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【 相阳三轮高考沈阳研讨会】(数学)2011届新课标高考备考资料


2010年全国31省市高考试卷种类概览
一、新课标地区 全国新课标卷:黑龙江、吉林、宁夏、海南。 山东、广东、江苏、天津、浙江、辽宁、福建、安徽、北京、 陕西、湖南。 二、原大纲地区 全国Ⅰ:河南、河北、广西、山西。 全国Ⅱ:云南、贵州、甘肃、内蒙、青海、新疆、西藏。 重庆、湖北、江西、四川。 三、教育综合改革试点地区:上海。

四、自主命题17省

市 序 省市 号 1 广东 自主命题科目 语数英 文综 理综 教育部考试中 心命题科目

2
3 4

山东
海南 北京

语数英 文综 理综 基本能力测试
理化生史地政 语数英 文综 理综 语数英

5
6 7 8 9

天津
江苏 安徽 福建

语数英 文综 理综
语数英理化生史地政 语数英 文综 理综 语数英 文综 理综

浙江 语数英 文综 理综 自选模块 技术

序 省市 号

自主命题科目

教育部考试中 心命题科目

10 辽宁
11 湖南 12 陕西

语数英
语数英 数英

文综 理综
文综 理综 语 文综 理综

13 湖北
14 江西 15 四川 16 重庆 17 上海

语数英
语数英 语数英 文综 理综 语数英 文综 理综

文综 理综
文综 理综 文综 理综

语数英理化生史地政 文综能力测试 理综能力测试

全国各试卷各题型题量对比表(2010年?理科)
省 全国(新)、 市 全国ⅠⅡ、 天 福建、安徽、 浙 湖 北京 江 上 陕西、重庆、 江 南 广东 苏 海 山东、辽宁、 津 题型 湖北 江西、四川 选择题 填空题 解答题 合计 12 4 6 10 6 6 10 5 6 10 8 7 5 7 6 8 6 6 0 4

14 14 6 5

22

22

21

22 21

20

20 23

(注:江苏省有附加题,文理合卷)

全国各试卷各题型分值对比表(2010年?理科)
省 市 题型 选择题 (分) 填空题 (分) 解答题 (分) 安徽、重 全国?、Ⅱ、山东、江 庆、湖北、 辽宁 西、四川 陕西

全国新

天津

12×5=60 5× 4=20 70

12×5=60 12×5=60 10×5=50 10×5=50 4×5=20 70 4×4=16 74 5×5=25 75 6×4=24 76

省 市 题型

浙江

福建

广东 北京

湖南

江苏

上海

选择题 10×5 10×5=50 8×5=40 (分) =50 填空题 7×4= (分) 28 解答题 (分) 5×4=20 6×5=30

8×5= 40 7×5= 35

4×5=20 14×5 14×4=56 =70

72

80

80

75

90

74

全国各试卷解答题统计表(2010年理科)
第一题 全 国 (新) 山 东 数列 (递推) 第二题 第三题 概率 统计 第四题 解几? 数列 第五题 函数? 导数 第六题 选修 (三选一)

立几

三角函数

数列

立几

概率

解几

函数?导数

广 东

三角函数

概率 统计

立几

线性规划 (应用)

解几

新情景 (综合)

第一题

第二题

第三题
解三角形

第四题

第五题

第六题




向量

立几

解几

数列

函数?导数

天 三角函数 津

概率

七选修 九解三角形 (应用) 八概率 (四选一) ?数归 解几? 函数? 立几 数列(综合) 向量 导数 立几 立几 解几 解几? 向量 函数?
导数?数列

概率? 浙 三角函数 二项分布 江 辽 三角函数 概率?统计 宁 解三角形 (应用) 福 概率统计 建 解几

函数? 导数

选修 (三选一) 选修 (三选一)

立几

解三角形 函数?导数 (应用) ?定积分

第一题

第二题

第三题 第四题 立几 概率 统计 解几 函数? 导数 解几 (应用) 概率 统计 函数? 导数 概率

第五题

第六题

安 三角函数 徽
北 三角函数 京 湖 三角函数 南 陕 西 数列

函数? 导数
立几 概率 统计
解三角形

数列?数归 概率统计 解几 新情景 (综合)

立几
立几

函数?导数 数列?导数 ?不等式 函数?导数? 解几?向量 不等式

(应用)

全 三角函数 国 解三角形 ?

概率

立几

解几?向量 数列?数归
函数?导数? 不等式

全 三角函数 数列?极限 国 解三角形 ?不等式 Ⅱ

立几

解几

第一题
重 三角函数? 庆 解三角形

第二题
概率

第三题
函数? 导数 立几

第四题
立几 解几? 向量 立几 解几 新情景? 不等式

第五题
解几

第六题
数列?数归? 不等式

函数? 湖 三角函数 不等式 北 (应用) 江 三角函数 西 四 川 概率 概率 立几

数列? 函数?导数? 不等式 反证法 解几 数列 解几? 向量

函数? 导数
三角函数 ?向量

数列? 反证法
函数?导数? 不等式

上 三角函数? 数列? 海 对数 不等式

立几

集 合
全国(新) 1 江苏 1 辽宁1 湖南1 湖北2

(必修1)

山东1 天津9 安徽2 陕西1 江西2

广东1 浙江1 北京1 重庆12 上海14


全国(新)2 江苏2 辽宁2 北京9 全国Ⅱ 1 江西1



(选修2-2)

山东2 天津1 福建9 陕西2 重庆11 四川1

广东2 浙江5 安徽1 全国Ⅰ 1 湖北1 上海2





(必修1)

全国(新)4、11 山东4、11 江苏5 天津2 福建4、15(难) 北京14(难) 湖南8 全国? 10、15 全国Ⅱ 2 江西9、12 四川2、3 上海8、17(零点定理)

广东3、9 浙江9、10 安徽4、6 陕西3、5 重庆5、15

三 角 函 数 (必修4)
全国(新)9 辽宁5 全国? 2、4 重庆6 江苏10 浙江11 福建1、14 安徽9 全国Ⅱ 7、13 江西7 四川6

解 三 角 形 (必修5)
全国(新)16 江苏13 湖南6 山东15 天津7 湖北3 广东11 北京10 上海18

不 等 式 (必修5)
全国(新)8 天津8、16 全国Ⅱ 5 四川12 山东14 江苏11、12 全国Ⅰ 8、13 重庆7 江西3 上海1





(必修5)

山东9 广东4 天津6 浙江3、15 辽宁6、16 福建3、11 安徽10 北京2 湖南15(难) 全国? 4 全国 Ⅱ 4 重庆1 (递推数列、数学归纳法、反证法)

排 列 组 合 (选修2-3)
山东8 北京4 重庆9 四川10 天津10 全国? 6 湖北8 浙江17 全国Ⅱ 6 江西14

二项式定理 (选修2-3)
浙江14 陕西4 湖北11 辽宁13 全国? 5 江西6 安徽12 全国Ⅱ 14 四川13

立体几何(必修2、选修2-1)
全国(新)10 山东3 浙江6 辽宁12(难) 福建6 北京8 全国? 7、12 全国Ⅱ 9、11、16 湖北13 江西10、16 四川11、15 上海12

简单线性规划(必修5)
山东10 福建8 陕西14 重庆4 浙江7 安徽13 全国? 3 湖北12 辽宁14 北京7 全国Ⅱ 3 四川7

解析几何 (必修2、选修2-1)
全国(新)12、15 山东16 广东12 江苏6、9 天津5 浙江8、13 辽宁7、9 福建2 安徽5 北京13 湖南14 陕西8 全国? 9 重庆10 湖北9 江西8、15 四川9、14 上海3、5

向 量 (必修4、选修2-1)
广东10 天津15 浙江16 辽宁8 福建7 安徽3 北京6 湖南4 陕西11 全国? 11、16 全国Ⅱ 8、12、15 重庆2、14 湖北5 江西13 四川5 上海13


全国(新)6 福建13 重庆13 上海6、9

率 (必修3、选修2-3)
江苏3 辽宁3 安徽15 湖南11 湖北4、14 江西11

统 计 (必修3、选修2-3)
山东5(正态分布)、6 (平均数、方差) 广东7 (正态分布) 江苏4(频率分布直方图) 天津11(茎叶图) 北京11(抽样方法、频率分布直方图) 湖北6 (抽样方法) (必修3:变量的相关性、散点图)

程 序 框 图 (选修1-2)
全国(新)7 辽宁4 湖南12 山东13 福建5 陕西6 广东13 安徽14 上海7

三 视 图(必修2)
全国(新)14 浙江12 安徽8 陕西7 广东6 辽宁15 北京3 天津12 福建12 湖南13

极 限
重庆3 四川8

(选修1-1、2-2)

湖北7 上海11

江西4



数 (选修2-2)
辽宁10

全国(新)3 江苏8、14 全国Ⅱ 10 江西5、12

定 积 分 (选修2-2)
全国(新)13 湖南5 山东7 陕西13

常 用 逻 辑 用 语 (选修2-1)
全国(新)5 山东9 广东5 天津3 浙江4 辽宁11 安徽11 北京6 湖南2 陕西9 湖北10 上海15 四川4 (充要条件、四种命题、命题的否定、 复合命题、“或”“且”“非”逻辑联 结词、 全称量词与存在量词)

几 何 证 明 (选修4-1)
广东14 天津14 湖南10 全国(新)22 江苏21(A) 辽宁22 北京12 陕西15(B)

矩 阵 与 变 换 (选修4-2)
江苏21(B) 福建21(1)

坐标系与参数方程 (选修4-4)
广东15 全国(新)23 天津13 辽宁23 安徽7 北京5 陕西15(C) 重庆8 江苏21(C) 福建21(2) 湖南3 上海16

不 等 式 选 讲 (选修4-5)
全国(新)24 辽宁24 陕西15(A) 江苏21(D) 福建21(3)

优选法与试验设计初步 (选修4-7)
湖南9(0.618法)

新题型
山东12 陕西10、12 四川16 福建10 湖南7 湖北10、15

定义新运算(向量)
*(2010年 山 东 理 12) ? 定 义 平 面 向 量 之 间 的 一 种 运 算 “ ? ” 如 下 : 对 任 意 的 a ? ( m , n ), ? ? ? b ? ( p , q ) , 令 a ? b ? m q ? n p .下 面 说 法 错 误 的 是 (B) ? ? ? ? ( A ) 若 a与 b共 线 , 则 a ? b ? 0 ? ? ? ? (B )a ? b ? b ? a ? ? ? ? (C )对 任 意 的 ? ? R , 有 (? a ) ? b ? ? (a ? b ) ? ? ? ? ? 2 ? 2 2 2 ( D ) ( a ? b ) ? ( a ?b ) ? a b ? ? 解 : 对 于 ( A ), 若 a ? ( m , n ) , ? ( p , q ) 共 线 , 则 m q ? n p ? 0 . b ? ? 依 运 算 “ ? ” 知 a ? b ? 0, 即 m q ? n p ? 0, 故 ( A ) 正 确 。

? ? ? 对 于 ( B ), 由 于 a ? b ? m q ? n p , 又 b ? ? ? ? ? 则 知 a ? b ? ? b ? a, 故 ( B ) 错 误 。 ? ? ? 对 于 ( C ), ? a ? ( ? m , ? n ) , 则 ( ? a ) ? b ? ? ? 又 ? (a ? b ) ? ? (m q ? np ) ? ? m q ? ? np , ? ? ? ? 知 ( ? a ) ? b ? ? ( a ? b ), 故 ( C ) 正 确 。 ? ? ? ? 2 2 2 对 于 ( D ),a ? b ) ? ( a ?b ) ? ( m q ? n p ) (
2 2 2 2 2 2

? a ? n p ? m q,

? m q ? ? np.

? (m p ? nq )
2 2

2

? m q ? 2m npq ? n p ? m p ? 2m npq ? n q
2 2 2 2 2 2 2 2 2

? m ( p ? q ) ? n ( p ? q ) ? ( m ? n )( p ? q ) ? 2 ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 又 a b ? ( m ? n ) ( p ? q ) ? ( m ? n )( p ? q ),
2

? ? ? ? ? 2 2 知 ( a ? b ) ? ( a ?b ) ? a

2

? 2 b , 故 ( D )正 确 。

选 B.

定义新概念(函数)
*(2010年 福 建 理 10) 对 于 具 有 相 同 定 义 域 D 的 函 数 f ( x ) 和 g ( x ), 若 存 在 函 数 h ( x ) ? K x ? b ( k , b 为 常 数 ), 对 任 给 的 正 数 m , 存 在 相 应 的 x 0 ? D , 使 得 当 x ? D 且 x ? x 0 时 , 总有

?

0 ? f ( x )? h ( x )? m , 则 称 直 线 l : y ? k x ? b 为 曲 线 y ? f ( x ) 与 y ? g ( x )的 0 ? h ( x )? g ( x )? m ,

“ 分 渐 近 线 ” 。 给 出 定 义 域 均 为 D = ? x x ? 1? 的 四 组 函 数 如 下 : (1) f ( x ) ? x , g ( x ) ?
2

x; 2x ? 3 x ;

(2) f ( x) ? 10
2

?x

? 2, g ( x) ?

(3) f ( x ) ?

x ?1 x

, g (x) ?

x ln x ? 1 ln x

;
?x

(4) f ( x) ?

2x

2

x ?1

, g (x) ? 2(x ? 1 ? e

). (C )

其 中 , 曲 线 y ? f ( x )与 y ? g ( x ) 存 在 “ 分 渐 近 线 ” 的 是 ( A ) (1) ( 4 ) ( B )( 2 )(3) (C )( 2 )( 4 ) ( D )(3)( 4 )

解:

?

0 ? f ( x )? h ( x )? m , ? 0 ? h ( x )? g ( x )? m ,

?

f ( x )? m ? h ( x )? f ( x ), (* ) g ( x )? h ( x )? g ( x )? m .

当 x ? ( x 0 , ? ? )时 , 对 于 (1) , f ( x ) , g ( x ) 均 无 最 大 值 , 故 不 满 足 (* )式 , 舍 去 。 对 于 (3), f ( x ) ? x ? 1 x , g (x) ? x ? 1 ln x ,

同 样 f ( x ), g ( x )均 无 最 大 值 , 也 不 满 足 (* )式 , 舍 去 。 对 于 ( 2 ) , 令 h ( x ) ? 2, 则 f ( x ) ? h ( x ) ? 1 0 f (x) ? g (x) ? 2 ? ? x ? 1, ? 2x ? 3 x ? 3 x ,
?x

? 2 ? 2 ? 10

?x

,

?

0 ? f ( x )? h ( x )? 3, 成立,符合题意。 0 ? h ( x )? g ( x )? 3

对 于 ( 4 ), ) f ( x ) ? g (x) ? 2(x ? 1 ? e

2x
?x

2

x ?1

?

2 ( x ? 1) ? 4 ( x ? 1) ? 2
2

x ?1
?x

? 2x ? 2 ?

2 x ?1

,

) ? 2 x ? 2 ? 2e

,

令 h ( x ) ? 2 x ? 2, ? x ? 1, ? 0 ? f (x) ? h(x) ? 0 ? h(x) ? g (x) ? 2e 即 2 x ?1
?x

? 1, 2 e
x

?

? 1,

?

0 ? f ( x ) ? h ( x ) ? 1, 成立,符合题意。 0 ? h ( x ) ? g ( x ) ?1

? 存 在 “ 分 渐 近 线 ” 的 是 (2)(4).

选 C.

