是什么? 2、证明函数单调 性的步骤是什么? 3、现在已经学过的 判断函数单调性有 些什么方法? 数值列表法(不常用), 图象法, 定义法.

题型一:用定义证明函数的单调性
例1、判断函数 3 f(x)=-x +1在(-∞,0) 是减函数,证明如下: 上是增函数还是减函 在(??,)上任取x1 , x2 , 且x1 ? x2 0 数,并证明你的结论; ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( ? x13 ? 1) ? ( ? x2 3 ? 1) 如果x∈(0,+∞), 2 2 ? ( x2 ? x1 )( x1 ? x x2 ? x2 ) 函数f(x)是增函数还是 x2 2 3 2 ? ? ? ( x2 ? x1 )?( x1 ? ) ? x2 ? 减函数?
1

解:f ( x ) ? ? x ? 1在( ??,)上 0
3

证明函数单调性 的问题,只需严格 按照定义的步骤就 可以了.

? 又 ? x 2 ? x1 ? 0,
( x1 ? x2 ) ?
2

2

4

?

3

2 4 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0,即f ( x1 ) ? f ( x2 )

x2 ? 0
2

所以f(x)在(-∞,0)上是减函数.

题型二:图象法对单调性的判断
例2:指出下列函 数的单调区间:
?1 ? y ? x ? 1
2

?2? y ? ?x ? 2 x ? 3
2

题型二:图象法对单调性的判断
例2:指出下列函 数的单调区间:

?1 ? y ?2 ? y

? x ?1
2

? ?x ? 2 x ? 3
2

如果函数的图象 比较好画,我们就 画图象观察——图 象法.

利用图象法求单调区间的时候, 应特别注意某些特殊点,尤其 是图象发生急转弯的地方.用 它们将定义域进行划分,再分 别考察.

题型三:利用已知函数单调性判断
例3:判断函数
y ? ( x ? 2)
2 2

4 解:y ? 1 ? , 2 (x ? 2) ? 4 而当x ? 1 时,u ? ( x ? 2) 为正数且增函数, 4 ? 递减,故原函数 2 (x+2 )? 4 在(1 ? ?)上为减函数. ,
2

x ? 4x

?4

在(1,+∞)上的单调 性.

结论1:y=f(x)(f(x) 恒不为0),与 的单调性相反.

y ?

1 f ( x)

题型三:利用已知函数单调性进行判断
例4:设f(x)在定义域 A上是减函数,试判 断y=3-2f(x)在A上 的单调性,并说明 理由. 结论2: y=f(x)与y=kf(x) 解:y=3-2f(x)在A上是增函数, 因为:

任取x1,x2∈A,且x1<x2,
由f(x)在A上为减函数,所以

f(x1)>f(x2),故-2 f(x1)<-2f(x2) 所以3-2 f(x1)<3-2f(x2)即有

y1<y2,由定义可知,y=3-2f(x) 当k>0时,单调性相同; 在A上为增函数. 当k<0时,单调性相 反.

题型三:利用已知函数单调性进行判断
结论3:若f(x)与g(x)在 R上是增函数,则 f(x)+g(x)也是增函 数. 结论5:若f(x)(其中 f(x)>0)在某个区间上 为增函数,则
n

结论4:若f(x) 在R上是增函数, g(x)在R上是减函数,则 f(x) -g(x)也是增函数. 结论6:复合函数f[g(x)]由 f(x)和g(x)的单调性共同决 定.它们之间有如下关系: f(x) g(x)

f ( x) , f ( x)

n

(n ? 1)

也是增函数.

f[g(x)]

题型三:利用已知函数单调性进行判断
练习:求函数
f (x) ? x ? x?6
2

答案: (-∞, -3]单减区间 [2,+∞)单增区间

的单调区间.

注意:求单调区间时,一定 要先看定义域.

