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安徽省安庆市2012-2013学年上学期期末测试C卷高一数学(必修1、必修2)


安庆市 2012-2013 学年度第一学期期末调研检测

高一数 学 试 题
C 卷:人教版必修 1、必修 2
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1. 已知全集 U ? ?0,1, 2,3, 4? ,集合 A ? ?1, 2,3? , B ? ?2, 4? ,则 B ?

CU A 为( A. ?1, 2, 4? B. ?2,3, 4? C. ?0, 2, 4? D. ?0, 2,3, 4? ) )

2. 下列函数中,既是奇函数又是增函数的为(
A . y ? x ?1 B. y ? ? x3 C .y?

1 D . y ? x| x| x 3. 如图,在空间直角坐标系中,正方体 ABCD? A B1C1D1 的棱长为 1 , 1 1 B1E ? A1B1 ,则点 E 的坐标为( ) 4 1 ? ? 1 ? ? 3 ? ? 1 ? ? A. ?1, ,1? B. ?1, ,1? C. ?1, , ?1? D. ? ?1, ,1? 4 ? ? 4 ? ? 4 ? ? 4 ? ? 4. 直线 l 与直线 y = 1 ,直线 x = 7 分别交于 P, Q 两点, PQ 中点为
M (1, - 1) ,则直线 l 的斜率是(
A、 ) C、 -

1 3

B、

2 3

1 3

D、 )

3 2
2 3 正视图 2 侧视图 2 俯视图

5.若某多面体的三视图如图所示,则此多面体的体积是( A.2 B.4 C.6 D. 12

6. 已知 log7 [log3 (log2 x)] ? 0 ,那么 x

?

1 2

等于(



1 A. 3

3 B. 6

3 C. 3

2 D. 4

7. 直角梯形 ABCD ,如图 1,动点 P 从 B 点出发,由 B→C→D→A 沿边运动,设动 点 P 运动的路程为 x , ?ABP 面积为 f ( x ) ,已知 f ( x ) 图象如图 2,则 ?ABC 面积 为( ) y D C P A 图1 A.10 B.16 B 0 4 图2 C.20 9 14 x D. 32

8. 若 l , m, n 是互不相同的空间直线, ? , ? 是不重合的平面,则下列命题中为真命 题的是 ( ) ,则 l ∥ n B.若 ? ⊥ ? , l ? ? ,则 l ? ? D.若 l ⊥ ? , l ∥ ? ,则 ? ? ?
x

A.若 ? ∥ ? , l ? ? , n ? ? C.若 l ? n , m ? n ,则 l ∥ m 9.

有 如 下 命 题 : ① 若 0 ? a ? 1, 对任意x ? 0, 则a ? 1 ; ② 若 函 数

y ? l o a gx ? ? 1的图象过定点 P(m, n) ,则 logm n ? 0 ;③函数 y ? x ?1 的 ( ) 1
单调递减区间为 (??, 0) ? (0, ??) ,④函数 y ? 2 与 y ? log2 x 互为反函数,
x

其中正确命题的个数为 A. 1 B. 2 10. 设定义在区间 (?b, b) 上的函数 f ( x ) ? lg 则 a 的取值范围是( A. (1, 2 ] B. ?
b

( ) C. 3

D. 4

1 ? ax 是奇函数 a, b ? R, a ? ?2 ) ( , 1 ? 2x

) C. (1, 2 ) C1 D. (0, 2 ) B1

? 2 ? , 2? ? 2 ?

二、填空题 : (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 函数 f ( x) ?

x ? 2 ? lg(4 ? x) 的定义域是

. A1 D

12.如图,在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,已知 AB ? 1,

D 在棱 BB1 上,且 BD ? 1, 则 AD 与平面 AAC1C 所成 1
C B

A

角的正弦值为



13. 已知 a ? log 1 2 , b ? ( ) 2 , c ? ( ) 2 ,则 a, b, c 的大小关系为
3

1 3

1

2 3

1



14. 直线 y ? x ? b 与曲线 x ? 1 ? y 2 有且仅有一个公共点,则 b 的取值范围 是 .