新题型(排列组合)
*(2010年 湖 南 理 7) 在 某 种 信 息 传 输 过 程 中 , 用 4个 数 字 的 一 个 排 列 (数 字 允 许 重 复 ) 表 示 一 个 信 息 , 不 同 排 列 表 示 不 同 信 息 。 若 所 用 数 字 只 有 0和 1, 则 与 信 息 0110至 多 有 两 个 对 应 位 置 上 的 数 字 相 同 的 信 息 个 数 为 ( A )1 0 ( B )1 1 ( C )1 2 ( D )1 5 (B )

解 1: 分 类 讨 论 , 分 0 个 相 同 、个 相 同 、 个 相 同 三 种 情 况 。 1 2 (1) 若 0 个 相 同 , 则 信 息 为 1 0 0 1, 有 1 个 。 ( 2 ) 若 1 个 相 同 , 则 信 息 为 0 0 0 1, 1 1 0 1 , 1 0 1 1 , 1 0 0 0 , 共 有 4 个 。 (3)若 2 个 相 同 , 又 分 为 以 下 情 况 : ① 若 位 置 一 、 二 相 同 , 则 为 0101, ② 若 位 置 一 、 三 相 同 , 则 为 0011, ③ 若 位 置 一 、 四 相 同 , 则 为 0000,

④ 若 位 置 二 、 三 相 同 , 则 为 1111, ⑤ 若 位 置 二 、 四 相 同 , 则 为 1100, ⑥ 若 位 置 三 、 四 相 同 , 则 为 1010.共 有 6个 。 ? 1+4+6=11(个 ). 解 2: 利 用 排 列 组 合 求 解 . 若 0个 相 同 , C 4 =1; 若 1个 相 同 , C 4 =4; 若 2个 相 同 , C 4 =6. ? 1+4+6=11(个 ). 选 B.
2 1 0

选 B.

新知识(高斯函数)
*(2010年 陕 西 理 10) 某 学 校 要 召 开 学 生 代 表 大 会 , 规 定 各 班 每10人 推 选 一 名 代 表 , 当 各 班 人 数 除 以 10的 余 数 大 于 6时 再 增 选 一 名 代 表 。 那 么 各 班 可 推 选 代 表 人 数 y 与 该 班 人 数 x之 间 的 函 数 关 系 用 取 整 函 数 y = ? x ? ( ? x ? 表 示 不 大 于 x的 最 大 整 数 ) 可 以 表 示 为 ( A) y ? ? x ? ? ? ?10 ? (B) y ? ?x ? 3? ? ? ? 10 ? (C ) y ? ?x? 4? ? ? ? 10 ? (D ) y ? (B) ?x ? 5? ? ? ? 10 ?

解:特殊值法 ? x ? ?17 ? 当 x ? 1 7时 , ? ? 1 .7 ? ? 1, 选 项 ( A ) 不 合 题 意 , 舍 去 . ?10 ? ?10 ? ? ? ? ? ? ?x? 4? ? 20 ? ?x ?5? ? 21? 当 x ? 1 6时 , ? ? 2 ? 2, ? ? 2 .1 ? ? 2 , ? 10 ? ? 10 ? ? ? ? 10 ? ?10 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 则 知 ( C )、 D ) 均 不 合 题 意 , 舍 去 . ( 综 上 得 知 , 选 项 ( B )正 确 . 选 B.

寻求探索规律
*(2010年 陕 西 理 12) 观察下列等式: 1 ? 2 ? 3 ,
3 3 2

1 ? 2 ?3 ? 6 ,
3 3 3 2

1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 10 ,
3 3 3 3 2

……
3 3 3

根据上述规律,第五个等式为 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 21
3 3 3 2

解:观察前三个等式,可得知如下规律:每个式子等号的左边是 从 1开 始 的 连 续 正 整 数 的 立 方 和 , 且 个 数 依 次 多 1; 等 号 右 边 是 一 个 正 整 数 的 平 方 , 且 后 一 个 正 整 数 依 次 比 前 一 个 大 3, 4, ? 。 于 是 第 四 个 等 式 为 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? (1 0 ? 5 ) = (1 5 ) ,
3 3 3 3 3 2 2

? 第 五 个 等 式 为 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? (1 5 ? 6 ) = ( 2 1) .
3 3 3 3 3 3 2 2

新题型(倾斜度·充要条件)
*(2010年 湖北 理 10) 记 实 数 x 1 , x 2 , ? , x n中 的 最 大 数 为 m a x ? x 1 , x 2 , ? , x n ? , 最 小 数 为 m in ? x 1 , x 2 , ? , x n ? .已 知 ? A B C 的 三 边 边 长 为 a , b , c ( a ? b ? c ) , ?a b c? ?a b c? 定 义 它 的 倾 斜 度 为 l ? m a x ? , , ? ?m in ? , , ? , 则 “ l ? 1” ?b c a? ?b c a? 是 “? ABC为 等 边 三 角 形 ” 的 ( A )必 要 而 不 充 分 的 条 件 (C )充 要 条 件 ( A ) ( B )充 分 而 不 必 要 的 条 件 ( D )既 不 充 分 也 不 必 要 条 件

解 : 当 ? A B C 是 等 边 三 角 形 时 , a ? b ? c, ?a b c? ?a b c? 则 l ? m a x ? , , ? ?m in ? , , ? ? 1 ? 1 ? 1, ?b c a? ?b c a? ?“ l ? 1” 是 “ ? A B C 为 等 边 三 角 形 ” 的 必 要 条 件 。

c a ?a b c? ?a b c? 已 知 a ? b ? c, 则 m a x ? , , ? ? , 又 l ? 1, 则 m in ? , , ? ? , a c ?b c a? ?b c a? 从而得知 a b ? a c 或 b c ? a c , 得 b ? c或 b ? a , 可 知 ? A B C 为 等 腰 三 角 形 ,

而 不 能 推 出? ABC为 等 边 三 角 形 。 “ l ? 1” 不 是 “ ? A B C 为 等 边 三 角 形 ” 的 充 分 条 件 。 故 “ l ? 1” 是 “ ? A B C 为 等 边 三 角 形 ” 的 必 要 而 不 充 分 条 件 。 选 A。

新知识(调和平均数)
*(2010年 湖 北 理 15) 设 a ? 0, b ? 0, 称 2ab a ?b 为 a , b的 调 和 平 均 数 . 如 图 , C 为 线 段 A B 上

的 点 , 且 A C = a , C B ? b, O 为 A B 中 点 , 以 A B 为 直 径 作 半 圆 . 过 点 C 做 A B 的 垂 线 交 半 圆 于 D , 连 接 O D , A D , B D .过 C 作 O D 的 垂 线 , 垂 足 为 E . 则 图 中 线 段 O D 的 长 度 是 a , b的 算 术 平 均 数 , 线 段 C D 的 长 度 是 a , b的 几 何 平 均 数 , 线 段
D E A O C

D E 的 长 度 是 a , b的 调 和 平 均 数 .

B

解 : 在 R t? A B C中 , C D 是 斜 边 A B 上 的 高 , 则 有 C D ? CD ? A C ?C B ?

2

? A C ?C B ,

a b .故 线 段 C D 的 长 度 是 a , b 的 几 何 平 均 数 .
2

在 R t? O C D中 , C E ? O D , 则 有 C D ? DE ? CD
2

? O D ?D E ,

?

ab a ?b 2

?

2ab a ?b

.

OD

故 线 段 D E 的 长 度 是 a , b的 调 和 平 均 数 。

定义新概念(封闭集)
*(2010年 四川 理 16) 设 S为 复 数 集 C 的 非 空 子 集 , 若 对 任 意 的 x, y ? S, 都 有 x+y,x-y, x y ? S , 则 称 S 为 封 闭 集 .下 列 命 题 : ( 1 ) 集 合 S = a ? b i a , b 为 整 数 , i为 虚 数 单 位 为 封 闭 集 ; (2 )若 S 为 封 闭 集 , 则 一 定 有 0 ? S ; (3 )封 闭 集 一 定 是 无 限 集 ; (4 )若 S 为 封 闭 集 , 则 满 足 S ? T ? C 的 任 意 集 合 T 也 是 封 闭 集 . 其中真命题是 (1 )(2 ) .( 写 出 所 有 真 命 题 的 序 号 )

?

?

解 : 对 于 (1),S为 复 数 集 , 若 x, y ? S, 则 x+y,x-y,xy皆 为 复 数 , 故 (1)正 确 。 对 于 (2), 若 S为 封 闭 集 , 且 存 在 元 素 x ? S , 则 必 有 x-x=0 ? S, 即 一 定 有 0 ? S , 故 ( 2 )正 确 。

对 于 (3 ), 因 为 ? 0 ? 是 封 闭 集 , 且 是 有 限 集 , 故 (3 ) 错 误 。 对 于 ( 4 ) , 举 特 例 , 设 S = ? 0 ? , T ? ? 0, i , ? i ? , 显 然 , T 中 的 i ?( ? i ) ? 1 ? T , 知 T 不 是 封 闭 集 , 故 ( 4 ) 错 误 。 综 上 得 知 , 真 命 题 是 (1)、 (2)。

近几年出现的 新题型
(选讲)

新题型(数制转换)
*(2 0 0 5年 全 国 Ⅲ 理 1 2) 计 算 机 中 常 用 的 十 六 进 制 是 逢 16进 1的 记 数 制 , 采 用 数 字 0 ? 9和 字 母 A ? F 共 16个 计 数 符 号 , 这 些 符 号 与 十 进 制 的 数 的 对 应 关 系 如 下 表 :
十六进制 十进制

0 0

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

9 9

A 10

B 11

C 12

D 13

E 14

F 15

例 如 , 用 十 六 进 制 表 示 : E+D=1B,则 A ? B= ( A )6 E ( B )7 2 (C )5 F

( A ) (D )B0

解 :E ? D ) 1 6 ? (1 4 ? 1 3 ) 1 0 ? ( 2 7 ) 1 0 ? (1 6 ? 1 1) 1 0 ? (1 B ) 1 6 , ( ? ( A ? B ) 1 6 ? (1 0 ? 1 1) 1 0 ? (1 1 0 ) 1 0 ? ( 6 ? 1 6 ? 1 4 ) 1 0 ? ( 6 E ) 1 6 . 选 A.

新题型(立体几何中的计数问题)
*(2006年 上 海 理 10) 如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个“正交 线面对”。在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的 平面构成的“正交线面对”的个数有 解 : 正 方 体 的 每 1条 棱 对 应 着 2 个 “ 正 交 线 面 对 ” , 12条 棱 共 对 应 着 24个 “正交线面对”;正方体的每一条面对 角线对应着一个“正交线面对”, 12条 面 对 角 线 对 应 着 12个 “ 正 交 线 面 对 ” . ? 2 4 ? 1 2 ? 3 6 (个 ). 36 .

集合(新题型)
*(2006年 四 川 理 16) 非 空 集 合 G 关 于 运 算 ? 满 足 : ( 1 ) 对 任 意 a , b ? G , 都 有 a + b ? G ;( 2 ) 存 在 c ? G , 使 得 对 一 切 a ? G, 都 有 a ? c ? c ? a ? a , 则 称 G 关 于 运 算 ? 为 “ 融 洽 集 ” . 现给出下列集合和运算: (1) G ? ? 非 负 整 数 ? , 为 整 数 的 加 法 ; ? ( 2 )G ? ?偶 数 ? , 为 整 数 的 乘 法 ; ? (3)G ? ?平 面 向 量 ? , 为 平 面 向 量 的 加 法 ; ? ( 4 )G ? ?二 次 三 项 式 ? , 为 多 项 式 的 加 法 ; ? (5 )G ? ?虚 数 ? , 为 复 数 的 乘 法 . ? 其 中 G关 于 运 算 ? 为 “ 融 洽 集 ” 的 是 (写 出 所 有 “ 融 洽 集 ” 的 序 号 ) 解 : 由 定 义 知 “ 融 洽 集 ” 满 足 两 个 条 件 : ① G中 任 意 两 个 元 素 经 过 运 算 ? 后 , 结 果 还 在 G 中 , 即 非 空 集 合 G 对 运 算 ?“ 封 闭 ” ; (1)、3 ) ( .

② 集 合 G中 存 在 一 个 “ 单 位 元 C” . 对 于 (1), 任 意 两 个 非 负 整 数 相 加 仍 是 非 负 整 数 , G 对 ?“ 封 闭 ” ; 存 在 一 个 单 位 元 c=0,使 得 对 一 切 a ? G ,都 有 a ? c ? c ? a ? a,故 G 关 于 ? 为 “ 融 洽 集 ” . 对 于 ( 2 ), 任 意 两 个 偶 数 相 乘 仍 是 偶 数 , G 对 ?“ 封 闭 ” ; 但 G 中 不 存 在 单 位 元 . 对 于 ( 3 ) , 任 意 两 个 平 面 向 量 相 加 仍 是 平 面 向 量 , G 对 ?“ 封 闭 ” ; 存 在 一 个 单 ? 位 元 c=0,使 得 对 一 切 a ? G ,都 有 a ? c ? c ? a ? a,故 G 关 于 ? 为 “ 融 洽 集 ” . 对 于 ( 4 ), 任 意 两 个 二 次 三 项 式 相 加 不 一 定 还 是 二 次 三 项 式 , 如 x ? x ? 2, ? x ? x ? 2, G 对 ? 不 “ 封 闭 ” ; 且 G中 不 存 在 单 位 元 .
2 2

对 于 (5 ), 任 意 两 个 虚 数 相 乘 不 一 定 还 是 虚 数 , 如 i, ? i, G 对 ? 不 “ 封 闭 ” ; 且 G中 不 存 在 单 位 元 . 综 上 可 知 , “ 融 洽 集 ” 是 (1)、 (3).

新题型
*(2006年 陕 西 理 12) 为 确 保 信 息 安 全 , 信 息 需 加 密 传 输 , 发 送 方 由 明 文 ? 密 文 ( 加 密 ), 接 收 方 由 密 文 ? 明 文 ( 解 密 ) .已 知 加 密 规 则 为 : “ 明 文 a , b , c , d 对 应 密 文 a ? 2 b , 2 b ? c , 2 c ? 3 d , 4 d .例 如 , 明 文 1, 2 , 3 , 4 对 应 密 文 5 , 7 , 1 8 , 1 6 .当 接 收 方 收 到 密 文 1 4 , 9 , 2 3 , 2 8时 , 则 解 密 得 到 的 明 文 为 ( C ( A ) 4 , 6 , 1, 7 ( B ) 7 , 6 , 1, 4 ) ( D )1, 6 , 4 , 7

( C ) 6 , 4 , 1, 7

解 : 算 法 、 算 律 及 映 射 的 思 想. ? ? 解方程组 ? ? ?
a ? 2 b ?1 4 , ? a?6, ? b?4, 2 b? c?9 , 得 ? c ?1, 2 c?3 d ? 2 3, ? d ?7. 4 d ?28, ?

明文
选 C.

密文 a+2b 2b+c 2c+3d 4d

a b c d

注:本题实际上是定义了一个 新映射,即知道了“像”, 求“原像”.

新 题 型(定义新运算)
*(2006年 广 东 10) 对 于 任 意 的 两 个 实 数 对 ( a , b )和 (c , d ), 规 定 ( a , b ) ? ( c , d ), 当 且 仅 当 a ? c , b ? d ; 运 算 “ ?” 为 ( a , b ) ? (c , d ) ? ( a c ? b d , b c ? a d ), 运 算 “ ?” 为 ( a , b ) ? ( c , d ) ? ( a ? c , b ? d ) .设 p , q ? R , 若 (1, 2 ) ? ( p , q ) ? ( 5 , 0 ) , 则 (1, 2 ) ? ( p , q ) ? ( A )( 4 , 0 ) ( B )( 2 , 0 ) (C )(0 , 2 ) ( D )(0 , ? 4 ) ( B )

解 : 依 题 意 , 由 (1, 2 ) ? ( p , q ) ? ( 5 , 0 ) 得

?

p ? 2 q ?5, ? 2 p?q?0

?

p ? 1, q ??2.

