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2016-2017学年高中数学人教A版选修2-2习题:1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)


学业分层习题
(建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.函数 y=(x2-1)n 的复合过程正确的是( A.y=un,u=x2-1 C.y=tn,t=(x2-1)n 【答案】 A ) )

B.y=(u-1)n,u=x2 D.y=(t-1)n,t=x2-1

1-x2 2.若 f(x)= sin x ,则 f(x)的导数是( -2xsin x-?1-x2?cos x A. sin2x B. -2xsin x+?1-x2?cos x sin2 x

-2xsin x+?1-x2? C. sin x D. -2xsin x-?1-x2? sin x f′(x)=

【解析】

?1-x2?′sin x-?1-x?2· ?sin x?′ -2xsin x-?1-x?2cos x = . sin2x sin2x 【答案】 A ) B.ln(2x+5)+ x D. 2x+5 2x 2x+5

3.函数 y=xln(2x+5)的导数为( A.ln(2x+5)- C.2xln(2x+5) 【解析】 x 2x+5

y′=[xln(2x+5)]′=x′ln(2x+5)+

1 x[ln(2x+5)]′=ln(2x+5)+x· · 2x+5 (2x+5)′=ln(2x+5)+ 【答案】 B 2x . 2x+5

4.(2016· 宁波高二检测)函数 f(x)=x+xln x 在(1,1)处的切线方程为( A.2x+y-1=0 C.2x+y+1=0 【解析】 ∵f′(x)=(x+xln x)′ B.2x-y-1=0 D.2x-y+1=0

)

=1+x′ln x+x(lnx)′ =1+ln x+1=2+ln x, ∴f′(1)=2+ln 1=2, ∴函数 f(x)在点(1,1)处的切线方程为 y-1=2(x-1),即 2x-y-1=0. 【答案】 B ) cos x 2 x

5.函数 y=cos 2x+sin x的导数为( A.-2sin 2x+ C.-2sin 2x+ 【解析】 cos x 2 x

B.2 sin 2x+ D.2sin 2x-

sin x 2 x

cos x 2 x

y′=-sin 2x· (2x)′+cos

x· ( x)′

1 1 =-2sin 2x+2· cos x x =-2sin 2x+ 【答案】 二、填空题 6.若曲线 y=xln x 上点 P 处的切线平行于直线 2x-y+1=0,则点 P 的坐 标是________. 【导学号:60030014】 【解析】 1 设 P(x0,y0).∵y=xln x,∴y′=ln x+x· x =1+ln x. A cos x . 2 x

∴k=1+ln x0.又 k=2,∴1+ln x0=2,∴x0=e. ∴y0=eln e=e.∴点 P 的坐标是(e,e). 【答案】 (e,e)

?π? ?π? 7.已知函数 f(x)=f′?2?sin x+cos x,则 f′?4?=________. ? ? ? ?

【解析】

?π? ∵f′(x)=f′?2?cos x-sin x, ? ?

π π ?π? ?π? ∴f′?2?=f′?2?cos 2-sin 2=-1, ? ? ? ? ∴f′(x)=-cos x-sin x, π π ?π? ∴f′?4?=-cos 4-sin 4=- 2. ? ? 【答案】 - 2

8 . (2016·广 州 高 二 检 测 ) 若 函 数 为 y = sin4x - cos4x , 则 y′ = ________________. 【解析】 ∵y=sin4x-cos4x=(sin2x+cos2x)· (sin2x-cos2x)=-cos 2x,

∴y′=(-cos 2x)′=-(-sin 2x)· (2x)′ =2 sin 2x. 【答案】 三、解答题 9.求下列函数的导数. (1)y= 1-2x2;(2)y=esin x; π? ? (3)y=sin?2x+3?;(4)y=5log2(2x+1). ? ? 【解】 (1)设 y=u2,u=1-2x2,
1

2sin 2x

1 1 ?1 - ? 则 y′=(u2)′(1-2x2)′=?2u 2?· (-4x) ? ? 1 -2x 1 =2(1-2x2)-2(-4x)= . 1-2x2

(2)设 y=eu,u=sin x, 则 yx′=yu′· ux′=eu· cos x=esin xcos x. π (3)设 y=sin u,u=2x+3, π? ? 则 yx′=yu′· ux′=cos u· 2=2cos?2x+3?. ? ? (4)设 y=5log2u,u=2x+1, 10 则 y′=yu′· ux′=uln 2= 10 . ?2x+1?ln 2

?π 1? 10.求曲线 y=2sin2x 在点 P?6,2?处的切线方程. ? ? 【解】 因为 y′=(2sin2x)′=2×2sin x×(sin x)′

=2×2sin x×cos x=2sin 2x, π π? ? 所以 y′|x=6=2sin?2×6?= 3. ? ? 1 ? π? 所以过点 P 的切线方程为 y-2= 3?x-6?, ? ? 1 3π 即 3x-y+2- 6 =0. [能力提升] 1.(2016· 长沙高二检测)函数 y=sin 2x-cos 2x 的导数是( π? ? A.2 2 cos?2x-4? ? ? B.cos 2x-sin 2x C.sin 2x+cos 2x π? ? D.2 2cos?2x+4? ? ? 【解析】 ∵y′=(sin 2x-cos 2x)′ )

=(sin 2x)′-(cos 2x)′ =cos 2x· (2x)′+sin 2x· (2x)′=2cos 2x+2sin 2x π? ? 2 ? 2 ? =2 2? cos 2x+ sin 2x?=2 2cos?2x-4?, ? ? 2 ?2 ? 故选 A. 【答案】 A 4 上,α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 α e +1
x

2.已知点 P 在曲线 y= 的取值范围是( π? ? A.?0,4? ? ? ?π 3π? C.?2, 4 ? ? ? 【解析】 因为 y= )

?π π? B.?4,2? ? ? ?3π ? D.? 4 ,π? ? ? 4 , e +1
x

-4ex -4ex 所以 y′= x = = ?e +1?2 e2x+2ex+1

-4 . 1 ex+ex+2

1 因为 ex>0,所以 ex+ex≥2,所以 y′∈[-1,0),所以 tan α∈[-1,0). ?3π ? 又因为 α∈[0,π),所以 α∈? 4 ,π?. ? ? 【答案】 D

3.曲线 y=e-5x+2 在点(0,3)处的切线方程为_________________________. 【解析】 因为 y′=e-5x(-5x)′=-5e-5x,

所以 y′|x=0=-5,故切线方程为 y-3=-5(x-0), 即 5x+y-3=0. 【答案】 5x+y-3=0

4.已知函数 f(x)=x3+1(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R). (1)若函数 f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求 a,b 的值; (2)若曲线 y=f(x)存在两条垂直于 y 轴的切线,求 a 的取值范围. 【导学号: 60030015】 【解】 f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2).

?f?0?=b=0, (1)由题意得? ?f′?0?=-a?a+2?=-3, 解得 b=0,a=-3 或 a=1. (2)∵曲线 y=f(x)存在两条垂直于 y 轴的切线, ∴关于 x 的方程 f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0 有两个不相等的实数根, ∴Δ=4(1-a)2+12a(a+2)>0, 即 4a2+4a+1>0, 1 ∴a≠-2. 1? ? 1 ? ? ∴a 的取值范围为?-∞,-2?∪?-2,+∞?. ? ? ? ?


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