15. 点 P 在正方体 ABCD ? A B1C1D1 的对角线 BC1 上运动,则给出四个结论 1 ① 三棱锥 A ? D1PC 的体积不变 ③ DP ? B1C 其中正确结论的序号是 . ② A1P //平面ACD1 ④ 平面 PDB1 ? 平面ACD1

三、解答题(本题共 6 小题,共 75 分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演 算步骤) 16. (本题满分 12 分) 已知集合 A ? ?x | 3 ? x ? 7?, B ? ?x | 2 ? x ? 10?, C ? ?x | 5 ? a ? x ? a?. (1)求 A ? B , ?R A ? B ; (2)若 C ? ? A ? B ?,求 a 的取值范围. 17. (本题满分 12 分) 已知直线 l 的方程是 y ? ?(a ? 1) x ? 2 ? a(a ? R) . (1)若 l 在两坐标轴上的截距相等,求直线 l 的方程; (2)若 l 与两坐标轴所围成的三角形的面积为 2 ,求直线 l 的方程. 18. (本题满分 12 分) 设 f (? x) ? 2? x ? a ? 2x ( a 是常数). (1)求 f (x) 的表达式; (2)如果 f (x) 是偶函数,求 a 的值; (3)当 f (x) 是偶函数时,讨论函数 f (x) 在区间(0,+∞)上的单调性,并加以证明

?

?

19. (本题满分 13 分) 已知圆 C : x ? y ? 4x ? 14y ? 45 ? 0 ,及点 Q(?2,3) .
2 2

(1) P(a, a ? 1) 在圆上,求线段 PQ 的长及直线 PQ 的斜率;

(2)若 M 为圆 C 上任一点,求 MQ 的最大值和最小值. 20. ( 本 题 满 分 13 分 ) 如 图 , 四 棱 锥 P ? ABCD 的 底 面 为 矩 形 , 且

AB ? 2, BC ? 1 , E , F 分别为 AB , PC 的中点.
(1)求证: EF ∥平面 PAD ; (2)若平面 PAC ⊥平面 ABCD ,求证:平面 PAC ⊥平面 PDE .
D A

P

F

C

E B (第 19 题)

21. (本题满分 13 分) 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况, 在一般情况下,大桥上的车流速度 v (单位:千米/小时)是车流密度 x (单位:辆 /千米)的函数,当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度 为 0 ;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速度为 60 千米/小时,研究表明:当 20 ? x ? 200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (Ⅰ)当 0 ? x ? 200 时,求函数 v(x) 的表达式; (Ⅱ)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数, 单位:辆/小时) f ( x) ? x ? v( x) 可以达到最大,并求出最大值.(精确到 1 辆/小时)

安庆市 2012-2013 学年度第一学期期末调研检测高一数 学 试 题 A 卷:人教版必修 1、必修 2
答案: 一.选择题 . 1 C 11. ?2,4? 2 D 3 B 4 C 5 A D 6 B 7 8 D 9 C A 10

二.填空题.

12.

6 4

13. c ? b ? a 14. ? 1 ? b ? 1 或 b ? ? 2 15. ①②④ 三.解答题. 16. (本题满分 12 分) 解: (1) A ? B ? ?x | 2 ? x ? 10? , 因为 ? A ? x | x ? 3或x ? 7 , R 所以 ? A ? B ? x | 2 ? x ? 3或7 ? x ? 10 . R (2)由(1)知 A ? B ? ?x | 2 ? x ? 10? , ①当 C= ? 时,满足 C ? ? A ? B ?,此时 5 ? a ? a ,得 a ?

?

?

?

?

?

?

5 ; 2

?5 ? a ? a, 5 ? ②当 C≠ ? 时,要 C ? ? A ? B ?,则 ?5 ? a ? 2, 解得 ? a ? 3 . 2 ?a ? 10, ?
由①②得, a ? 3 . 17. (本题满分 12 分) 解:(1)依题意 a+1≠0,∴ ∴a=2,或 a=0,

a-2 =a-2, a+1

∴所求的直线方程是 3x+y=0,或 x+y-2=0. 1?a-2? (2)设所围成的面积为 S,则 S= ? ?|a-2|=2, 2?a+1? ∴(a-2) =4|a+1|,解得 a=8,或 a=0, ∴所求直线方程是 x+y-2=0,或 9x+y+6=0.
2

18. (1) 令 t ? ?x ,则 x=-t,于是 f (t) ? 2t ? ∴ f ( x) ? 2 x ?