? (1, 2 ) ? ( p , q ) ? (1, 2 ) ? (1, ? 2 ) ? ( 2 , 0 ) .

选 B.

解析几何(直线与圆· 整点)
*(2007年 已知直线 湖北 x a ? y b ( A ) ( D )7 8条 理 10) ? 1( a , b 是 非 零 常 数 ) 与 圆 x ? y
2 2

? 100有 公 共 点 , 且 公 共 点 的

横坐标和纵坐标均为整数,那么这样的直线共有 ( A )6 0条 解:圆x ? y
2 2

( B )6 6条

(C )7 2 条

? 1 0 0 上 的 整 点 共 有 1 2 个 ,0 , 1 0 ) , ( 0 , ? 1 0 ) , (1 0 , 0 ) , ( ? 1 0 , 0 ) , (8 , 6 ) , (

(8 , ? 6 ) , ( ? 8 , 6 ) , ( ? 8 , ? 6 ) , ( 6 , 8 ) , ( 6 , ? 8 ) , ( ? 6 , 8 ) , ( ? 6 , ? 8 ) . 满足条件的直线 x a
2

?

y b

? 1( a , b 是 非 零 常 数 ) 可 分 为 两 类 : 一 类 是 切 线 , 有 8 条 ;

另 一 类 是 交 线 , 有 C 12 ? 6 6 条 , 但 要 去 掉 与 坐 标 轴 平 行 的 1 0 条 及 经 过 原 点 的 4条 。 ? 8+66-10-4=60(条 ). 选 A.

联系古今的实际试题(三角函数)
*(2007年 北 京 理 13) 2002年 在 北 京 召 开 的 国 际 数 学 家 大 会 , 会 标 是 以 我 国 古 代 数 学 家 赵 爽 的 弦图为基础设计的。弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成 的 一 个 大 正 方 形 (如 图 )。 如 果 小 正 方 形 的 面 积 为 1, 大 正 方 形 的 面 积 为 25, 直 角 三 角 形 中 较 小 的 锐 角 为 ? , 那 么 c o s 2? 的 值 等 于 解 : 小 正 方 形 的 面 积 为 1 , 小 正 方 形 的 边 长 为 1. ? ? ? 大 正 方 形 的 面 积 为 2 5 , 大 正 方 形 的 边 长 为 5. ? 依题设可得 5 ?c o s ? ? 5 ?s in ? ? 1, 即 c o s ? ? s in ? ? 1 25 ??是直角三角形中较小的锐角, 0 ? ? ? ? 24 25 7 25 , s in 2 ? ? 24 25 1 5 两 边 平 方 , 得 1 ? 2 s in ? c o s ? ? . . 7 25 .

θ
?
2 .

?
4

, 0 ? 2? ?

? c o s 2? ?

1 ? s in 2 ? ?
2

1? (

)

2

?

.

数阵· 等差数列
*(2008年 江 苏 10) 将全体正整数排成一个三角形数阵:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 … … … … … …
n ? n? 6
2

按 照 以 上 排 列 规 律 , 数 阵 中 第 n (n ? 3 )行 的 从 左 至 右 的 第 3 个 数 是

.

2 解 : 该 数 阵 的 第 1 行 有 1 个 数 , 第 2 行 有 2 个 数 , ? , 第 n 行 有 n 个 数 , 则 前 n ? 1行 共 有 正 整 数 1+2+3+ … n ?+1) ? ( ( n ? 1) ? 1 ? ( n ? 1) ? 2 即 第 n ? 1行 ( n ? 3 ) 的 最 后 一 个 数 是 n ? n
2

?

n ? n
2

(

)

个 ,

2 .? 第 n行 第 3个 数 是 全 体 正 整 数 中 的

n ? n
2

2 第 ? 3个 数 , 即 为 n ? n? 6
2

.

2

2

新 题 型(数域)
*(2 0 0 8年 福建 理 16) 设 P 是 一 个 数 集 , 且 至 少 含 有 两 个 数 , 若 对 任 意 a、 b ? P , 都 有 a + b、 a ? b、 a a b 、 ? P ( 除 数 b ? 0 ), 则 称 P 是 一 个 数 域 .例 如 有 理 数 集 Q 是 数 域 ; b 数集F ?

?a ? b

2 a,b ? Q 也 是 数 域 , 有 下 列 命 题 : (2)若 有 理 数 集 Q ? M , 则 数 集 M 必 为 数 域 ; (4)存 在 无 穷 多 个 数 域 . ( 3 ) 、4 ) ( .

?

(1) 整 数 集 是 数 域 ; (3)数 域 必 为 无 限 集 ; 其中正确的命题的序号是

(把 你 认 为 正 确 的 命 题 的 序 号 都 填 上 ) 解 : 对 于 ( 1 ) , z 为 整 数 集 ,? z, ? z , 而 1 2 1 2 对 于 (2),设 集 合 M中 除 了 有 理 数 外 , 还 有 另 一 个 元 素 但2 2 ? M , 故 数 集 M 不 是 数 域 ,2 ) 错 。 ( 2 , 则 Q ? M .又 2 ? Q , ? z, 知 整 数 集 不 是 数 域 , 错 . (1)

对 于 ( 3 ) , 设 数 域 P , a ? P, b ? P ( 假 设 a ? 0 ) , 则 a + b ? P, a + ( a ? b ) ? 2 a ? b ? P , 同 理 n a ? b ? P , n ? N , 故 数 域 必 为 无 限 集 ,3 ) 正 确 。 ( 对 于 ( 4 ) , 形 如 S = ? a ? b x , a , b ? Q , x为 无 理 数 ? 这 样 的 数 集 都 是 数 域 , 故 存 在 无 穷 多 个 数 域 , (4)正 确 。 ? 应 填 写 (3)、 (4).

新 题 型——周率
* ( 2 0 0 9 年 江 西 理 1 1) 一 个 平 面 封 闭 区 域 内 任 意 两 点 距 离 的 最 大 值 称 为 该 区 域 的 "直 径 ", 封 闭 区 域 边 界 曲 线 的 长 度 与 区 域 直 径 之 比 称 为 区 域 的 "周 率 ", 下 面 四 个 平 面 区 域 (阴 影 部 分 ) 的 周 率 从 左 到 右 依 次 记 为 T1, T 2, T 3, T 4, 则 下 列 关 系 中 正 确 的 ( C ).

( A ) T1 ? T 4 ? T 3

( B ) T 3 ? T1 ? T 2

( C )T 4 ? T 2 ? T 3 2.

( D )T 3 ? T 4 ? T 1

解 : T1 可 理 解 为 正 方 形 的 周 长 与 对 角 线 的 比 值 , 为 2

T2可 理 解 为 一 个 大 半 圆 及 两 个 小 半 圆 的 周 长 之 和 与 直 径 的 比 值 , 为 ? . T 3 可 理 解 为 正 三 角 形 的 周 长 与 其 边 长 的 比 值 , 为 3。 由 12 4? 从 而 有 T4 ? T2 ? T3 . 3 2 选 C. ? 2 3知 T 4 ? 2 3.

组合关系式(归纳猜想)
*(2009年 浙 江 理 15) 观察下列等式: C 5 ? C 5 ? 2 ? 2,
1 5 3

C9 ? C9 ? C9 ? 2 ? 2 ,
1 5 9 7 3

C 13 ? C 13 ? C 13 ? C 13 ? 2
1 5 9 13 1 5 9 13

11

? 2 ,
5 15

C 17 ? C 17 ? C 17 ? C 17 ? C 17 ? 2
17

? 2 ,
7



由以上等式推测到一个一般的结论:对于n? N ,
*

C 4 n ?1 ? C 4 n ?1 ? C 4 n ?1 ? ? ? C 4 n ?1 ?
1 5 9

4 n ?1

2

4 n ?1

? ( ? 1) 2
n

2 n ?1

.

新 题 型
*(2010年 北 京 理 14) 如 图 放 置 的 边 长 为 1 的 正 方 形 P A B C 沿 x 轴 滚 动 .设 顶 点 P ( x , y )的 轨 迹 方 程 是 y ? f ( x ) , 则 函 数 f ( x )的 最 小 正 周 期 为 间 的 图 象 与 x轴 所 围 成 区 域 的 面 积 为 4 ; y ? f ( x )在 其 两 个 相 邻 零 点 .

? ?1

说 明 : “ 正 方 形 P A B C 沿 x轴 滚 动 ” 包 括 沿 x轴 正 方 向 和 沿 x轴 负 方 向 滚 动 。 沿 x轴 正 方 向 滚 动 指 的 是 先 以 顶 点 A为 中 心 顺 时 针 旋 转 , 当 顶 点 B 落 在 x轴 上 时 , 再 以 顶 点 B为 中 心 顺 时 针 旋 转 , 如 此 继 续 。 类 似 地 , 正 方 形 PABC可 以 沿 x轴 负 方 向 滚 动 。

y

C
P O A B x

解 : 依 题 意 知 , 正 方 形 分 别 以 A、 B 、 C 、 P 为 旋 转 中 心 滚 动 一 次 , P 点 的 轨 迹 重 复 出 现 , P点 轨 迹 如 图 所 示 ( 不 规 则 图 形 上 方 的 实 线 ) , 故 函 数 f ( x ) 的 最 小 正 周 期 为 4.

y

Po 0 x

A

B

C

P1

两 个 相 邻 零 点 间 的 图 象 与 x轴 所 谓 区 域 为 3个 扇 形 (两 小 一 大 )和 两 个 同 样 的 等 腰 直 角 三 角 形 ( 恰 为 一 个 小 正 方 形 ), 如 图 阴 影 部 分 所 示 . 记 该 区 域 的 面 积 为 S. 则S ? 2? 1 4

? ?1 ?
2

1 4

? ?(

2 ) ? 1 ? ? ? 1.
2 2

新 题 型· 好题赏析(2009年)
湖北1 湖北10 湖北15 湖南15 江西11 四川16 上海13 江苏8 集合、向量 数列(归纳猜想) 数列(递推) 数列(归纳猜想) “周率” 线性变换(向量) 格点、最值(应用题) 平面到空间的推广

新 题 型· 好题赏析
浙江15 组合关系式(归纳猜想) 浙江17 立体几何(折叠与展平) 福建15 数列(归纳推理论证)

集 合?向 量
( 2009年 湖 北 理 1) * ? ? 已 知 P={a|a=(1,0)+m(0,1),m ? R}, ? ? Q={b|b=(1,1)+n(-1,1),n ? R}是 两 个 向 量 集 合 , 则 P ? Q=( A) ( A) {(1,1)} ( C) {(1,0)} ( B) {(-1,1)} ( D) {(0,1)}

数 列(归纳猜想)
( 2009年 湖 北 * 理 10) 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?



1 ? ? ? ? 1 ? ? ? ?

3 ? ? ? ? 4

6 ( 1) ? ? ? ? ? ? ? ? 9 ( 2) ? ? ? ? ? ? ? ?

10 ? ? ? ? ? ? ? ? 16 ? ? ? ?



数 列(归纳猜想)
他 们 研 究 过 图 ( 1) 中 的 1, 3, 6, 10, ? , 由 于 这 些 数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地, 称 图 ( 2) 中 的 1, 4, 9, 16, ? , 这 样 的 数 称 为 正 方 形 数 。 下 列 数 中 既 是 三 角 形 数 又 是 正 方 形 数 的 是 ( C) ( A)289 (B)1024 (C)1225 (D)1378

数 列(递推)
( 2009年 湖 北 理 15) * 已 知 数 列 {a n}满 足 : a1 ? m m正 整 数 ) , ( a n+1 ? ? ? ? ? ?
an 2 若 3 a n ? 1, 当 a n 为 奇 数 时 , , 当 a n为 偶 数 时 ,

a 6 ? 1, 则 m 所 有 可 能 的

取 值 为 4或 5或 32

数 列(归纳猜想)
( 2009年 湖 南 理 15) * 将 正 ? A B C 分 割 成 n ( n ? 2 , n ? N )个 全 等 的 小 正 三 角 形
2 *

( 图 2, 图 3分 别 给 出 了 n=2,3的 情 形 ) , 在 每 个 三 角 形 的 顶 点 各 放 置 一 个 数 , 使 位 于 ? A B C的 三 边 及 平 行 于 某 边 的 任 一 直 线 上 的 数 ( 当 数 的 个 数 不 少 于 3时 ) 都 分 别 依 次 称 等 差 数 列 。 若 顶 点 A、 B、 C处 的 三 个 数 互 不 相 同 且 和 为 1, 记 所 有 顶 点 上 的 数 之 和 为 f(n), 则 有 f(2)=2,f(3)= 1 6 ( n ? 1) ( n ? 2 ) 10 3 f(n)= ,?,

数 列(归纳猜想)
A A

B

图2

C

B

C

图3

新 题 型——周率
( 2009年 江 西 理 11) * 一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”, 封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”, 下 面 四 个 平 面 区 域 ( 阴 影 部 分 ) 的 周 率 从 左 到 右 依 次 即 为 T1 , T2 , T3 , T 4 , 则 下 列 关 系 中 正 确 的 为 ( C )

( A ) T1 > T 4 > T3

( B ) T3 > T1 > T2

( C ) T 4 > T 2 > T3

( D ) T3 > T 4 > T1

线 性 变 换(向量)
( 2009年 四 川 理 16) * ? 设 V是 已 知 平 面 M上 所 有 向 量 的 集 合 。 对 于 映 射 f:V ? V , a ? V , ? ? ? ? 记 a 的 象 为 f ( a ), 若 映 射 f : V ? V 满 足 : 对 所 有 a 、 b ? V 及 任 意 ? ? ? ? 实 数 ? 、 ? 都 有 f ( ? a ? ? b ) ? ? f ( a ) ? ? f ( b ), 则 f 称 为 平 面 M 上 的 线性变换。现有下列命题: (1)设 f是 平 面 M上 的 ? ? (2)对 a ? V , 设 f (a ) ? (3)若 e是 平 面 M上 的 ? ? 线 性 变 换 , 则 ( 0) =0; f ? ? 2a,则 f 是 平 面 M 上 的 线 性 变 换 ; ? ? ? ? 单 位 向 量 , 对 a ? V , 设 f ( a ) ? a ? e,

则f是平面M 上的线性变换; ? ? ? ? ( 4 ) 设 f 是 平 面 M 上 的 线 性 变 换 , a、 b ? V , 若 a、 b 共 线 , 则 ? ? f(a ),f(b)也 共 线 。 其 中 的 真 命 题 是 (1)(2)(4) 。(写出所有真命题的编号)

数学应用题(最值· 格点)
*(2009年 上海 理 1 3) 某地街道呈现东——西、南——北向的网格状,相邻街距都 为 1。 两 街 道 相 交 的 点 称 为 格 点 , 若 以 互 相 垂 直 的 两 条 街 道

为 轴 建 立 直 角 坐 标 系 , 现 有 下 述 格 点 (-2, 2), (3, 1), (3, 4), (-2, 3),(4,5),(6,6)为 报 刊 零 售 点 。 请 确 定 一 个 格 点 ( 除 零 售点外) (3, 3) 为 发 行 站 , 使 6个 零 售 点 沿 街 道 到 发 行 站 之

间路程的和最短。

平面到空间的推广
( 2009年 江 苏 第 8题 ) * 在 平 面 上 , 若 两 个 正 三 角 形 的 边 长 比 为 1: 2, 则 它 们 的 面 积 比 为 1: 4.类 似 地 , 在 空 间 中 , 若 两 个 正 四 面 体 的 棱 长 比 为 1: 2, 则 它 们 的 体 积 比 为 1: 8

组合关系式(归纳猜想)
( 2009年 浙 江 理 15) * 观察下列不等式: C 5 ? C 5 ? 2 ? 2,
3 1 5

C9 ? C9 ? C9 ? 2 ? 2 ,
7 3

1

5

9

C 13 ? C 13 ? C 13 ? C 13 ? 2
1 5 9 13

1

5

9

13

11

? 2 ,
5 15

C 17 ? C 17 ? C 17 ? C 17 ? C 17 ? 2 ?