题型四:函数单调性解题应用
例1:已知函数 y=x2-2ax+a2-1在 (-∞,1)上是减函数, 求a的取值范围.
解:y ? x ? 2ax ? a ? 1
2 2

的减区间是(-?,a ], 显然,(-?, ? 1) (-?,a ], 即a ≥ 1

练习:如果 f(x)=x2-(a-1)x+5 在区间(0.5,1) 上是增函数,那么 f(2)的取值范围是什 么? 答案:[7,+∞)

解此类由二次函数单调性求 参数范围的题,最好将二次 函数的图象画出来,通过图 象进行分析,可以将抽象的 问题形象化.

题型四:利用函数单调性解题
例2:已知x∈[0,1], 则函数
y ? 2x ? 2 ? 1? x
解:令f ( x ) ? g( x ) ? 1 ? x则 2x ? 2

的最大值为_______ 最小值为_________ 利用函数的单调性 求函数的值域,这是 求函数值域和最值的 又一种方法.

f ( x )是[0,1]上的增函数, g ( x )是[0,1]上的减函数 ? y ? f ( x ) ? g ( x )是[0,1] 上的增函数, ? 当x ? 0时,ymin= 2-1 当x ? 1时,ymax ? 2

题型四:利用函数单调性解题
f 例3:已知:f(x)是定义 解:依题意, ( x ? 1) ? 在[-1,1]上的增函数, 可转化为不等式组 且f(x-1)<f(x2-1) ? ?1? x ?1? 1 求x的取值范围. ? 2 ?1? x ?1? 1 ? ? x ? 1 ? x2 ? 1 注: 在利用函数的 ? 单调性解不等式的 ? 0? x? 2 时候,一定要注意 ? 2 定义域的限制. ?? 0 ? x ? 2 保证实施的是等价 ? x ? 0或x ? 1 ? 转化. f ( x ? 1)
2

?1 ? x ?

2

题型四:利用函数单调性解题
例4:已知f(x)在其定 解: f ( xy ) ? f ( x ) ? f ( y ) ? 义域R+上为增函数, ? f (4) ? f (2) ? f (2) ? 2 f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y) ? f (8) ? f (4) ? f (2) ? 3 解不等式 2 f(x)+f(x-2) ≤3 又 f ( x ) ? f ( x ? 2) ? f ( x ? 2 x )
解此类题型关 键在于充分利用题 目所给的条件,本 题就抓住这点想办 法构造出f(8)=3,这 样就能用单调性解 不等式了.
由题意有 f ( x ? 2 x ) ? f ( 8 )
2

? f ( x )为 R 上的增函数 x ? 0 ? ? ?? x?2? 0 ?x2 ? 2x ? 8 ?



解得 x ? ? 2, ? 4

题型五:复合函数单调区间的求法
例1:设y=f(x)的单 增区间是(2,6), 求函数y=f(2-x)的 单调区间.
解:令t ( x ) ? 2 ? x , 则由已知得 f ( t )在t ? 2, ( 6)上是增函数, 而t ( x ) ? 2 ? x ? 2, ( 6) ?x? (-4, 0) 又t ( x ) ? 2 ? x在x ? ( ?4,0)上 是单减的, 由复合函数单调性可知 , f ( 2 ? x ) ? f [ t ( x )]在x ? (-4, 0) 上是单调递减的。
? f (2 ? x )的单减区间是(-, 4 0)

小结
1、怎样用定义证 明函数的单调性? 2、判断函数的单 调性有哪些方法? 3、与单调性有关 的题型大致有哪 些? 取值 作差

变形
定号 下结论

小结
1、怎样用定义证 明函数的单调性? 2、判断函数的单 调性有哪些方法? 3、与单调性有关 的题型大致有哪 些? 1、定义法 2、图象法 3、利用已知函数的单调 性,通过一些简单结论、 性质作出判断。

4、利用复合函数单调 性的规则进行判断。

小结
1、怎样用定义证 明函数的单调性? 2、判断函数的单 调性有哪些方法? 3、与单调性有关 的题型大致有哪 些? 1、已知单调性,求参数范 围。(有时候需要讨论) 2、利用函数单调性求函 数的值域或最值。 3、利用单调性求解不等 式。(重在转化问题)

4、求函数单调区间的题 型(包括求复合函数单调 区间)


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