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河南省洛阳市第二外国语学校2013届高三高考数学闯关密练特训2-5对数与对数函数试题


2-5 对数与对数函数
1.(2011·广东高州市大井中学模拟)函数 y= A.(-4,-1) C.(-1,1) [答案] C
? ?x+1>0, [解析] 要使函数有意义,须? 2 ?-x -3x+4>0, ? ? ?x>-1, ∴? ? ?-4<x<1,

ln?

x+1? 的定义域为( -x -3x+4
2

)

B.(-4,1) D.(-1,1]

∴-1<x<1. )

2.函数 y=log2|x|的图象大致为(

[答案] C [解析] 由|x|=1 时,y=0 排除 A、B;由 x>0 时,y=log2x 为增函数,排除 D,选 C. 3.定义在 R 上的奇函数 f(x)满足:当 x>0 时,f(x)=2012 +log2012x,则方程 f(x)=0 的实根的个数为( A.1 [答案] C [解析] 当 x>0 时,f(x)=0 即 2012 =-log2012x,在同一坐标系下分别画出函数 f1(x) =2012 ,f2(x)=-log2012x 的图象(图略),可知两个图象只有一个交点,即方程 f(x)=0 只 有一个实根,又因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以当 x<0 时,方程 f(x)=0 也有一个 实根,又因为 f(0)=0,所以方程 f(x)=0 的实根的个数为 3.
x x x

) B.2 C.3 D.5

?? ? 4.(文)(2011·山东实验中学模拟)已知函数 f(x)=? ?f? ?
log32)的值为( 2 A.- 27 ) B. 1 54

1 ? 3

x

,x≥3,

则 f(2+

x+1? ,x<3,

C.

2 27

D.-54

[答案] B [解析] ∵0<log32<1,∴2<2+log32<3, 1 1 ∴f(2+log32)=f(3+log32)=f(log354)=( )log354= . 3 54 (理)(2012·内蒙古包头模拟)设 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 对? x∈R, 都有 f(x+4) 1 x =f(x), 且当 x∈[-2,0]时,(x)=( ) -1, f 若在区间(-2,6]内关于 x 的方程 f(x)-loga(x 2 +2)=0(a>1)恰有 3 个不同的实数根,则实数 a 的取值范围是( A.(1,2) 3 C.(1, 4) [答案] D [解析] ∵f(x+4)=f(x), f(x)的周期为 4, x∈[0,2]时, x∈[-2,0], f(- ∴ 当 - ∴ B.(2,+∞) 3 D.( 4,2) )

x)=2x-1,又 f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),∴x∈[0,2]时,f(x)=2x-1,依据其周期
性和对称性, 画出 f(x)在(-2,6]上的图象, y=loga(x+2)的图象与 f(x)在(-2,6]上的 当

?a>1, ? 图象恰有 3 个交点时,应有?loga? 6+2? >3, ?loga? 2+2? <3, ?

3 ∴ 4<a<2.

5.(文)(2011·天津文,5)已知 a=log23.6,b=log43.2,c=log43.6,则( A.a>b>c C.b>a>c [答案] B [解析] ∵a=log23.6>1,c=log43.6<1.∴a>c. 又∵c=log43.6>log43.2=b.∴a>c>b. (理)(2011·重庆文,6)设 a=log1 是( ) A.a<b<c C.b<a<c [答案] B [解析] ∵a=log1 1 2 ,b=log1 , 2 3 3 3 B.c<b<a D.b<c<a B.a>c>b D.c>a>b

)

1 2 3 ,b=log1 ,c=log3 ,则 a、b、c 的大小关系 2 3 4 3 3

1 2 ∵y=log1 x 单调递减而 < , 2 3 3 ∴a>b 且 a>0,b>0,又 c<0.故 c<b<a. 6.函数 y=log1 2 5 A.( ,+∞) 2 5 C.(-∞, ) 2 [答案] D 5 2 1 2 2 2 [解析] 由 x -5x+6>0 得 x>3 或 x<2,由 s=x -5x+6=(x- ) - 知 s=x -5x+6 2 4 在区间(3,+∞)上是增函数,在区间(-∞,2)上是减函数,因此函数 y=log1 2 +6)的单调增区间是(-∞,2),选 D.
?2a ,x≤1, ? 7. (2011·北京东城一模)设 f(x)=? 2 ? ?loga? x -1? ,x>1,
x

(x -5x+6)的单调增区间为(

2

)

B.(3,+∞) D.(-∞,2)