17

? 2 ,
7

由以上等式推测到一个一般的结论: 对 于 n ? N , C 4n+1 ? C 4n+1 ? C 4n+1 +
* 1 5 9

… +C

= 4n+1

4n+1

2

4 n ?1

? ( ? 1) 2
n

2 n ?1

立 体 几 何(折叠与展平)
*(2009年 浙 江 理 17) 如 图 3, 在 长 方 形 A B C D 中 , A B ? 2 , B C ? 1, E 为 D C 的 中 点 , F为 线 段 EC(端 点 除 外 )上 一 动 点 。 现 将 ? AFD 沿 AF 折 起 , 使 平 面 A B D ? 平 面 A B C 。 在 平 面 A B D内 过 点 D 作 D K ? A B, K 为 垂 足 。 设 A K ? t, 则 t的 取 值 范 围 是 ( 1 2 , 1)

D

E F

C

D F C B

A

B A 图3

K

数学应用题(数列· 归纳推理论证)
( 2009年 福 建 理 15) * 五位同学围成一圈依序循环报数,规定: ① 第 一 位 同 学 首 次 报 出 的 数 为 1, 第 二 位 同 学 首 次 报 出 的 数 也 为 1, 之 后 每 位 同 学 所 报 出 的 数 都 是 前 两 位 同 学 所 报 出 的数之和; ② 若 报 出 的 数 为 3的 倍 数 , 则 报 该 数 的 同 学 需 拍 手 一 次 。 已知甲同学第一个报数,当五位同学依序循环报到第 100个 数 时 , 甲 同 学 拍 手 的 总 次 数 为 5

新课标要求学生“对新颖的信息、情境和 设问,选择有效的方法和手段收集信息,综 合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方 法,进行独立的思考、探索和研究,提出解 决问题的思路,创造性地解决问题”。 这些试题不拘泥于中学教学大纲的要求, 自主发挥空间增大。试题内涵丰富,立意新 颖,表达脱俗,背景鲜活,设问独特,这些 亮题或信息迁移或贴近生活或探究应用,不 一而足。

关于“新课改”
新一轮高中数学课程改革是对传统教育理念、教育 方式、学习方式的巨大变革。 《新课标》:以学生为本、实践第一。以培养学生的 创新精神为核心,以学生的全面发展为本,促进学生 知识与技能的发展,促进学生情感、态度和价值观的 发展。 三维立体目标:知识与技能、过程与方法、情感态 度与价值观。 高考改革不是革命,不是推倒重来,而是变革,是 循序渐进、稳中求变的过程。原有的高考大纲卷和新 课改卷力求做到“平稳过渡无缝衔接”。《考试大纲》

关于“新课改”
始终是在渐变中运行的,这个渐变可能要延续一段时 间,这样才能达到最初设计新课改的理想状况。 试题的基础分肯定是不会变的,可能会多一些能 力方面的题型。对于“新课标”,要有平稳的心态。 “新课改”把对学生的教育由原来的模块式教学变 成 培养学生自主学习的能力、解决实际问题的能力。高 考肯定会有变化,但不会很多,在整体的拔高题上出 现能力的灵活运用会多一些。尤其对信息阅读能力的 考查力度会加大。

关于“新课改”
我们可以把“新课改”比作“老酒装新瓶”,学生必 然还 是要学那些核心的知识内容,只不过把培养的重点开始 偏移,即偏移到学习能力上。让学生选择性多一些,自 主性多一些。体现在考试的题目上,所谓的不确定性只 不过是换了一个新瓶子,里面的确定性是不变的,肯定 还是老酒。我们没有必要研究瓶子是什么样的,方的、 圆的、奇形怪状的,还是要以不变应万变,回归到狠抓 基础、注重数学思想方法、提高灵活运用的能力上来。 每年的高考都会有15%左右的难题,所谓难题就是思 维程度高需要灵活运用的考题,一活就难。最后的难题 把握好希望就大,把握不好可能就没有希望。但是对于

关于“新课改”

多数以考上一所大学为目标的考生来说,“新课改”基 本 上对他们没有太大的影响。 新课改的考试内容一定要符合新课程标准的理念,最 重要的就是培养学生的实践能力、培养创新精神,推进 实施素质教育的核心就是这两点,所以新课改高考在试 题检测上非常重视探究能力。勇于创新,突破才有亮点。 2008年10月17日,美国《科学》杂志刊登了该杂志总 编辑布鲁斯· 艾伯茨对我国国务院总理温家宝的专访。温 总理在专访中说:“创新首先要从孩子做起,使他们从 小 就养成独立思考的能力,能够在自由的环境下培养创造

*新课程改革(指“新课标”)正在积极稳步推行,《普 通 高中数学课程标准》(实验)已于2003年4月正式颁布, 这是建国以来变化最大的一次。2004年9月依据《标 准》编写的高中新教材进入全国四个省(山东、广东、 海南、宁夏)的实验区,2007年,这四个省要按新《标 准》命制高考试题。 2005年增加江苏,2008年按新课标高考。 2006年增加天津、安徽、浙江、福建、辽宁,2009 年按新课标高考。 2007年增加北京、湖南、陕西、黑龙江、吉林, 2010年按新课标高考。 2013年全国(除港澳台)全部进入新课标。

2010年 辽宁 (理)
一、选择题 1、集合 4、程序框图 7、解几(抛物线) 10、导数 二、填空题 13、二项式定理 16、数列(递推) 三、解答题 17、解三角形

2、复数 3、概率 5、三角函数(平移) 6、数列 8、向量 9、解几(双曲线) 11、充要条件 12、立几(应用) 14、简单线性规划 15、三视图

18、概率统计,频率分布直方图

2010年 辽宁 (理)
19、立几 (异面直线垂直,线面角)、空间直角坐标系 20、解几(椭圆),向量 21、函数,导数,不等式恒成立 (在以下三题中任选一题) 22、选4-1,几何证明选讲 23、选4-4,坐标系与参数方程 24、选4-5,不等式选讲


*(2010年 辽 宁 理10) 4 e ?1
x



已 知 点 P在 曲 线 y ? 取 值 范 围 是 (D) ? ? ? (A) 0, ? ? 4 ? ? 解:对y ? 4 e ?1
x x 2

上 , ? 为 曲 线 在 点 P处 的 切 线 的 倾 斜 角 , 则 ?的

(B)

?? ? ? , ?4 2 ? ? ?
' x '

? ? 3? ? ( C )? , ? ? 2 4 ?
x '

(D)

? 3? ? ,? ? ? ? 4 ?
x 2

求导,得y ? ?4 e ? 2?
x

( 4 ) ?( e ? 1) ? 4 ? ( e ? 1) ( e ? 1)
x 2

?

?4e
x

( e ? 1)

.

则y ?
'

?4e
x

( e ? 1)

?

1 e
x

? 2
x

?4 e ? 1 e
x

? ? 1, ? 2

故 有 ? 1 ? y ? 0,
'

“均值定理” “导数的几何意义”
? 3? 4 ?? ? ?. 选 D.

即 ? 1 ? ta n ? ? 0 ,

充要条件
* ( 2 0 1 0 年 辽 宁 理 1 1) 已 知 a ? 0 , 则 x 0 满 足 关 于 x的 方 程 a x ? b 的 充 要 条 件 是 ( C ) (A)?x ? R , (C)? x ? R , 1 2 1 2 ax -bx ?
2

ax -bx ?
2

1 2 1 2

ax0 -bx0 ax0 -bx0
2

2

(B)?x ? R ,

1 2

ax -bx ?
2

1 2

a x0 -b x0 ax0 -bx0
2

2

(D)? x ? R ,

1 2

ax -bx ?
2

1 2

解 : 在 逻 辑 中 , 量 词 只 有 "? "和 "?"这 两 个 。 全 称 量 词 : "? "表 示 “ 所 有 的 、 任 意 、 任 何 、 一 切 ” ; 存 在 量 词 : "?"表 示 “ 存 在 一 个 、 有 、 有 些 、 某 个 、 至 少 有 一 个 ” ? x 0 满 足 关 于 x的 方 程 a x ? b , a x 0 ? b , x 0 ? ? 作差法: 1 2 ax ? bx ? (
2

b a

.

1 2

a x0 ? b x0 ) ?
2

1 2

ax ? bx ?
2

1 2

a ?(

b a

) ? b?
2

b a

?

1 2

ax ? bx ?
2

b

2

2a

引 入 辅 助 函 数 ( 二 次 函 数 ): 令 f (x) ? 1 2 ax ? bx ?
2

b

2

, 又 知 a ? 0, 知 它 是 开 口 向 上 的 抛 物 线 , 1 2 b
2

2a ax ? bx ?
2 2

其对应的一元二次方程是 1

? 0.

2a

? 判 别 式 ? ? (?b ) ? 4? a ? ? 0, 2 2a
2

b

? 对 于 ? x ? R有 f (x) ? 0恒 成 立 , 即 1 2 ax -bx ?
2

1 2

a x0 - b x0对 于 ? x ? R 恒 成 立 .
2

选 C.

解析几何(椭圆、直线)·向量
*(2010年 辽宁
2

理 20)
2

x y 设 椭 圆 C : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 )的 右 焦 点 为 F , 过 F 的 直 线 l 与 椭 圆 C a b ???? ??? ? 。 相 交 于 A 、 B 两 点 , 直 线 l的 倾 斜 角 为 6 0 , F ? 2 F B . A (1) 求 椭 圆 C 的 离 心 率 ;2 ) 如 果 A B ? ( 15 4 解 : 设 A ( x1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) , (1) ???? ??? ? 。 由 直 线 l的 倾 斜 角 为 6 0 及 A F ? 2 F B , 知 y 1 ? 0 , y 2 ? 0 .又 知 右 焦 点 F ( c , 0 ) . 直 线 l的 方 程 为 y ? 其中c ? a ?b .
2 2

, 求 椭 圆 C的 方 程 .

y

B B O A F x

3 ( x ? c ),

? ? y ? 3 ( x ? c ), 由? x 2 ? y 2 ?1 ? ? a2 b2 得 (3 a ? b ) y ? 2
2 2 2

消 去 x,

"计 算 量 大 "

3b c y ? 3b
2

4

? 0. 3b ( 2 a ? c )
2

解 得 y1 ?

?

3b ( 2 a ? c )
2

3a ? b
2

2

, y2 ?

3a ? b
2 2

2

.
2

"计 算 量 大 " 3b ( 2 a ? c ) 3a ? b
2 2

???? ??? ? ? A F ? 2 F B, ? y 1 ? 2 y 2 , 即 ?

3b ( 2 a ? c ) 3a ? b
2 2

? 2?

,

2 a ? c ? 2 ( 2 a ? c ) , 2 a ? 3 c ,? e ?

c a

?

2 3

.

( 2 ) 弦 长 公 式 :k 为 直 线 A B 的 斜 率 ) ( AB ? 1? k
2

( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ?
2

1 ? k ? x1 ? x 2
2

或 AB ?

1?

1 k
2

? y 1 ? y 2 .( k 不 存 在 时 , 用 另 法 求 解 )

? AB ?

1? 1

1 k
2

? y1 ? y 2 , 又 知 A B ? 3b ( 2 a ? c )
2 2

15 4

, 15 4 ①

?

1? (

3)

2

?
2

?

3a ? b
2

2

?

3b ( 2 a ? c ) 3a ? b
2 2

?



整理得 c a

8ab
2

3a ? b a ?b
2 2

2

?

15 4

. 5 9 5, y
2

?

?

?

2 3

,? b

2

?

a .

2



a

由 ① 和 ② 解 出 a ? 3, b ? ? 椭 圆 C的 方 程 为 5x 9
2

?

? 1.

5

2010年高考数学综述
2010年高考数学共19套试卷,除江苏省文理合卷 外,其余18个皆文理分卷,共计37份试卷。 2010年的高考数学命题,(1)立足基础,考查“双基”; (2)主干内容,重点考查;(3)突出能力,交叉综合; (4)注重应用,考查创新。 试题的六大特点: (1)主干知识突出化;(2)知识网络综合化; (3)思想方法主导化; (4)实际问题数学化; (5)新增内容工具化;(6)能力立意理性化。 2010年的高考数学命题,从知识网络的交汇点处命 题,在能力立意的前提下创新,立足基础,强化能 力。从理性思维的角度看,凸显了思维的灵活性、 深刻性、开放性、发散性、广阔性、探究性等。

在能力立意的前提下,数学试题的命题思路如下: (1)抽象函数,思维深刻—考查理性思维能力。 (2)自主学习,立竿见影—考查获取信息、提炼加工 及处理的能力。 (3)辨析正误,推理判断—考查思维的批判性及逻辑 推理的缜密性。 (4)动静结合,数形转化—考查数形结合和化归转化 能力。 (5)归纳猜想,揭示规律—考查归纳猜测和推理论证 能力。 (6)运动变化,直觉思维—考查空间想象和直觉思维 能力。 (7)读图识性,语言互化—考查多角度观察和数学语 言转换能力.

