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2012美国国家队选拔考试


2 0 1 3年第 8期  3 3   2 0 1   2 美 国 国 家 队 选 拔 考 试  中图分类号 : G 4 2 4 . 7 9   文献标识码 : A   文章编号 : 1 0 0 5- 6 4 1 6 ( 2 0 1 3 ) o 8 - 0 0 3 3 一 o 8   1 . 已知锐角 △ A B C 满 足  A<   B,   A<   C, P为 边 B C上 的动 点 , D、 E分 别  结论成立 : 若( a . , a   , …, a   ) 是正整数数列 ,   且满 足  al+ 口 2+ … +a   =2n — l,   是边 A B 、 A C上的点 , 使得 B P= P D, C P= 腿   证明 : 当点 P在边 B C上 移动 时 , △A D E的外  则该数列 中存在若 干相邻的项 ( 至少两项 ) ,   其算术平均值是一个整数.   8 . 求所 有 的正整 数数对 ( a , n ) , 其 中,   > 1 , 使得对于 a “ 一 1的每一个素因数 P , 均  存在整数 k ( o < k < n ) , 满足P I ( a   一 1 ) .   接圆过一个不同于  的定点.   2 . 求所有的函数 , : R   R, 使得对于每  个实数对(  , , , ) , 均有  +y 2 )=   )+l Y f ( Y ) I .   3 . 是否存 在整数 a , b 、 c> 2   0 1 0 , 满足 方程  0  +2 b  +4 c  =6 a b c+1 7   参 考 答 案  1 . 只需证明 : 该定点是△ A   C的垂心 H  如图 l , 设 点 C、  在 边 A B、 A C上 的投影  4 . 在奥林 匹克高级 中学有 2   0 1 0 名学生  和1 0 0间教室. 开始时 , 每名学生任意进入 到  一 间教室. 每分钟只要所有 学生不都在 同一  分别为  、 y ,   是B C的中点. 则  MB =MX =M Y=MC.   问教室 , 且存在教室 y中的学生数 目不少 于  教 室  中的学 生数 目, 则 教 室  中的 一名 学  生走到教室 y中. 此过程在 M 分钟后结束 ,   求  的最 大值.   5 . 求所有的正整数 n , 使得三元多项式  P   (  , Y ,   )   = (  一 y )  ( y一   ) h+( Y 一   ) h(  一  )  +   (  一  )  (  一 Y )   图 1   整 除 三元 多项式  Q   (  , Y , z )   = 不 失一 般性 , 假 设 点 P在  、   之间 , 则  点 D在 曰 、  之间 , 点 E在 A 、 y 之间.   因为  A X H=   A Y H=9 0 。 , 所 以, A、  、   日、 y四点共 圆.   于是 , 由正 弦定理 得  X H  s i n   Y H  s i n   X A H  C O 8   B   Y A H  C O 8   C ‘   [ (  一 y )   +( Y —   )   +( z 一  )  ]  .   6 . 已知 圆 内接 四边形 A B C D 的对 角线  A C 、 B D交于点 P , P在 A B 、 C D上的投影分别  为 、 F , 线段 B F与 C E交于点  证明:   P Q   E

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