(x -5x

2

且 f(2 2)=1, f[f(2)] 则

=________. [答案] 6 [解析] ∵f(2 2)=loga[(2 2) -1]=loga7=1, ∴a=7. 又 f(2)=log73<1,∴f(f(2))=2×7log73=2×3=6. 8.已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且 f(1-x)=f(1+x),当 x∈[0,1]时,
2

f(x)=2x-1,则 f(2011)+f(2012)的值为________.
[答案] -1 [解析] ∵f(1+x)=f(1-x),∴f(x+2)=f(-x)=-f(x),∴f(x+4)=f(x).即

f(x)是周期为 4 的周期函数,∴f(2011)+f(2012)=f(3)+f(0)=f(-1)+f(0)=20-1-
(2 -1)=-1. [点评] (1)一般地,若 f(x)满足 f(a+x)=f(a-x),则 f(x)的图象关于直线 x=a 对 称,且可变形为 f(x+2a)=f(-x).如果同时知道 f(x)为奇函数(或偶函数),则利用奇偶 性可得出 f(-x)=±f(x),从而可知 f(x)为周期函数且可得出其周期. (2)本题将指数函数求值与函数的周期性、 奇偶性融为一体, 这是高考命题的常见模式.
1

?log3x,x>0, ? 9. (文)已知函数 f(x)=? 1 x ?? 3? ,x≤0, ?

那么不等式 f(x)≥1 的解集为________.

[答案] {x|x≤0 或 x≥3}
? ?x>0, f(x)≥1 化为? ?log3x≥1, ?

[解析]

?x≤0, ? 或? 1 x ?? 3? ≥1, ?

∴x≥3 或 x≤0. (理)(2011·浙江省宁波市“十校联考”)设 a>0,a≠1,函数 f (x)=ax +x+1 有最大 值,则不等式 loga(x-1)>0 的解集为________. [答案] {x|1<x<2} 1 2 3 3 2 [解析] ∵t=x +x+1=(x+ ) + ≥ , 2 4 4
2

f(x)=ax2+x+1 有最大值,∴0<a<1,
∴不等式 loga(x-1)>0 化为 0<x-1<1, ∴1<x<2. 10.(文)已知函数 f(x)=loga(1-x)+loga(x+3)(a>0,且 a≠1). (1)求函数 f(x)的定义域和值域; (2)若函数 f(x)有最小值为-2,求 a 的值.
?1-x>0, ? [解析] (1)由? ? ?x+3>0,

得-3<x<1,

所以函数的定义域为{x|-3<x<1}.

f(x)=loga[(1-x)(x+3)],
设 t=(1-x)(x+3)=4-(x+1) , 所以 t≤4,又 t>0,则 0<t≤4. 当 a>1 时,y≤loga4,值域为{y|y≤loga4}, 当 0<a<1 时,y≥loga4,值域为{y|y≥loga4}. (2)由题意及(1)知:当 0<a<1 时,函数有最小值, 1 所以 loga4=-2,解得 a= . 2 (理)已知函数 f(x)=loga(a -1)(a>0 且 a≠1). (1)证明函数 f(x)的图象在 y 轴的一侧; (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)是 f(x)图象上两点,证明直线 AB 的斜率大于 0. [解析] (1)由 a -1>0,得 a >1. 当 a>1 时,解得 x>0,此时 f(x)的图象在 y 轴右侧; 当 0<a<1 时,解得 x<0,此时 f(x)的图象在 y 轴左侧. ∴对 a>0 且 a≠1 的任意实数 a,f(x)的图象总在 y 轴一侧. (2)①当 a>1 时,x>0,由 0<x1<x2 得,1<ax1<ax2,
x x x
2

∴0<ax1-1<ax2-1,即

ax2-1 >1. ax1-1

∴f(x2)-f(x1)=loga(ax2-1)-loga(ax1-1) =loga

ax2-1 >0. ax1-1 f? x2? -f? x1? >0. x2-x1

直线 AB 的斜率 kAB=

②当 0<a<1 时,由 x1<x2<0 得,

ax1>ax2>1,f(x2)-f(x1)>0.
同上可得 kAB>0. 能力拓展提升 11.(2011·安徽省淮南市模拟)若 x∈(e A.c>b>a C. a>b>c [答案] D [解析] ∵x∈(e 1
-1, -1,

1 lnx lnx 1),a=lnx,b=( ) ,c=e ,则( 2 B.b>a>c D.b>c>a

)

1),∴a=lnx∈(-1,0);

c=elnx=x∈( ,1); e b=( )lnx∈(1,2).
∴a<c<b.
?log2x? x>0? ? 12.(2011·广东省佛山市综合测试)已知函数 f(x)=? x ? ?2 ? x≤0?