(8)分类分步,泾渭分明—考查运用分类讨论和适时整 合的能力。 (9)学科交汇,多向发散—考查横向联系和综合运用 能力。 (10)关注实际,重视应用—考查数学建模和解决实际 问题的能力。 (11)适度创新,引申拓展—考查探索创新能力。

函数是九大板块之一(函数、数列、三角函数、向 量、不等式、立几、解几、概率统计、导数),是知 识主干,常考常新,年年“涛声依旧”。 (1)定义域问题。 (2)求值问题。 (3)值域或最值问题。 (4)求解析式。 (5)性质(单调性、奇偶性、对称性、周期性)。 (6)反函数。 (7)图象(包括按向量平移)。 (8)函数与导数。 (9)分段函数。 (10)抽象函数。 (11)复合函数。

高考数学中的函数试题

关于三角函数—— 三角恒等变形、求值、三角函数的图象和性 质、解三角形是支撑三角函数的主干知识。 全面性:选择题、填空题、解答题中都有分 布。 基础性:没有偏难怪题,都是容易题和中档 题。 综合性:在向量、复数、不等式及导数等知 识的交汇处编拟试题。

关于抽象函数—— 抽象函数问题即没有给出具体的函数形式(或 虽给出具体形式,但考查目的更具有抽象意义) 的函数问题。它既考查了函数的概念和性质, 又考查了深层次的思维能力。这类问题是常考 不衰的热点题型。 (1)概念型。涉及抽象函数的有关概念,如函 数的定义及相关性质的试题。 (2)性质型。涉及“四性”(单调性、奇偶性、 对 称性、周期性)的试题。

(3)图象型。给出了图象(准确图或示意图), 要充分挖掘图象信息,数形结合。 (4)综合型。同时涉及多种概念及性质的综合 题,要充分利用“四化”原则(具体化、熟悉 化、 特殊化、直观化)加以解决。 求解时应注意以下几点: ①充分利用函数的“四性”。 ②重视“赋值法”的使用。 ③利用原函数与导函数图象的对应关系。 ④解抽象函数不等式,要转化成显性的不等 式求解。

> 首先要把不等式化为“f(△) f(*)”的形式,然后 < 再利用单调性将符号“f”去掉,得到显性不等式。

对2011年数学高考的认识
一、关于命题原则
普高数学科的考试,按照“考查基础知识 的同时,注重考查能力”的原则,测试中学数学 基础知识、基本技能、基本思想和方法,考查思 维能力、运算能力、空间想象能力以及运用所学 数学知识和方法分析、解决实际问题的能力。数 学科的命题,在考查基础知识的基础上,注重对 数学思想和方法的考查,注重对数学能力的考查, 在强调综合性的同时,重视试题的层次性,合理 调控综合程度,坚持多角度、多层次的考查。

数学考试的学科特点: (1)概念性强 (2)思辨味浓 (3)量化突出 (4)解法多样 数学学科的特点是高考数学命题的基础。显示 出“立意鲜明,背景新颖,设问灵活,层次清晰” 的特色。 1、强化主干知识,从学科整体意义上设计试题 考查考生对基础知识的掌握程度,是数学高考 的重要目标之一。对数学基础知识的考查,要

求既要全面,又要突出重点,重点知识是支撑学 科知识体系的主要内容,考查时要保持较高的比 例,并达到必要的深度。 知识的整体性是切实掌握数学知识的重要标志, 高考命题总是从学科整体意义的高度去考虑问题, 同时强调知识之间的交叉、渗透与综合。 在考查知识的同时,逐步加强对能力的考查, 要求考生对课程内容能够融会贯通,把重点放在 系统地掌握课程内容的内在联系上。

2、倡导通性通法,淡化特殊技巧,强调 数学思想和方法
高考考查中,共识的数学思想有: 函数与方程的思想, 数形结合的思想, 分类与整合的思想, 化归与转化的思想, 特殊与一般的思想, 有限与无限的思想, 或然与必然的思想。

*数学方法(可分为以下三类) (1)逻辑学中的方法 分析法(包括逆证法)、综合法、演绎法、归 纳法、反证法、穷举法等。 (2)数学中的一般方法 建模法、消元法、降次法、代入法、比较法、 图像法、坐标法、解析法等。 (3)数学中的特殊方法 配方法、加减法、公式法、换元法、待定系数 法、因式分解法、参数法、拆项补项法、平行 移动法、翻折法、判别式法、割补法、构造法、 同一法、特殊化法、数学归纳法等。

3、深化以能力立意,突出考查能力的导向
高考考查的重点是运用所学知识分析问题的 方法和解决问题的能力,因此命题切实避免了刻 板、繁难和偏怪的试题,避免死记硬背的内容 和繁琐的计算。 数学科命题以能力立意,对知识的考查侧重 于理解和应用,而不是简单的重现,特别注重 知识的综合性和灵活运用,在试题中增加思维 量,控制计算量。 命题坚持“贴近生活,背景公平,控制难度” 的原则。 重视新增加的向量、概率、导数等内容的应 用性。

在试题的设计上,体现了对能力的层次要求, 设计出不同解题思想层次的试题,使善于知识迁 移和运用思维块简缩思维的考生能用敏捷的思维 赢得时间,体现其创造能力,区分出不同的思维 层次。 高考对能力的考查,是以逻辑思维能力为核心, 尤其是数学理性思维,全面考查各种能力。

4、坚持考查数学应用意识
应用题是对考生“综合实力”的考查,是考查 能 力和素质的良好题型。

5、开放探索、考查探究精神、开拓展现创 新意识的空间
适当增加开放型试题,鼓励有创造性的答案, 是高考改革的原则之一。 高考试题的创新,既要体现在情境上,更要 体现在思维价值的高水平上。命题要求立意新、 情境新、思维价值高,给考生提供充分展示能力 的空间。 重视稳定性与创新性的关系,体现“新题不 难,难题不怪”的特点。

6、控制试卷难度,体现要求层次
《考试大纲》是高考命题的依据。 数学高考不同于数学竞赛。

高考与高中毕业会考也有实质性的区别,会考 是水平考试,高考是为高校选拔新生,必须从选 才角度出发。 根据教育测量学原理,大规模考试的整卷难度 在0.5左右最为理想。本年高考的整卷难度约控制 在0.55~0.60。

二、关于数学基础知识的考查
1、函数与导数 2、数列 3、不等式 4、三角函数 5、立体几何

6、解析几何 7、向量 8、概率 9、集合、常用逻辑用语、排列组合、二 项式定理、简单线性规划、概率 统计、复数、程序框图、三视图等。

三、关于数学能力的考查
1、思维能力 思维能力是数学学科能力的核心。 数学思维能力是以数学知识为素材,通过空 间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算

求解、演绎证明和模式构建等方面,对客观事物 中的空间形式、数量关系和数学模式进行思考和 判断,形成和发展理性思维,构成数学能力的主 体。 (1)演绎推理 (2)归纳推理 (3)直觉思维 (4)数学语言 2、运算能力 运算能力是思维能力和运算技能的结合。 对运算能力的考查主要是以含字母的式的运算为 主。估值和近似计算。

(1)运算的合理性 (2)运算的准确性 (3)运算的熟练性 (4)运算的简捷性 3、空间想象能力 空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽 象的能力,主要表现为识图、画图和对图形的想 象能力。 (1)根据条件作出正确的图形,并想象出 直观形象,分析出图形中基本元素及其相 互关系; (2)合理对图形进行分解、组合与变换;

(3)运用图形与图表等形象地揭示问题的本质; 利用空间向量的方法考查空间想象能力。 4、实践能力 实践能力是将客观事物数学化的能力。 对实践能力的考查主要采用解决应用问题的 形式。命题坚持“贴近生活,背景公平,控制难 度”的原则。 5、创新意识 创新意识表现为:对新颖的信息、情境和设 问,选择有效的方法和手段分析信息,综合与灵 活地应用所学的数学知识、思想和方法,进行独 立的思考、探索和研究,提出解决问题的思路,

创造性地解决问题。 在高考试题中,引进了新颖的或探索性试题, 以考查考生的探究能力。 高考对创新意识的考查控制在了一定的范围 和层次上,以避免脱离当前的中学教学实际。

四、关于考试形式与试卷结构
1、注重整体设计,发挥结构效应 高考试卷是由试卷和试题的结构组成的,试卷 的好坏取决于整张试卷产生的效应,而不仅仅是 个别试题产生的效应。试卷应有合理的知识结构 和能力层次结构,知识结构是指试卷中包含学科 各部分知识的比例,能力层次结构反映试卷对能

力要求的层次和比例。将知识内容、数学思想方法和 能力层次三者有机结合,并融入具体试题,才能发挥 结构效应,有效地全面考查考生素质。 本年的数学试卷结构的改革将有助于打破僵化的试 卷模式,形成生动、活泼、新颖、流畅的试卷布局, 同时也有助于突破固有的复习模式,打破背题型、套 套路的复习方法,进而摆脱“题海”战术的困扰。 2、合理确定试题难易比例,以提高试卷的区分能力 为使试卷有较强的区分能力,试卷必须有合理的难 易结构,合理的难易结构可以使试卷整体难度满足试 卷应具有的区分能力的要求。试卷中并非每道试题都 具有高区分度,但那些难度大的综合题应有高区分度,

这类试题多具有一定的深度和广度,知识点覆盖面大, 综合性强,考查的能力较高,其作用是让优秀的考生 得以脱颖而出,从而拉开档次,有效地区分考生。 试卷的整体难度控制在0.55~0.60,试卷标准差最 大,考生分数分布比较分散,区分度最强。 难度在0.7以上为容易题,0.4~0.7为中档题,0.4以 下为难题。试卷中易、中、难三种试题的比例为3:5: 2,选择题易、中、难为3:2:1,填空题为2:1:1, 而解答题不安排容易题,中档题和难题的比例为1:1. 试卷难度按两级坡度设计,整卷是一个大坡度,而 每种题型由易到难又是一个坡度。解答题变一题把关 为多题把关,最后三道题分别考查不同内容并设置一

定的关卡,以区分考生的综合能力。 3、控制试卷长度、卷面字数和计算量 试卷长度直接反映了试卷中的题目数量,题量过少 或过多,将会直接影响实现考试目标。同时选择题和填 空题不能太少,应有一定的深度和综合性。 控制运算量,试题尽量避免繁难的运算;增加考生 思考时间,便于考查出考生的潜能和素质。 卷面字数指卷面印刷符号数量和考生答卷书写字符的 总和。题目叙述应简单明了,不易用语言表达时,应配 补各种符号和图形,减少生活语言对数学语言的干扰, 使考生更多时间去理解题意,分析解决问题。

4、合理配置题型,发挥各种题型功能 题型和考试要求的关系是形式与内容的关系,不 同类型试题各有不同的功能。目前高考数学考试选用 的题型主要有四选一的选择题、填空题和解答题。选 择题和填空题属于客观题,而解答题属于主观题。这 三种题型占全卷的比例大致是40%、10%和50% (各地 的试卷在40%、10%上有所变动)。三种题型的前半部分 试题的难度比较低,便于考生入手,增强信心,进而提 高全卷的平均分。 数学科有近200个知识点,为达到60%~70%的覆盖 面,必须有一定数量的选择题以增加全卷题目数量, 提高覆盖率,再者机器阅卷,则速度快、误差小、效 率高,因为面对的是近千万的考生。当然,现在对选

择题的功能还存在着很大的争论。而解答题则可真正 发挥其考查综合分析、逻辑推理等高层次复杂思维过 程的功能。 5、关于文、理科试卷的区别与联系 文理科考试内容和要求有较大的差别。在导数部 分,文科只有多项式函数的导数;在概率统计部分, 文科只含统计的内容,包括抽样方法,总体分布的估 计,期望和方差的估计等,而理科要求包括:离散型 随机变量的分布列、期望与方差,抽样方法,总体分 布的估计,正态分布,线性回归等。 目前对文科的要求在逐渐提高,但文理试卷在难度 上还是有差别的,试卷中交叉公用的部分多为中档题。

新课标高考试卷的特征
1、原增加内容:向量、简单线性规划、概率与统计、 导数等,试题都有所涉及。 新课标中应重视的内容: (1)必修1:函数, (2)必修2:三视图, (3)必修3:程序框图,随机抽样,用样本估计总体(频 率分布表、频率分布直方图、频率折线图、茎叶图), 变量的相关性、散点图,概率 (4)必修4:向量(与其他数学分支的融合),三角函数。 (5)必修5:解三角形、数列、不等式(一元二次不等式、 a?b 简单线性规划、均值不等式 2 ? a b a , b ? 0 )

(6)选修1-1 常用逻辑用语(命题及其关系、四种命题、 充要条件、“或”“且”“非”逻辑联结词、全部量 词与存 在量词、命题的否定) ,导数。 (7)选修1-2 统计(常见的统计方法),直接证明与间接 证明(反证法),复数,流程图(程序框图)。 (8)选修2-1 常用逻辑用语、空间向量。 (9)选修2-2 导数、定积分、推理与证明、复数。 (10)选修2-3 排列组合、统计与概率、n次独立重复试 验、二项分布、离散型随机变量的均值(期望)、方差、 正态分布。 (11)选修4-1几何证明选讲, 选修4-2矩阵与变换

选修4-5不等式选讲(绝对值不等式), 数学归纳法、反证法、证明不等式的放缩法。 以上在高考中均时时出现。 2、从2002年起,新增内容的考查形式和要求都有了 新的变化,向量、导数等已经由前两年只是解决问 题中的辅助地位上升为分析和解决问题时必不可少 的工具,成为综合运用数学知识和方法,多角度展 开解题思路的重要命题素材。 3、在立体几何部分,2000年、2001年和2002 年设置 的是利用传统解法和空间向量解法并列的两道解答 题,并且将空间向量解法的试题排在前面,考生任 选其一;而在2003年以后则为同一个题目,由考生 自己选择不同的方法求解,所谓“一题两法”。

4、试题中,往往通过新增内容与传统内容的结合命 题,重视二者的整合,充分展示了新课程的理念和 实用价值。增强了试题的综合性和能力考查力度, 突显了在解决问题中的独特功能。 5、对新增内容的要求,主要是让考生熟知其基础知 识和基本方法,掌握其基本概念、基本运算和简单 应用,而对体系的完整性和理论的严格证明及相关 的严谨性不作过高的要求,重在突出其应用价值。 试题对新增内容的考查虽然在向纵深发展,但并未 出现随意拔高的现象。

近几年高考数学试卷特点
1、淡化知识覆盖率。全面考查但又不刻意追求 知识的覆盖面,试题是高中数学知识点的抽样, 不回避以前考过的重点内容,重点知识重点考 查,并达到必要的深度。不求知识点面面俱到, 而求能力逐步到位;不求试题的知识容量,而 强调试题的思维质量;考查内容不以知识为主 线,而是以能力为主线,形成能力、方法、知 识三大部分的试卷框架结构。 2、多题把关而非整题把关,适当降低压轴题的 难度,变知识压轴为能力压轴。

3、降低试题的入口难度,入口宽,切入点容易。 “入门容易深入难”、“面上容易点上难”, 圆满解决得高分不易。 4、在知识网络的交汇点处命题,小中见大,不 单打一。 5、试卷长度适当缩短,给考生多留些思考时间。 6、减少计算量,增加思维量。“多考一点想, 少考一点算”。 7、掌握通性通法,淡化特殊技巧。 8、开放性、探索性试题的比例增加。打破条件、 结论都是惟一确定的试题模式,思路多角度, 解答多元化,拓宽思维空间,运用学过的知识,

通过观察、试验、联想、演绎、归纳、类比、 分析、综合等思维形式,进行探索和研究。 9、创设新的情景,开拓新领域,考查学会学习 的能力、潜能及后继学习的能力。 10、选择题有繁、简多种解法,提供了发展个性 的思维空间,以利于区分不同的思维层次。 11、对信息检索和数据处理能力的要求增强。 12、创设新的设问方式,如设问的逆向形式、否 定形式。 13、填空题是“高考改革的试验田”出现新颖脱 俗、令人耳目一新的新题型。

14、解答题一题多问,层层递进,以论证为主,以 数学理性思维为核心,突出对能力、素质的考查。 15、加大对教材新增内容(向量、概率、导数等)的 考查力度,突出应用价值。新增内容与原有内容整 合,构筑了命题的新颖载体。

从2010年高考看2011年高考
*2008年全国普高本专科计划招生599万人,比2007年 增长5%。其中本科占300万人,高等职业教育299万 人。在中国高校招生历史上,首次实现高职与本科 招生计划基本相当。 2009年我国高考报名人数首次下降:2009年全国 普通高校招生报名人数约为1020万,其中应届毕业生 834万,比上年减少3.8%。有84万放弃参加高考,应 届毕业生实际报名人数为750万,主要原因是全国适 龄人口总量减少。 2010年高考全国报名人数为946万余人,计划招生 657万人,比2009年增加3%。

*我国将进入高考人口高峰期。 2008年10月7日,教育部召开我国高考发展及改革情 况的新闻发布会。自1999年实施高校扩招至2008年, 我国高考事业发展迅猛,十年招录大学生4010万人。 1977年恢复高考,当年考生570万,录取27万,到 2008年全国考生首次达千万,录取人数约600万。 2009年1月10日,从教育部获悉,本年全国普通高 校本专科招生计划安排629万人,在我国高考历史上 首次超过600万人,比2008年增长4%。同时加大“支 援 中西部地区招生协作计划”的力度,计划安排6万人, 比去年增加2.5万人。教育部负责同志指出:努力缩小 区域发展差距,促进区域协调发展和高等教育入学机 会公平。

