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广东省广州市重点学校备战2017高考数学一轮复习 三角函数试题精选16


三角函数 16
11.已知函数 f ( x) ? A sin(3x ? ? )( A ? 0, x ? (??, ??),0 ? ? ? ? 在 x ? (1) 求 f ( x ) 的最小正周期; (2) 求 f ( x ) 的解析式; (3) 若 f (

?
12

时取得最大值 4.

2 α

3

+

? 12 )= ,求 sinα . 12 5

sin(2? ?

?
2

)?

3 3 3 1 5 2 2 , cos 2? ? , 1 ? 2sin ? ? , sin ? ? , sin ? ? ? . 5 5 5 5 5

12.已知函数 f ( x) ? 3 sin 2 x ? 2sin 2 x . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最大值;

(II)求函数 f ( x ) 的零点的集合。

-1-

13. 已知函数 f(x)= cos(

?

? 1 1 ? x) cos( ? x), g ( x) ? sin 2 x ? 3 3 2 4

(Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期;

(Ⅱ)求函数 h(x)=f(x)-g(x)的最大值,并求使 h(x)取得最大值的 x 的集合。

-2-

14.

某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上 。在小艇出发时 ,轮
船位于港口 O 北偏西 30? 且与该港口相距 20 海里的 A 处,并以 30 海里/小时的航行速度沿正 东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以 v 海里/小时的航行速度匀速行驶,经过 t 小时与 轮船相遇。 (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向与 航行速度的大小) ,使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由。

此时,在 ?OAB 中, OA ? OB ? AB ? 20 ,故可设计航行方案如下: 航行方向为北偏东 30 ,航行速度为 30 海里/小时,小艇能以最短时间与轮船相遇。
?

15.某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位: m) , 如示意图, 垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4m, 仰角∠ABE= ? ,∠ADE= ? 。
-3-

(1)该小组已经测得一组 ? 、 ? 的值,tan ? =1.24,tan ? =1.20,请据此算出 H 的值; (2)该小组分析若干测得的数据后, 认为适当调整标杆到电视塔的距离 d (单位:m) ,使 ? 与 ? 之差较大,可以提高测量精确度。若电视塔的实 际高度为 125m,试问 d 为多少时, ? - ? 最大? 解析] 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。 (1)

H H h H , 同理:AB ? ,BD ? 。 ? tan ? ? AD ? tan ? AD tan ? tan ? H H h h tan ? 4 ?1.24 ? ? ? ? 124 。 ,解得: H ? tan ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? 1.24 ? 1.20

AD—AB=DB,故得

因此,算出的电视塔的高度 H 是 124m。 (2)由题设知 d ? AB ,得 tan ? ?

H H h H ?h , tan ? ? ? ? , d AD DB d H H ?h ? tan ? ? tan ? hd h d tan(? ? ? ) ? ? d ? 2 ? 1 ? tan ? ? tan ? 1 ? H ? H ? h d ? H ( H ? h) d ? H ( H ? h) d d d H ( H ? h) d? ? 2 H ( H ? h) , (当且仅当 d ? H (H ? h) ? 125 ?121 ? 55 5 时,取等号) d

故当 d ? 55 5 时, tan(? ? ? ) 最大。 因为 0 ? ? ? ? ?

?
2

,则 0 ? ? ? ? ?

?
2

,所以当 d ? 55 5 时, ? - ? 最大。

故所求的 d 是 55 5 m。 16.已知△ABC 的三边长都是有理数。 (1)求证 cosA 是有理数; (2)求证:对任意正整数 n,cosnA 是有理数。 解析] 本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识,考查推理论证的能力与分析问题、 解决问题的能力。满分 10 分。

-4-

②假设当 n ? k (k ? 2) 时,结论成立,即 coskA、 cos(k ? 1) A 均是有理数。 当 n ? k ? 1 时, cos(k ? 1) A ? cos kA cos A ? sin kA sin A ,

1 cos(k ? 1) A ? cos kAcos A ? [cos(kA ? A) ? cos(kA ? A)] , 2 1 1 cos(k ? 1) A ? cos kAcos A ? cos(k ?1) A ? cos(k ? 1) A , 2 2
解得: cos(k ? 1) A ? 2cos kA cos A ? cos(k ? 1) A ∵cosA, cos kA , cos(k ? 1) A 均是有理数,∴ 2cos kA cos A ? cos(k ? 1) A 是有理数, ∴ cos(k ? 1) A 是有理数。 即当 n ? k ? 1 时,结论成立。 综上所述,对于任意正整数 n,cosnA 是有理数。

-5-


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