1 2

, ,

1 若 f(a)= , 2

则实数 a 等于( A.-1 C.-1 或 2 [答案] C

) B. 2 D.1 或- 2

1 1 a [解析] 当 a>0 时,log2a= ,所以 a= 2,当 a≤0 时,2 = ,所以 a=-1. 2 2
? ?3 ,x≤0, 13.(2011·丹阳一模)已知函数 f(x)=? ?log2x,x>0, ?
x+1

则使函数 f(x)的图象位于直

线 y=1 上方的 x 的取值范围是________. [答案] {x|-1<x≤0 或 x>2} [解析] 由 y>1 得,?
? ?x≤0, ?3 ?
x+1

>1,

或?

? ?x>0, ?log2x>1, ?

∴-1<x≤0 或 x>2. 14.(文)(2012·江南十校联考)已知函数 f(x)是 R 上的单调递增函数且为奇函数,则

f(1)的值________(把所有可能的序号都填上).
①恒为正数; ②恒为负数; ③恒为 0; ④可正可负. [答案] ① [解析] ∵f(x)在 R 上为奇函数,∴f(0)=0, 又∵f(x)在 R 上为增函数, ∴f(1)>f(0)=0. ∴f(1)的值恒为正数. (理)(2011·绍兴一模)已知偶函数 f(x)在[0,+∞)上单调递减,且 f(lgx)=f(1),则

x 的值等于________.
1 [答案] 10 或 10 [解析] ∵f(x)在[0,+∞)上是单调函数,且为偶函数,又 f(lgx)=f(1),∴lgx= 1 ±1,∴x=10 或 . 10 15.(文)已知函数 f(x)=log4 (4 +1)+2kx(k∈R)是偶函数. (1)求 k 的值; (2)若方程 f(x)=m 有解,求 m 的取值范围. [解析] (1)由函数 f(x)是偶函数可知,f(-x)=f(x), ∴log4(4 +1)+2kx=log4(4 +1)-2kx, 即 log4 4 +1 =-4kx, -x 4 +1
x x x
-x

x

∴log44 =-4kx, ∴x=-4kx,即(1+4k)x=0, 1 对一切 x∈R 恒成立,∴k=- . 4 1 x (2)由 m=f(x)=log4(4 +1)- x 2 4 +1 1 x =log4 x =log4(2 + x), 2 2 1 1 x x ∵2 >0,∴2 + x≥2,∴m≥log42= . 2 2 1 故要使方程 f(x)=m 有解,m 的取值范围为[ ,+∞). 2
x

1 2 (理)(2011·金华模拟)设集合 A={x|2(log x) -7log2x+3≤0},若当 x∈A 时,函数 2

x x f(x)=log2 a·log2 的最大值为 2,求实数 a 的值.
2 4 [解析] ∵A={x|2(log2x) -7log2x+3≤0} 1 ={x| ≤log2x≤3}={x| 2≤x≤8}, 2 而 f(x)=(log2x-a)(log2x-2)=(log2x) -(a+2)log2x+2a, 1 令 log2x=t,∵ 2≤x≤8,∴ ≤t≤3. 2 ∴f(x)可转化为 g(t)=t -(a+2)t+2a,其对称轴为直线 t= ①当 t=
2 2 2

a+2
2



a+2 7

3 ≤ ,即 a≤ 时, 2 4 2

[g(t)]max=g(3)=2? a=1,符合题意; ②当 t=

a+2 7
2

3 > ,即 a> 时, 4 2

1 11 [g(t)]max=g( )=2? a= ,符合题意. 2 6 11 综上,a=1,或 a= . 6 16.(文)(2011·南昌模拟)f(x)的定义域为(0,+∞),且对一切 x>0,y>0 都有 f( ) =f(x)-f(y),当 x>1 时,有 f(x)>0. (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的单调性并证明; 1 (3)若 f(6)=1,解不等式 f(x+3)-f( )<2.

x y

x

[解析] (1)∵对任意 x>0,y>0,都有 f( )=f(x)-f(y)成立, ∴令 x=y=1 得,f(1)=f(1)-f (1)=0. (2)设 x1>x2>0,则 >1, ∴f(x1)-f(x2)=f( )>0,∴f(x1)>f(x2), ∴f(x)在(0,+∞)上为增函数. (3)∵f(6)=1,∴f(6)=f( 36 )=f(36)-f(6), 6

x y

x1 x2

x1 x2

∴f(36)=2. 1 ∴不等式 f(x+3)-f( )<2 化为

x

?f? x? x+3? ? <f? 36? , ? ?x>0, ?x+3>0, ?
3 17-3 ∴0<x< . 2

∴?

?x? ?

x+3? <36,

?x>0, ?