*教育部学生司副司长姜钢在会上说:我国将进入18 至20岁人口高峰期,未来几年每年高考报名人数都将 保持或超过1000万,高考招生难度和结构性矛盾将有 所增加。姜钢说:防打高考高科技作弊的难度在加大, 而社会对维护高考“绿洲”的期望越来越高,所以高考 招生的工作难度也在加大。 * 2009年9月11日,原教育部部长周济在国新办新闻 发布会上表示,高等教育的毛入学率是23.3%, 接近 24%,中国高等教育迈入大众化阶段,接近发达国家水平。 即使不增长,今后10年,由于人口因素的变化,中国高 等教育的毛入学率大概可以增加10%左右。

*我国初中毕业生的人数已从最高峰的每年2500多万, 降到今年的1800多万,今后10余年,初中毕业生人数 会保持在1700万~1800万之间,我们现在能够说基本上 已经解决了让孩子们有学上的问题,今后我国各级各 类教育的重点是提高教育质量。教育部估计,今后每 年高考的报名人数将稳定在1000万左右。 *关于扩招问题 连续几年扩招后,国家决定稳定规模,重点提高教 学质量。从2007年开始,教育部决定高校扩招比例不 得高于5%。2008年10月9日,教育部召开新闻发布会, 有关负责人指出: 2009年限定4%,2010年限定3%。

我国高等教育大规模扩招始于1999年,当年从1998 年的108万人扩大到159万人,之后连续几年扩招,到 2005年已达504万人。2008年全国普高招生人数达600 万人,2009年达629万人,2010年达到657万人, (研 究生53.4万人)。 *2008年自主招生新增试点高校达68所。 2008 年教育部推出新政:凡是生源质量好的高校, 自主招生将不再受5%比例的限制。也就是说,从2009 年起,教育部取消了自主招生5%的比例限制。 2009年自主招生高校又增添8所,共计有76所。

*2010年,清华大学、上海交通大学、中国科学技 术大学、西安交通大学、南京大学、浙江大学、中国 人民大学七校联手自主招生。 *2010年11月27日,北京大学、北京师范大学、北 京航空航天大学、南开大学、复旦大学、厦门大学、 香港大学、中山大学、武汉大学、四川大学、山东大 学、兰州大学和华中科技大学13所大学于2011年将举 行自主选拔联合考试。 *2010年11月30日,北京交通大学、北京科技大学、 北京邮电大学、北京林业大学和北京化工大学五所大 学在2011年实施自主招生联考。

*2010年12月1日,北京理工大学、大连理工大学、 东南大学、哈尔滨工业大学、华南理工大学、天津大 学、同济大学、重庆大学和西北工业大学九所高校在 2011年实行自主选拔录取联考。 * 2009年底,北京大学正式推出“中学校长实名推 荐制”,率先在全国13个省份的39所中学进行试点, 共有90名学生获得推荐资格。北大决定2011年在全国 推广,获得资格的161所中学及其校长名单在北大招 生网上公示。 *2011年,香港大学在内地计划招生本科生250~300人。 *2011年11月19日,教育部等五部委联合发文,对 高考加分项目进行调整。

①除了高中阶段获得全国奥赛(数学、物理、化学、 生物、信息学)决赛一等奖并入选中国科协的国际奥 赛国家队集训的学生保留保送资格外,奥赛的全国决 赛、省级赛的获奖者都不再具备保送资格。 ②高中阶段获得奥赛全国决赛一、二、三等奖的学生, 应届毕业当年由生源所在地省级高招办决定是否增加 不超过20分向高校投档;获得奥赛省赛区一等奖的学 生,不再具备高考加分资格。 新政策将从2014年高考开始执行。 *2010年11月25日,教育部新闻发言人说,从2011 年开始,所有原来单独命题、单独招生的小语种招考 方式都将取消,所有学生统一参加高考,在全国统考 生源内在提前批次或正常批次录取。

*2010年11月,根据《国家中长期教育改革和发展纲 要规划纲要(2010年-2020年)》的要求,国家教育 咨询委员会成立,这是对国家重大教育改革发展政策 进行调研、论证、评估的咨询机构,也是我国教育史 上首次设置的专门机构。 *2010年12月17日,第五届华人数学家大会在人民 大会堂开幕,并颁发了大会最高奖项——晨星数学奖 密歇根大学教授邬似珏摘得金奖,成为首位获得该奖 项的女数学家。 对于中国小学生奥数热的问题,大会评委会主席、 著名数学家丘成桐表示,数学是做研究,奥数是做题 目,两者一点关系都没有。邬似珏认为,奥数的学习 会抹杀孩子的创造力。

*关于春季高考——自2000年起,北京、上海、安 徽、内蒙先后推行“春季高考”。从2006年起,北京 取 消 “春季高考”,北京是继安徽、内蒙之后第三个 宣布 取消“春季高考”的地区。 叫好不叫座。 *2009年2月7日《国家中长期教育改革和发展规划纲 要》办公室举行新闻发布会,提出将就社会关注度高、 影响教育改革发展全局的20个重大问题继续公开征求 意见,其中包括是否取消高中文理分科等问题。 起草耗时一年半,经过40多轮修改,组织过1500

字的调研报告,2010年2月28日《国家中长期教育改 革和发展规划纲要》征求意见稿对外公布。教育部 详解高考改革方向,以下几点尤为引人注意: (1)高考文理分科十年之内必改高中文理分班、高 考文理分卷、大学文理分科导致了应试教育的种种弊 端:高考不考的科目学完一门扔一门,学生知识面不 全,视野狭窄,不利于人才培养。但马上取消,还不 太现实。 (2)单科多次考试,首先考虑英语 高考“探索有的科目一年多次考试的办法,探索实 行社会化考试”。最先具备条件的是英语考试。但应 做到公开公正透明。

(3)16省市单独命题有望逐步结束 “完善国家考试科目试题库”,为全国统一命题 提 供了可能性,但这与过去的“全国一张卷”不尽相 同。 将来各省可在国家级的试题库范围内命题,既减少 了各省单独命题的成本,又使各省仍然拥有一定的 命题灵活性。 (4)高考改革的制度设计 三句话:分类考试,综合评价,多元录取。 ①分类考试:本科院校实行全国统一考试,专科 (高职高专)由各省组织考试招生。

②除考试分数外,还要建立高中学业水平考试和中 学阶段的综合素质评价,这两项将会作为选拔学生 的依据。 ③多元录取:自主录取,推荐录取,定向录取,破 格录取。 *2010年3月5日,十一届全国人大三次会议开幕, 温家宝总理作政府工作报告。他提出的教育领域五 个工作重点是: (1)推进教育改革 (2)促进义务教育均衡发展 (3)继续加强职业教育 (4)推进高校管理体制和招生制度改革 (5)加强教师队伍建设。

这五点充分体现了《国家中长期教育改革和发展规划 纲要》的20字方针:“优先发展,育人为本,改革创 新,促进公平,提高质量”。 2010年7月29日,《国家中长期教育改革和发展规 划纲要(2010-2020年) 》公布。十年目标是: (1)基本普及学前教育; (2)巩固提高九年义务教育水平; (3)普及高中阶段教育,毛入学率达到90%; (4)高等教育大众化水平进一步提高,毛入学率达到 40%; (5)扫除青壮年文盲;

(6)继续教育参与率大幅提升,从业人员年参与率达 到50%; (7)全面提高少数民族和民族地区教育发展水平; (8)到2020年,基本实现市(地)和30万人口以上、残 疾儿童少年较多的县(市)都有一所特殊教育学校。 《纲要》提出,“一考定终身”的招考制度将逐步改 变,实施择优、自主、推荐、定向、破格等方式多元 录取。拟在10年内缩小上大学机会的区域差距形成更 加公平、公正、透明的人才选拔平台。

*2009年11月20日,教育部公布了2008年全国教育经 费执行情况统计公告:我国的教育经费占GDP比例 为3.48%;2009年国家财政性教育经费占GDP的比例 为3.59%。 1993年,中共中央、国务院颁布的《中国教育改 革和发展纲要》中提出了“财政性教育经费占 GDP4%” 的目标,要求“逐步提高国家财政性教育经费支出占 国内生产总值的比例,本世纪末达到4%”,但到了 2000年,这一目标并未实现。 2006年全国人大通过的《国民经济和社会发展第十 一个五年规划纲要》规定,“保证财政性教育经费的 增长幅度明显高于财政经常性收入的增长幅度,逐步 使财政性教育经费占国内生产总值的比例达到4%”。

*中共中央、国务院召开的全国教育工作会议2010年 7月13日至14日在北京举行。胡锦涛就推动教育事业 科学发展提出5项要求:(1)必须优先发展教育(2)必须 坚持以人为本(3)必须坚持改革创新(4)必须促进教育 公平(5)必须重视教育质量。温家宝特别指出,到 2012年实现教育财政性支出占国内生产总之的4%的 目标,这表明了党和政府推动教育改革和发展的坚 定决心。 *温家宝总理教师节前夕在北师大的讲话: “学校的大门是向人人开的。让所有贫困家庭的子 女都能上学,真正享有教育的平等权利,这就是穷 人教育学。”

*原教育部部长周济在纪念恢复高考30年的会议上说: “现在高考在我国还是行得通的,是一个非常公平的 制度,因此不会取消高考。但确实存在很多问题,要 积极慎重地进行改革。 *2009.10.31十一届人大十一次会议,任命袁贵仁为教 育部部长,原部长周济另有任用,任中国工程院院长。 *2009.11.7 新任教育部长袁贵仁在河北邯郸举行的 “全 国推进义务教育均衡发展现场经验交流会”上,重点 研 讨五个问题:“提高教师素质”、“提高教师待遇”、 “实 现素质教育”、“治理校官腐败”、“解决教育公

*教育部明确表示:反对教育产业化。 *教育发展的不平衡直接影响到起点的公平。社会主 义和谐社会的重要内容是公平正义。而教育公平是社 会公平的重要基础。社会学理论认为,要实现社会公 平,就要做到起点公平、过程公平、结果公平。 *在党的十七大报告中:“努力使全体人民学有所教、 劳有所得、疾有所医、老有所养、住有所居”,把 “学有 所教”放在了“五个有”的第一位。 *2009年8月25日,教育部政策法规司司长孙霄兵, 就新中国成立60年科教事业发展接受访谈,他说:我 个人不赞成上学难、上学贵的提法,但是我对于大家

希望“上好学”的愿望很理解,这也是教育部门今后 努 力的方向。他表示,发展教育一方面要保障在基本教 育上做到公平,比如九年义务教育,但也要考虑到个 性和才能的差异,还要考虑到教育深化改革中满足不 同人群的不同教育需求。教育一方面是促进社会公平, 另一方面也有促进就业,让受教育者获得今后经济 收益的功能。对于后一种功能,国家不可能包下来, 需要个人、家庭的努力。因此,在谋求基本教育公平 的同时,要为社会广大成员提供多种教育机会,这也 需要个人和家庭分担一定的教育成本,这也有利于满 足部分人的特殊需求,这种要求是公平的、合理的。

*严肃考纪,以法治考,构建“公平、安全、和谐”的局 面。 从2005年起,将考生违规事实及处理结果记入考生 电子 档案,并统一用字母W记录,与高校决定是否录取 挂钩。 从2006年起,被高校录取的大学生将全部实施学籍 电子注册。 从2007年起,教育部将实施部、省两级国家教育考 试诚信档案网络管理。 教育部发布高考“五项禁令”: 2009年6月6日,教育部对考生发出“五条禁令”, 向 高考舞弊行为发出警告。

(1)严禁高一高二在校生参加高考; (2)严禁利用无线通讯工具作弊; (3)严禁组织或参与群体性舞弊; (4)严禁由他人代替考试或代他人考试; (5)严禁骗取高考报名资格参加考试。 违规考生将取消考试资格,有关人员将依法依纪处理。 * 2009年5月,国家民委、教育部、公安部联合下发 通知:考生违规变更民族,录取资格将被取消。

* 2010.9.2 教育部新闻发布会: 今后三年将推进中小学教师准入制度改革,建立教 师资格定期登记制度,近期即将启动改革试点。按照 规划纲要的要求,建立“国标、省考、县聘”的教师 资格 准入制度和管理机制,即国家制定教师资格考试标 准,省一级教育行政部门统一组织教师资格考试和教 师资格认证,县一级教育行政部门组织教师公开招聘。 逐步实行城乡统一的中小学编制标准,对于农村边远 地区实行倾斜政策。 *2010年11月18日,教育部社科司副司长张东刚介绍, 自1999年高考扩招以来,全国大学生招生规模增加了 五倍,但教师数量增加不足两倍,目前教师数量严重 不足。

*2009年6月2日,教育部考试中心主任戴家干在新闻 通气会上说:从2006年启动的建设国家教育考试题库工 程,目前已经完成了一期工程,题库在高考命题中发挥 了重要作用。全部三期工程将在2013年完成。 * 2010年10月12日,教育部新闻办证实,教育部正在 调研是否更改高考时间,如形成结论将向社会公布。原 来是固定在每年6月7、8、9日,有人建议可将高考改为 每年6月第一个周六、周日,但各方看法不一。

* 2011年1月9日,教育部已确定了高考改革方案,改 革内容包括: (1)实施把普通本科和高等职业教育入学考试分开的人才 选拔方式; (2)完善高中学业考试和综合素质评价,引导学生学好各 门功课,克服文理偏科现象; (3)部分科目实行一年多考,减轻学生高考压力; (4)完善高考招生名额分配办法,规范升学加分政策,维 护考试招生公平公正; (5)加快建立多渠道升学和学习的“立交桥”,为学生成 长 提供多次选拔机会。

*关于2011年的数学高考 *“稳定是主流,改革是方向”、“稳中求变求 新”、 “无缝衔接,平稳过渡” 。 高考数学科的考试,按照“考查基础知识的同时,注 重 考查能力”的原则,确立以能力立意命题的指导思想, 将知识、能力、素质融为一体,全面检测考生的数学素 养。数学科考试,既考查中学数学知识和思想方法,又 考查进入高校继续学习的潜能。总之,突出对能力、思 维品质、创新意识和实践能力的考查,是高考改革的精 髓,是今后高考的指导思想。 数学科的特点:“概念性强,思辨味浓,量化突 出,解法多样,应用广泛”,这是命制高考数学试题的

*四个坚持、三个转变、一个过渡。四个坚持: (1)坚持命题以能力立意不会变; (2)坚持在知识网络交汇点处命题不会变; (3)坚持考查重点内容和主干知识不会变; (4)坚持考查数学思想方法、创新意识和实践能力不会变。 三个转变: (1)变以“淘汰”作为基本特征为以“成功”作为基本特 征; (2)变考查学生“不会什么”为考查学生“应学会什么”; (3)变设置陷阱从“反面”考查学生为突出思维品质从 “正面”考查学生。 高考是考查考生的基础知识、基本思想方法和相关的 能力,而不是专门找考生的毛病。 一个过渡:新旧衔接,平稳过渡。

考查数学思想 和数学方法

倡导通性通法,淡化特殊技巧,强调数学 思想和方法
高考考查中,共识的数学思想有: 函数与方程的思想, 数形结合的思想, 分类与整合的思想, 化归与转化的思想, 特殊与一般的思想, 有限与无限的思想, 或然与必然的思想。

*数学方法(可分为以下三类)
(1)逻辑学中的方法 分析法(包括逆证法)、综合法、演绎法、归 纳法、反证法、穷举法等。 (2)数学中的一般方法 建模法、消元法、降次法、代入法、比较法、 图像法、坐标法、解析法等。 (3)数学中的特殊方法 配方法、加减法、公式法、换元法、待定系数 法、因式分解法、参数法、拆项补项法、平行 移动法、翻折法、判别式法、割补法、构造法、 同一法、特殊化法、数学归纳法等。

数学中常用的思维方法
1、分析与综合 2、归纳与演绎 3、比较与类比 4、抽象概括与猜想 5、特殊化与一般化 6、联想与想象 7、灵感与顿悟 8、直觉思维

最 值(函数与方程)
*(2005年 浙 江 理 8) 已 知 k ? ? 4 , 则 函 数 y ? c o s 2 x ? k ( c o s x ? 1)的 最 小 值 是 ( A )1 ( B )- 1 (C )2 k + 1
2

( A )

( D )- 2 k + 1

解 : y ? c o s 2 x ? k ( c o s x ? 1) ? 2 c o s x ? k c o s x ? k ? 1 . 设 t ? c o s x , t ? [ ? 1, 1] , g ( t ) ? 2 t ? k t ? k ? 1 . " 等 价 转 化 "
2

抛物线开口向上,对称轴t ? ? ? k ? ?4, ?t ? ? k 4 ? g ( t ) 在 t ? [ ? 1, 1] 上 是 减 函 数 . ? ?

k 4 ?4 4

. ? 1,

? g ( t ) m in ? g (1) ? 2 ? 1 ? k ? 1 ? k ? 1 ? 1, 即 y m in ? 1 .
2

选 A.

