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广东省广州市重点学校备战2017高考数学一轮复习 三角函数试题精选15


三角函数 15
? x1. 已知函数 f(x)=3sin(
x ? [0,

?
6

)( ? >0)和 g(x)=2cos (2x+? )+1 的图象的对称轴完全相同。若


?
2

] ,则 f(x) 的取值范围是
3 2

r />
【答案】 [- ,3] 【解析】由题意知, ? ? 2 ,因为 x ? [0,

?
2

] ,所以 2x-

?
6

? [-

? 5?
6 , 6

] ,由三角函数图象知:

f(x) 的最小值为 3sin (-

?

3 3 ? )=- ,最大值为 3sin =3 ,所以 f(x) 的取值范围是 [- ,3] 。 2 6 2 2

2.定义在区间 ? 0 ,

? ?

??

? 上的函数 y=6cosx 的图像与 y=5tanx 的图像的交点为 P,过点 P 作 PP1⊥ 2?

x 轴于点 P1,直线 PP1 与 y=sinx 的图像交于点 P2,则线段 P1P2 的长为_______▲_____。 解析] 考查三角函数的图象、数形结合思想。线段 P1P2 的长即为 sinx 的值,

2 2 。线段 P1P2 的长为 3 3 b a t a n Ct a n ? 3.在锐角三角形 ABC, A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, ? ? 6 cos C , 则 a b t a n At a n
且其中的 x 满足 6cosx=5tanx,解得 sinx= ▲_____。

C =____ B

解析] 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用,等价转化思想。一题多解。

-1-

4.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cos 2C ? ? (I)求 sinC 的值; (Ⅱ)当 a=2, 2sinA=sinC 时,求 b 及 c 的长.

1 4

解析:本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识,同事考查运算求解能力。 (Ⅰ)解:因为 cos2C=1-2sin C= ?
2

1 ,及 0<C<π 4

所以 sinC=

10 . 4
a c ? ,得 sin A sin C

(Ⅱ)解:当 a=2,2sinA=sinC 时,由正弦定理 c=4 由 cos2C=2cos C-1= ?
2

1 ,J 及 0<C<π 得 4

cosC=±

6 4
2 2 2

由余弦定理 c =a +b -2abcosC,得 b ± 6 b-12=0
2

解得 所以

b= 6 或 2 6 b= 6 c=4 或 b= 6 c=4

5.

?ABC 中, D 为边 BC 上的一点, BD ? 33 , sin B ?

5 3 , cos ?ADC ? ,求 AD . 13 5

【命题意图】本试题主要考查同角三角函数关系、两角和差公式和正弦定理在解三角形中的 应用,考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况.

-2-

6.在△ABC 中,a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边,且

2asin A ? (2a ? c)sin B ? (2c ? b)sin C.
(Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)求 sin B ? sin C 的最大值.

-3-

7.

?? ? ?? ? f ? x ? ? ?1 ? cot x ? sin 2 x ? m sin ? x ? ? sin ? x ? ? 4? ? 4 ?。 ? 已知函数
? ? 3? ? , ? ? f ? x? 8 4 ? 上的取值范围; ? (1) 当 m=0 时,求 在区间
(2) 当 tan a ? 2 时,

f ?a? ?

3 5 ,求 m 的值。

【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、已知三角函数值求值问题。依托三 角函数化简,考查函数值域,作为基本的知识交汇问题,考查基本三角函数变换,属于中等 题. 解: (1)当 m=0 时, f ( x) ? (1 ?

cos x 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ) sin 2 x ? sin 2 x ? sin x cos x ? sin x 2

1 ? ? 3? ? 2 ? [ 2 sin(2 x ? ) ? 1] ,由已知 x ? [ , ] ,得 2 x ? ? [? ,1] 2 4 8 4 4 2
从而得: f ( x ) 的值域为 [0, (2) f ( x) ? (1 ?

1? 2 ] 2

cos x ? ? ) sin 2 x ? m sin( x ? ) sin( x ? ) sin x 4 4 1 1 化简得: f ( x) ? [sin 2 x ? (1 ? m) cos 2 x] ? 2 2 2sin a cos a 2 tan a 4 3 ? ? , cos 2a ? , 当 tan ? ? 2 ,得: sin 2a ? 2 2 2 sin a ? cos a 1 ? tan a 5 5
代入上式,m=-2. 8.
2 已知函数 f (x) ? 2cos 2 x ? sin x ? 4cos x 。

(Ⅰ)求 f ? ( ) 的值;

?

3

(Ⅱ)求 f (x) 的最大值和最小值。

-4-

9. 1 证明两角和的余弦公式 C? ?? : cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin? sin ? ; (Ⅰ)○ 2 由 C? ? ? 推导两角和的正弦公式 S? ?? : sin( ? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos ? sin ? . ○ (Ⅱ)已知△ABC 的面积 S ?

? ???? 1 ??? 3 , AB ? AC ? 3 ,且 cos B ? ,求 cosC. 5 2

本小题主要考察两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系等基础知识及运 算能力。 解:(1)①如图,在执教坐标系 xOy 内做单位圆 O,并作出角 α 、β 与-β ,使角 α 的始边 为 Ox,交⊙O 于点 P1,终边交⊙O 于 P2;角 β 的始边为 OP2,终边交⊙O 于 P3;角-β 的始边 为 OP1,终边交⊙O 于 P4. 则 P1(1,0),P2(cosα ,sinα )

P3(cos(α +β ),sin(α +β )),P4(cos(-β ),sin(-β ))
由 P1P3=P2P4 及两点间的距离公式,得

cos(α +β )-1]2+sin2(α +β )=cos(-β )-cosα ]2+sin(-β )-sinα ]2
展开并整理得:2-2cos(α +β )=2-2(cosα cosβ -sinα sinβ ) ∴cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ .……………………4 分

-5-

又 sin A+cos A=1,∴sinA= 由题意,cosB=

2

2

10 3 10 ,cosA= 10 10

3 4 ,得 sinB= 5 5

∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=

10 10 10 …………………………12 分 10

故 cosC=cosπ -(A+B)]=-cos(A+B)=- 10.

已知函数 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2cos2 x ?1( x ? R) (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及在区间 ? 0,

? ?? 上的最大值和最小值; ? 2? ?

(Ⅱ)若 f ( x0 ) ?

6 ?? ? ? , x0 ? ? , ? ,求 cos 2 x0 的值。 5 ?4 2?

-6-

(Ⅱ)解:由(1)可知 f ( x0 ) ? 2sin ? 2 x0 ?

? ?

??
? 6?

又因为 f ( x0 ) ?

6 ?? 3 ? ,所以 sin ? 2 x0 ? ? ? 5 6? 5 ?

由 x0 ? ?

? ? 2? 7? ? ?? ? ? , ? ,得 2 x0 ? ? ? , ? 6 ? 3 6 ? ?4 2?
? ?

从而 cos ? 2 x0 ? 所以

??

?? 4 2? ? ? ? 1 ? sin ? 2 x0 ? ? ? ? 6? 6? 5 ?

?? ?? ?? ?? ? ? ? ? 3? 4 3 ? ? cos 2 x0 ? cos ?? 2 x0 ? ? ? ? ? cos ? 2 x0 ? ? cos ? sin ? 2 x0 ? ? sin ? 6 ? 6? 6? 6 6? 6 10 ? ? ??

-7-


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