(理)(2011·马鞍山市二检)设函数 f(x)=(1+x) -2ln(1+x). (1)若对任意的 x∈[0,1],不等式 f(x)-m≤0 都成立,求实数 m 的最小值; (2)求函数 g(x)=f(x)-x -x 在区间[0,2]上的极值. [解析] (1)设 f(x)在[0,1]的最大值为 f(x)max, 依题意有 f(x)max≤m, 2 2x +4x ∵f ′(x)=2(1+x)- = , 1+x 1+x 当 x∈[0,1]时,f ′(x)≥0,故 f(x)在[0,1]为增函数,
2 2

2

f(x)max=f(1)=4-2ln2,于是 m≥4-2ln2,
即实数 m 的最小值为 4-2ln2. (2)g(x)=f(x)-x -x=1+x-2ln(1+x),
2

g′(x)=1-

2 x-1 = . 1+x x+1

当 x>1 时,g′(x)>0,当-1<x<1 时,g′(x)<0, 故 g(x)在[0,1]上是减函数,在(1,2]上是增函数, 从而 g(x)在[0,2]上的极小值为 g(1)=2-2ln2=ln . 4

e2

1.设 a=lge,b=(lge) ,c=lg e,则( A.a>b>c C.c>a>b [答案] B [解析] ∵1<e<3,∴1< e<e<e <10, 1 ∴0<lge<1.则 lg e= lge<lge,即 c<a. 2 1 1 2 ∵c-b= lge-(lge) = lge(1-2lge) 2 2
2

2

) B.a>c>b D.c>b>a

1 10 = lge·lg 2 >0.∴c>b,故选 B. 2 e 1 x 2.(2011·四川文,4)函数 y=( ) +1 的图象关于直线 y=x 对称的图象大致是( 2 )

[答案] A 1 x 1 x [解析] 解法 1:作 y=( ) 的图象,然后向上平移 1 个单位,得 y=( ) +1 的图象, 2 2 再把图象关于 y=x 对称即可.

解法 2:令 x=0 得 y=2,∴对称图象过点(2,0),排除 C、D;又令 x=-1 得 y=3,∴ 对称图象过点(3,-1),排除 B,故选 A. 3.函数 f(x)=|log1 x|的图象是( 2 )

[答案] A [解析] f(x)=|log1 x|=|log2x| 2

? ?log2x ? x≥1? =? ? ?-log2x ? 0<x<1?

,故选 A.

[点评] 可用筛选取求解,f(x)的定义域为{x|x>0},排除 B、D,f(x)≥0,排除 C,故 选 A.

?1 ?x2 ,x>0, 4.(2012·内蒙古包头模拟)已知函数 f(x)=? ?? 1? ,x≤0, ? 2
x

则 f[f(-4)]=

(

) A.-4 C.4 [答案] C 1 -4 1 [解析] f(-4)=( ) =16,f[f(-4)]=f(16)=16 =4. 2 2 5. (2012·北京市东城区综合练习)函数 y=f(x)与 y=g(x)有相同的定义域, 且都不是 1 B.- 4 D.6

常数函数,对于定义域内的任何 x,有 f(x)+f(-x)=0,g(x)g(-x)=1,且当 x≠0 时, 2f? x? g(x)≠1,则 F(x)= +f(x)为( g? x? -1 A.奇函数非偶函数 B.偶函数非奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 [答案] B [解析] ∵g(x)-1≠0? g(x)≠1? x≠0, y=F(x)的定义域关于坐标原点对称. (x) ∴ F = f(x)[ 2 )

g? x? -1
1

+ 1] = f(x)·

g? x? +1 g? -x? +1 , F( - x) = f( - x)· =- g? x? -1 g? -x? -1

f(x)·

g? x?
1

g? x?

+1 1+g? x? g? x? +1 =-f(x)· =f(x)· =F(x), y=F(x)是偶函数. ∴ 又 1-g? x? g? x? -1 -1

由于 y=f(x)和 y=g(x)都不是常数函数,∴f(x)不恒为 0,g(x)不恒为-1,即 F(x)不恒为 0,所以 F(x)不是奇函数,故选 B. 6.方程 log3(x -10)=1+log3x 的解是________. [答案] x=5 [解析] 原方程化为 log3(x -10)=log3(3x),由于 y=log3x 在(0,+∞)上严格单增,
2 2

则 x -10=3x,解之得 x1=5,x2=-2.∵要使 log3x 有意义,应有 x>0,∴x=5. 7.(2011·上海交大附中月考)函数 f(x)=lg(x+ -6)( a∈R)的值域为 R,则实数 a 的取值范围是________. [答案] (-∞,9] [解析] ①a≤0 时,x+ -6 能取遍一切正数, ∴f(x)的值域为 R; ②a>0 时,要使 f(x)的值域为 R,应使 x+ -6 可以取到所有正数,故 x>0 时,x+ - 6 的最小值 2 a-6≤0,∴0<a≤9,综上 a≤9.

2

a x

a x

a x

a x


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