导 数(图像信息题?数形结合)
* ( 2 0 0 4 年 浙 江 理 1 1) 设 f '( x ) 是 函 数 f ( x )的 导 函 数 , f '( x )的 图 像 最 有 可 能 的 是 ( C )
0 1 2 x

y

y=f’(x)

y

y

y

y

0

1

2

x

0

1

2

x

0

1

2

x

0

1

2

x

(A)

(B)

(C)

(D)

解 : 导 函 数 的 图 像 是 一 条 与 x轴 相 交 且 过 点 ( 0 , 0 ) 、 ( 2 , 0 ) 的 抛 物 线 , f '( x ) 是 由 正 到 负 再 回 到 正 的 过 程 , 因 此 f ( x ) 是 从 递 增 到 递 减 再 回 到 递 增 的 过 程 , 这 样 就 排 除 了 (B)和 (D)。

观 察 y = f '( x )的 图 像 , 可 知 当 x ? ( ? ? , 0 )时 , f '( x ) ? 0 , f ( x ) 为 递 增 ; 当 x ? ( 0 , 2 )时 , f '( x ) ? 0 , f ( x ) 为 递 减 ; ( * ) 当 x ? ( 2 , ? ? )时 , f '( x ) ? 0 , f ( x ) 为 递 增 . 选 择 支 (A)与 (*)不 符 合 , 进 而 又 排 除 了 (A),只 有 (C)符 合 题 意 。 另 解 : 使 f '( x。 ? 0 的 点 x。 叫 做 函 数 f ( x )的 驻 点 ( 稳 定 点 、 临 界 点 ) . ) 函 数 y = f ( x ) 在 点 x。 处 的 导 数 的 几 何 意 义 是 曲 线 y ? f ( x ) 在 点 ( x。 , f ( x。) 处 的 切 线 的 斜 率 . 若 f '( x。 ? 0 , 则 在 点 ( x。 , f ( x。) 处 ) ) ) 的 切 线 的 斜 率 为 0, 在 该 点 处 的 切 线 与 x 轴 平 行 。 本 题 在 点 x = 0 、 x = 2 即 点 ( 0 , f ( 0 ) ) 、2 , f ( 2 ) ) 处 的 切 线 斜 率 为 0 , ( 切 线 与 x轴 平 行 ." 可 导 函 数 f ( x )在 极 值 点 处 的 导 数 为 0 (但 导 数 为 0 的 点 不 一 定 都 是 极 值 点 ) ". 观 察 选 择 支 , 先 排 除 (A)、 (B), 进 而 结 合 f '( x ) ? 0 和 f '( x ) ? 0 再 排 除 ( D ) . 选 (C).

三角函数(分段函数、数形结合)
*(2005年 上 海 理 10) 函 数 f ( x ) ? s in x ? 2 s in x , x ? ? 0 , 2 ? ? 的 图 像 与 直 线 y = k 有 且 仅 有 两 个 不 同 的 交 点 , 则 k的 取 值 范 围 是 (1,3) .

解 : 由 f ( x ) ? s in x ? 2 s in x , x ? ? 0 , 2 ?

?
y

? 3 s in x , x ? ? 0 ,? ? , ? ? ? ? ? 得 f (x) ? ? 其图像如图所示. ? s in x , x ? ( ? ,2 ? ] . 3 ? ? 直 线 y ? k 是 与 x轴 平 行 的 直 线 系 . ? 函 数 f ( x )的 图 像 与 直 线 y ? k 有 且 仅 有 两 个 不 同 的 交 点 , 1 ? k ? 3 , 即 k ? (1, 3 ) ?

y=3

1 0 0
л

y=1
2л x

不等式(数形结合?无图考图)
*(2007年 江 西 理 5) 若0 ? x ? ( A ) s in x ?

?
2

,则 下 列 命 题 中 正 确 的 是 3 ( B ) s in x ? 3

( D ) 4
2

?

x

?

x

( C ) s in x ?
y

?

2

x

( D ) s in x ?

4

?

2

x

2

解:数形结合. 抛 物 线 y= 4 4 x 经 过 点 (0 , 0 )和 (
2

?
2

?

2

, 1) ,
1

作 出 y=

?

2

x 和 y ? s in x 在 ( 0 , ) 2
2

?

内 的 图 象 , 则 知 s in x ?

4

?

2

x . 选 D.

2

0

?
2

x

解 析 几 何(数形结合)
*(2010年 湖 北 理 9) 若 直 线 y ? x ? b与 曲 线 y ? 3 ? ( A ) ? ? 1, ? 2 1 ? 解:由y ? 3?
2

4 x ? x 有 公 共 点 , 则 b的 取 值 范 围 是
2

( C ) 2,? 3 ?

2? ?

( B ) ?1 ? 2 ?
2

2, ? 2 1

2? ?

( C ) ?1 ? 2 ?

2, ? 3 ?

( D ) ?1 ? ?

4 x ? x 知 0 ? x ? 4 ,1 ? y ? 3,
2

y

变 形 为 ( x ? 2 ) ? ( y ? 3) ? 4, 该 曲线为半圆,如图中实线所示。 y ? x ? b 是 斜 率 为 1、 截 距 为 b的 直 线 , 当 直 线 过 点 ( 0 , )时 , b 最 大 , b m a x ? 3 . 3 当直线与圆相切时,得知 2?3?b 1 ? ( ? 1)
2 2

3 2 1
? 2,

·

0

1 2

3

4

x

解出b ? 1? 2

2 .由 图 可 知 , b m in ? 1 ? 2 2, ? 3 ?

2, 选 C.

? b的 取 值 范 围 是 ? 1 ? 2 ?

分离变量,利用函数单调性解题(化归与转化)
* (1 9 9 0 年 广 东 高 考 试 题 ) 已 知 函 数 f ( x ) ? lg 求 a的 取 值 范 围 . 解 : f ( x )有 意 义 , 必 须 满 足 ? a ? ?( ? y ? ( 1 4 1 4 ) ,y ? (
x

1 ? 2 ? 4 ?a
x x

3

, 其 中 a ? R .如 果 当 x ? ? ? ? , 1 ? 时 , f ( x ) 有 意 义 ,

1 ? 2 ? 4 ?a
x x

? 0 ? 1 ? 2 ? 4 ?a ? 0
x x

3 ) ?(
x

1 2 1 2

) ? a ? g ( x ) m ax , 其 中 g ( x ) ? ? (
x x

1 4

) ?(
x

1 2

) , x ? ? ? ? ,1?.
x

) 在 R 上 是 单 调 递 减 函 数 , g ( x )在 R 上 是 单 调 递 增 函 数 , ? 1 4 ? 1 2 ? ? 3 4 ,? a ? ? 3 4

g ( x ) 在 ? ? ? , 1 ? 上 也 是 单 调 递 增 函 数 . 故 g ( x ) m a x ? g (1) ? ? 即 实 数 a的 取 值 范 围 是 ( ? 3 4 , ? ? ).

,

不等式恒成立的问题(化归与转化)
*(2010年 天 津 理 16) x ?3 ? 2 设 函 数 f (x) ? x -1,对 任 意 x ? , ? ? ? , f ( ) ? 4 m f ( x ) ? f ( x ? 1) ? 4 f ( m ) ?2 m ? ?
2

恒 成 立 , 则 实 数 m的 取 值 范 围 是 x m 则 1 m
2

? 3? ? 3 ? , ?? ? ?? , ?? ? ? 2 ? ? 2 ?
2

? ? ? ?

.

解 : 已 知 f ( x ) ? x - 1, f (
2

) ? 4 m f ( x ) ? f ( x ? 1) ? 4 f ( m ) , x m
2 2

x m

2 2

? 1 ? 4 m ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? 1 ? 4 ( m
2 2 2 2

2

? 1), 即

? 4m x ? x
2 2

2

? ? 2 x ? 3,

? 4m

?1? 1

?2 x ? 3 x
2 2

." 分 离 参 数 " ?2 x ? 3 x
2

依 题 意 , 2 ? 4m m

?1?

?3 ? 对x? , ?? ? 恒 成 立 . ? ?2 ?

设 g(x)=

?2 x ? 3 x
2

, 2 x ? ? 3( 1 x
2

则 g (x) ? ? ? x? 1 x

3 x
2

?

?

2 3x

) ? ? 3(

1 x

?

1 3

) ?
2

1 3

.

1 2 ?3 ? , ? ? ? ,? 0 ? ? , ?2 x 3 ? ? ? 2 3 时 , g ( x ) m in ? ? 3 ? 1 ?
2

?当

1 3

? ?

8 3

.

从而只需 整 理12m 得 知 (4 m
4

1 m
2

? 4m
2

2

?1? ?

8 3


2

? 5m

? 3 ? 0 , (3 m
2

? 1) ( 4 m 3 2

2

? 3) ? 0,

2

? 3) ? 0, m 3

?

3 4

, m ?

, ? ?. ? ?

? m ? ?

或m ?

2

? 3? ? 3 .? 实 数 m的 取 值 范 围 是 ? ? ? , ? , ?? ?? ? ? 2 2 ? ? 2 ? 3

解三角形(化归与转化)
*(2010年 上 海 理 18) 1 1 某人要制作一个三角形,要求它的三条高的长度分别为 , , , 13 11 5 则此人 ( D ) ( B )能 作 出 一 个 锐 角 三 角 形 ( D )能 作 出 一 个 钝 角 三 角 形 1 1 , , 对 应 的 边 为 a,b, c, 13 11 5 1 1

( A )不 能 作 出 这 样 的 三 角 形 ( C )能 作 出 一 个 直 角 三 角 形 解 : 假 设 能 作 出? A B C, 又 设 高

? A B C的 面 积 为 S, 则 a ? 26 S , b ? 22 S , c ? 10 S , 显 然 a是 最 大 边 . 由 余 弦 定 理 得 cosA= b ? c ? a
2 2 2

? 23 110

( 2 2 S ) ? (1 0 S ) ? ( 2 6 S )
2 2

2

2bc ? ? 92 440 ? ? ? 0,

2 ?2 2 S ? 0 S 1

? ? A为 钝 角 . 说 明 : 关 键 是 把 三 边 的 高 的 关 系 转 化 为 边 的 关 系 . 选 D .

抽象复合函数(化归与转化)
*(2004年 浙 江 文 理 12) 设 f ( x )和 g ( x )都 是 定 义 在 实 数 集 R 上 的 函 数 , 且 方 程 x ? f [ g ( x )] ? 0 有 实 数 解 , 则 g [ f ( x ) ]不 可 能 是 ( B ) ( A)x +x ?
2

1 5

(B )x +x ?
2

1 5

(C ) x ?
2

1 5

(D )x +

2

1 5

解 : 方 程 x ? f [ g ( x ) ] ? 0 有 实 数 解 ? x ? f [ g ( x ) ]有 实 数 解 ?

?

u? g (x) 有 实 数 解 ? u ? g [ f ( u ) ]有 实 数 解 x ? f (u )

“ 元法 换 ”

即 g [ f ( x )] ? x有 实 数 解 . 将 各 选 择 支 代 入 验 证 , 知 (A)、 (C)、 (D)均 有 实 数 解 , 只 有 (B)x +x ?
2

1 5

? x即 x +
2 2

1 5 1 5

? 0无 实 数 解 .

? g [ f ( x ) ]不 可 能 是 x + x ?

选 B.

另 解 : 已 知 方 程 x ? f [ g ( x ) ] ? 0 有 实 数 解 , 不 妨 设 x。 R , 是 它 的 解 , ? 则 f [ g ( x。] ? x。即 g ( x。在 f 下 的 象 为 x。, ) ( ) ) 从 而 有 g { f [ g ( x。] } ? g ( x。.这 说 明 方 程 g [ f ( x ) ] ? x 有 实 数 解 g ( x。. ) ) ) 观 察 题 目 中 的 四 支 选 择 支 : 发 现 (B )x +x ?
2

1 5

? x即 x +
2

1 5

? 0无 实 数 解 ,

其余三个均有实数解. ? g [ f ( x ) ]不 可 能 是 x + x ?
2

1 5

选 B.

注:考查映射及函数的概念,以及如何利用函数思想分析解决问题. 本题思维量大,重在对思维品质的考查。 本题对文科考生相对难些。

*集合·排列组合(分类与整合)
*(2006年 全 国 Ⅰ 理 12) 设 集 合 I = ?1,,,,? , 选 择 I 的 两 个 非 空 子 集 A 和 B , 要 使 B 中 2 3 4 5 最 小 的 数 大 于 A中 最 大 的 数 , 则 不 同 的 选 择 方 法 共 有 ( B ) ( A )5 0 种 ( B )49种 (C ) 4 8种 ( D )47种

解 : 分 类 讨 论 , 按 A中 最 大 数 可 分 为 四 类 : ( 1 ) 当 A 中 最 大 数 为 1 时 , 此 时 A = ?1? , 则 B 含 2 ,,,的 非 空 子 集 3 4 5 有 2 ? 1 ? 1 5 (个 );
4

( 2 ) 当 A中 最 大 数 为 2 时 , 则 B 含 3,,的 非 空 子 集 有 2 ? 1 ? 7 ( 个 ) , 4 5
3

此 时 A有 2个 , 即 A ?

? 2? , A

? ?1, ? , 因 此 , 共 有 2 ? 7 ? 1 4 ( 个 ); 2

( 3 ) 当 A中 最 大 数 为 3 时 , 则 B 含 4 ,的 非 空 子 集 有 2 ? 1 ? 3 ( 个 ) , 5
2

此 时 A 有 4 个 , 即 ? 3 ? ,1,? , 2 ,? ,1,,? ,C 2 ? C 2 ? C 2 ? 4 ) , ? 3 ? 3 ? 23 (
0 1 2

此 时 , 共 有 4 ? 3 ? 1 2 ( 个 ); ( 4 ) 当 A中 最 大 数 为 4 时 , 则 B ? ? 5 ? 只 有 1 个 , 此 时 A 有 8 个 , 即 ? 4 ? ,1, ? , 2 , ? , 3, ? ,1,, ? ,1,, ? , 2 ,, ? ,1,,, ? ? 4 ? 4 ? 4 ? 24 ? 34 ? 34 ? 234 (C 3 ? C 3 ? C 3 ? C 3 ? 8 ), 此 时 , 共 有 8 ? 1 ? 8 (个 ).
0 1 2 3

综 上 所 述 , 不 同 的 选 择 方 法 共 有 1 5 ? 1 4 ? 1 2 ? 8 ? 4 9 (种 ) 选 B.