a 2t

a 2x a a ? 2 x ? x 对任意 x∈R 恒成立 ?x 2 2

(2)∵f (x)是偶函数,∴ 2 ? x ? 即 ( a ? 1)( 2 ?
x

1 ) ? 0 对任意 x∈R 恒成立 ∴a-1=0,即 a=1 2x
1 ,设 0<x1<x2,则 2x 1 1 1 ? x ) ? (2 x1 ? x ) ? (2 x2 ? 2 x1 )(1 ? x ? x ) 2 1 1 2 2 2 2
1 2
x1 ? x2

(3) 由(2)知 a=1, f ( x) ? 2 x ?

f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? (2 x2

∵x1<x2,且 y ? 2 x 是增函数,∴ 2 x2 ? 2 x1 ,即 2 x2 ? 2 x1 ? 0 ∵0<x1<x2,x1+x2>0,∴ 2
x1 ? x2

?1 ?

?1

故1 ?

1 2
x1 ? x2

?0

∴f (x2)-f (x1)>0,即 f (x2)>f (x1)

∴当 x∈(0,+∞)时,f (x)是增函数. 19. (本题满分 13 分) 解:(1)∵点 P(a,a+1)在圆上, 2 2 ∴a +(a+1) -4a-14(a+1)+45=0, ∴a=4,P(4,5), ∴|PQ|= (4 ? 2) ? ?5 ? 3? =2 10,
2 2

kPQ=

3-5 1 = . -2-4 3
2 2

(2)∵圆心 C 坐标为(2,7),∴|QC|= (2 ? 2) ? ?7 ? 3? =4 2,圆的半径是 2 2,点 Q 在圆外, ∴|MQ|max=4 2+2 2=6 2,

|MQ|min=4 2-2 2=2 2. 20. (本题满分 13 分) 证明: (1)取线段 PD 的中点 M,连结 FM,AM. 1 因为 F 为 PC 的中点,所以 FM∥CD,且 FM= CD. 2 因为四边形 ABCD 为矩形,E 为 AB 的中点, 1 所以 EA∥CD,且 EA= CD. 2 所以 FM∥EA,且 FM=EA. 所以四边形 AEFM 为平行四边形.所以 EF∥AM. 又 AM?平面 PAD,EF?平面 PAD,所以 EF∥平面 PAD. (2)设 AC,DE 相交于 G.

在矩形 ABCD 中,因为 AB= 2BC,E 为 AB 的中点.所以

DA CD = = 2. AE DA

又∠DAE=∠CDA,所以△DAE∽△CDA,所以∠ADE=∠DCA. 又∠ADE+∠CDE=∠ADC=90°,所以∠DCA+∠CDE=90°. 由△DGC 的内角和为 180°,得∠DGC=90°.即 DE⊥AC. 因为平面 PAC⊥平面 ABCD 因为 DE?平面 ABCD,所以 DE⊥平面 PAC, 又 DE?平面 PDE,所以平面 PAC⊥平面 PDE. 21. (本题满分 13 分)

0 0 v 解: (Ⅰ) 由题意当 0 ? x ? 20 时, ?x ? ? 60 ; 20 ? x ? 2 时, v?x ? ? ax ? b , 当 设

1 ? ?a ? ? 3 ?200a ? b ? 0 ? 显然 v?x ? ? ax ? b 在 ?20,200?是减函数,由已知得 ? ,解得 ? ?20a ? b ? 60 ?b ? 200 ? 3 ?
故函数 v?x ? 的表达式为 v?x ? = ? 1

0 ? x ? 20, ?60, ? 20 ? x ? 200. ? 3 ?200 ? x ?, ?

0 ? x ? 20, ?60x, ? (2)依题意并由(1)可得 f ?x ? ? ? 1 20 ? x ? 200. ? 3 x?200 ? x ?, ?
当 0 ? x ? 20 时, f ?x ? 为增函数,故当 x ? 20 时,其最大值为 60 ? 20 ? 1200 ;

1 10000 x ? 200 ? x ? ? , 3 3 10000 即 x ? 100 时, f ?100 ? ? . 3
当 20 ? x ? 200 时, f ? x ? ? 所以,当 x ? 100 时, f ?x ? 在区间 ?20,200?上取得最大值

10000 . 3


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