二项式定理(分类与整合)
*(2010年 浙 江 理 14) 设 n ? 2, n ? N , (2 x ? 1 2 ) - (3 x ?
n

1 3

) ? a。 a 1 x ? a 2 x ? ? ? a n x , ?
n 2 n

将 a k ( 0 ? k ? n )的 最 小 值 记 为 T n , 则 T 2 ? 0 , T 3 ? 1 2
5

1 2
3

?

1 3
3



T 4 ? 0, T 5 ?
n

?

1 3
5

, ? , Tn ,? , 其 中 Tn ?
r

? ? 0, n为 偶 数 , ? 1 1 ? n , n为 奇 数 ? 2n 3 ?
n?r

.

解 :a ? b ) 的 二 项 展 开 式 的 通 项 为 T r ? 1 ? C n a ( 为方便计,可改写为 ( 1 2 ? 2 x) ? (
n

b (0 ? r ? n ).
r

1 3

? 3 x ) ? a。 a 1 x ? a 2 x ? ? ? a n x , ?
n 2 n

易 知 a k 即 是 通 项 公 式 中 T r ?1项 的 系 数 .

则 ak ? C n (
k

1 2

)

n?k

k k 1 n?k k k 2k ?n 2k ?n ?2 ? C n ( ) ?3 ? C n 2 ?3 . 3

(1) 若 n 为 偶 数 , 则 当 n = 2 k , 即 2 k - n = 0 时 , 得 知 a k ? 0 , 即 T n ? 0 . ( 2 ) 若 n 为 奇 数 , 则 当 k = 0 时 , C n ? 1最 小 , 同 时 2
0 ?n

?3

?n

也最小,

故 a k 最 小 , 即 Tn ?

1 2
n

? ? 0, n为 偶 数 , ? n .综 上 得 知 , T n ? ? 1 1 3 ? n , n为 奇 数 . ? 2n 3 ? 1

另 解 : 观 察 T 2, T 3, T 4, T 5, 归 纳 猜 想 , 得 知 当 n 为 偶 数 时 , T n ? 0; 当 n 为 奇 数 时 , T n ? ? ? 0, ? Tn ? ? 1 1 ? n, ? 2n 3 ? 1 2
n

?

1 3
n

.

n为 偶 数 , n为 奇 数 .

数 列(归纳猜想·特殊与一般)
( 2009年 湖 北 * 理 10) 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?



1 ? ? ? ? 1 ? ? ? ?

3 ? ? ? ? 4

6 ( 1) ? ? ? ? ? ? ? ? 9 ( 2) ? ? ? ? ? ? ? ?

10 ? ? ? ? ? ? ? ? 16 ? ? ? ?



他 们 研 究 过 图 ( 1) 中 的 1, 3, 6, 10, ? , 由 于 这 些 数 能 够 表 示 成 三 角 形 , 将 其 称 为 三 角 形 数 ; 类 似 地 , 称 图 ( 2) 中 的 1, 4, 9, 16, ? , 这 样 的 数 称 为 正 方 形 数 。 下 列 数 中 既 是 三 角 形 数 又 是 正 方 形 数 的 是 ( C) ( A)289 (B)1024 (C)1225 (D)1378

解 : 设 图 ( 1 ) 中 数 列 1 , 3 , 6 , 1 0 , … 的 通 项 为 a n , 则 a 2 ? a1 ? 2 , a 3 ? a 2 ? 3, a 4 ? a 3 ? 4 , ? , a n ? a n ?1 ? n , 诸 式 相 加 , 得 a n ? a 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n, 于 是 a n ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? 而 图 ( 2 )中 数 列 1, 4 , 9 , 1 6 , ? 的 通 项 为 b n ? n .
2

n ( n ? 1) 2

.

观 察 四 个 选 择 支 , 只 有 1 2 2 5 满 足 a 49 ?

49 ? 50 2

? b35 ? 3 5

2

? 1225. 选 C.

解析几何(有限与无限)
*(2006年 福 建 理 16) 如 图 , 连 结 ? A B C 的 各 边 中 点 得 到 一 个 新 的 ? A1 B 1 C 1, 又 连 结 ? A1 B 1 C 1 各 边 中 点 得 到 ? A 2 B 2 C 2, 如 此 无 限 继 续 下 去 , 得 到 一 系 列 三 角 形 : ? A B C , A1 B 1 C 1, A 2 B 2 C 2, ? , 这 一 系 列 三 角 形 趋 向 于 一 个 点 M , ? ? 已 知 A(0,0),B(3,0),C(2,2),则 点 M 的 坐 标 是 解:依题意得知, 点 M ( x, y )恰 为 ? A B C的 重 心 , 于是x ? y ? 0?3? 2 3 0? 0? 2 3 2 ? 5 3 , 5 2 ( , ) 3 3 .

y 2

C

B1
A2 A (0) 1

C2
B2 C1 2

A1

5 2 ? .? M ( , ). 3 3 3

B 3 x

注 : 由 这 一 系 列 三 角 形 的 构 成 方 式 , 可 以 猜 想 到 点 M应 为 ? A B C 的 重 心 。 事 实 上 , 点 A , A1 , A 2, ? , A n , 在同一直线

( 三 角 形 的 一 条 中 线 所 在 的 直 线 ) 上 ; 点 B , B1 , B 2 , ? , B n , ? ; 点 C ,C1,C 2 ,? ,C n ,? 也 分 别 在 同 一 直 线 (三 角 形 另 外 两 条 中 线 所 在 的 直 线 )上 , 则 知 点 M必 为 这 三 条 直 线 的 交 点 , 即 ? A B C的 重 心 。 根 据 重 心 公 式 , 即 可 求 出 点 M 的 坐 标 。

数列与极限(有限与无限)
*(2010年 湖北 理 7) 如 图 , 在 半 径 为 r的 圆 内 作 内 接 正 六 边 形 , 再 作 正 六 边 形 的 内 切 圆 , 又 在 此 内 切 圆 内 作 内 接 正 六 边 形 , 如 此 无 限 继 续 下 去 。 设 S n为 前 n 个 圆 的 面 积 之 和 , 则 lim S n ? ( C
n? ? 2

)
2

( A ) 2? r

2

(B)

8 3

?r

(C ) 4? r

( D )6? r

2

r O

解 : 无 穷 等 比 数 列 前 n 项 和 S n, 当 n ? ?时 的 极 限 。 第 一 个 圆 的 半 径 为 r,第 二 个 圆 的 半 径 为 3 2 3 4 3 2 则 rn ? 则 an ? r ,? ?

rn ? 1 .于 是 , 第 一 个 圆 的 面 积 为 a 1 ? ? r , 第 二 个 圆 的 面 积 为 a 2 ?
2

3 4

? r ,? ?
2

a n ? 1 .公 比 q =

3 4

, 知 q ? 1 . ? lim S n ?
n? ?

a1 1? q

?

?r
1?

2

3 4

? 4? r .
2

选 C.

注重应用,强化实践, 考查数学应用能力

数学应用题(2010年理科)
全国(新) 6、9 全国Ⅱ(旧)6、20 湖北6、8、17 四川7、17 山东8、20 江苏4、14、17、22 浙江17、19 福建13、19 北京11、17 陕西10、14、17、19 全国Ⅰ(旧)6、18 重庆9、13、17 江西11、14、18 上海9、18、21 广东8、17、19 天津10、18 辽宁3、12、18 安徽15、21 湖南17、19

简单线性规划(应用题)
*(2010年 陕 西 理 14) 铁 矿 石 A 和 B 的 含 铁 率 a 、 冶 炼 每 万 吨 铁 矿 石 的 c o 2的 排 放 量 b 及 每 万 吨 铁 矿 石 的 价 格 c如 下 表 :

A B

a 50% 70%

b(万吨) 1 0.5

c(百万元) 3 6
15 (百 万 元 ) .

某 冶 炼 厂 至 少 要 生 产 1 . 9 ( 万 吨 ) 铁 , 若 要 求 c o 2的 排 放 量 不 超 过 2( 万 吨 ) , 则 购 买 铁 矿 石 的 最 少 费 用 为

解 : 设 购 买 A、 B 两 种 铁 矿 石 分 别 为 x 万 吨 、 y 万 吨 , 购 买 铁 矿 石 的 费 用 为 z百 万 元 , 则 可 知 目 标 函 数 z ? 3 x ? 6 y , 约 束 条 件 为

? ? ? ? ?

5 0 % x ? 7 0 % y ?1 .9 , ? 5 x ? 7 y ?1 9 , ? 2 x? y?4 x ? 0 .5 y ? 2 , 即 ? x?0, x?0, ? y?0. y?0, ?
y=1 2

y

4 3
x 2

依约束条件画出可行域,图中阴影 1 2 此为平行直线系,只需求出截距 z 6 最 小 值 即 可 .从 图 中 得 知 , 通 过 A点 的 直线的截距最小. x? z 6

A

1 0 1 2 3 4 x

部 分 所 示 .将 目 标 函 数 化 为 y=-

,

5x+7y=19


2x+y=4

5 x ? 7 y ?1 9 , 由 求 得 A ( 1 , 2 ) . z m in ? 3 ? 1 ? 6 ? 2 ? 1 5 ( 百 万 元 ) . 2 x? y?4

?

概率统计(应用题)
*(2010年 四 川 理 17) 某 种 有 奖 销 售 的 饮 料 , 瓶 盖 内 印 有 "奖 励 一 瓶 "或 "谢 谢 购 买 " 字 样 , 购 买 一 瓶 若 其 瓶 盖 内 印 有 "奖 励 一 瓶 "字 样 即 为 中 奖 , 中 奖概率为 1 6 (1) 求 甲 中 奖 且 乙 、 丙 都 没 有 中 奖 的 概 率 ; ( 2 )求 中 奖 人 数 ? 的 分 布 列 及 数 学 期 望 E ? . 解 : 设 甲 、 乙 、 丙 中 奖 的 事 件 分 别 为 A、 B、 C, 且 相 互 独 立 , (1) 则 P(A)=P(B)=P(C)= 1 6 答:甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是 25 216 . . ? P ( A ?B ?C ) = P ( A ) P ( B ) P ( C ) = 1 6 ? 5 6 ? 5 6 ? 25 216 . .甲 、 乙 、 丙 三 位 同 学 每 人 购 买 了 一 瓶 该 饮 料 。

( 2 )? 的 可 能 取 值 为 0 , 1 , 2 , 3 . P(? ? k )=C3 (
k

1

k 5 3? k ) ( ) , k ? 0 , 1 , 2 , 3. 6 6

中 奖 人 数 ?的 分 布 列 为

?
p

0 125 216

1 25 72

2 5 72

3 1 216

? E? ? 0 ?

125 216

? 1?

25 72

? 2?

5 72

? 3?

1 216

?

1 2

.

注 : 考 查 相 互 独 立 事 件 、 随 机 变 量 的 分 布 列 、 数 学 期 望 等.

排 列 组 合(应用题)
*(2010年 广 东 理 8) 为 了 迎 接 2 0 1 0年 广 州 亚 运 会 , 某 大 楼 安 装 了 5个 彩 灯 , 它 们 闪 亮 的 顺序不固定,每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜 色 , 且 这 5个 彩 灯 所 闪 亮 的 颜 色 各 不 相 同 。 记 这 5个 彩 灯 有 序 地 各 闪亮一次为一个闪烁,在每个闪烁中,每秒钟有且仅有一个彩灯 闪 亮 , 而 相 邻 两 个 闪 烁 的 时 间 间 隔 均 为 5秒 。 如 果 要 实 现 所 有 不 同的闪烁,那么需要的时间至少是( C ) (A)1205秒 (B)1200秒 (C)1195秒 (D)1190秒

解 : 由 于 有 5个 彩 灯 , 并 且 每 个 彩 灯 只 能 闪 亮 5种 颜 色 中 的 一 种 , 5 个 彩 灯 所 闪 亮 的 颜 色 各 不 相 同 , 因 此 一 共 有 A 5个 不 同 的 闪 烁 。 又 由 于 相 邻 两 个 闪 烁 的 时 间 间 隔 均 为 5 秒 , 这 里 所 用 的 时 间 为 ( A 5 ? 1)? 5 秒 .
5 5

又 因 为 每 一 个 闪 烁 时 , 每 个 彩 灯 持 续 的 时 间 为 1秒 , 且 每 秒 钟 有 且 仅 有 一 个 彩 灯 闪 亮 , 这 里 所 用 的 时 间 为 A 5 ? 5秒 。
5

?总共需要的时间至少是 ( A 5 ? 1) ? 5 ? A 5 ? 5 ? (1 2 0 ? 1) ? 5 ? 1 2 0 ? 5 ? 5 9 5 ? 6 0 0 ? 1 1 9 5 ( 秒 ) .
5 5

选 C.

导 数(应用题)
*(2010年 江 苏 文 理 14) 将 边 长 为 1m的 正 三 角 形 薄 铁 皮 沿 一 条 平 行 于 某 边 的 直 线 剪 成 两 块 , 其 中 一 块 是 梯 形 , 记 S= (梯 形 的 周 长 ) 梯形的面积
2

, 则 S的 最 小 值 是

32 3

3

.

解 : 如 图 所 示 , 设 沿 虚 线 剪 开 后 , 上 面 小 正 三 角 形 的 边 长 为 xm, 则 梯 形 的 周 长 为 x+2(1-x)+1=3-x,梯 形 的 面 积 为 (3-x) 3 4 ? 4 3 x ? 6x ? 9 ? ( 0 ? x ? 1) . 2 3 1? x
2 2

3 4

?

3 4

x

2

?

3 4

(1 ? x ) .
2

于是,S ?

(1 ? x )
2

x 1-x 1

求导,S '? 4

4

3 ( x ? 6 x ? 9 ) '(1 ? x ) ? ( x ? 6 x ? 9 ) (1 ? x ) ' ? 2 2 3 (1 ? x )
2 2 2 2 2 2 2

?

3 ( 2 x ? 6 ) (1 ? x ) ? ( x ? 6 x ? 9 ) ( ? 2 x ) 4 3 ?6 x ? 20 x ? 6 ? ? ? 2 2 2 2 3 (1 ? x ) 3 (1 ? x ) 8 3 3x ? 10 x ? 3 ? . 2 2 3 (1 ? x )
2 2

? ?

令 S ' ? 0 , 则 3 x ? 1 0 x ? 3 ? 0, 解 得 x = 1 ? S m in ? S ( ) ? 3 1 4 3 3 9 ? ? 6? 1? 1 3 1 9 ?9 ?

1 3

或 x ? 3(舍 ).

4 3

3

?8 ?

32 3

3

.

立 体 几 何(应用题)
*(2010年 辽 宁 理 12) 有 四 根 长 都 为 2的 直 铁 条 , 若 再 选 两 根 长 都 为 a的 直 铁 条 , 使 这 六 根 铁 条 端 点 处 相 连 能 够 焊 接 成 一 个 三 棱 锥 形 的 铁 架 , 则 a的 取 值 范 围 是 ( A ) ( A )(0 , 6 ? 2) ( B ) (1, 2 2) (C )( 6 ? 2, 6 ? 2) ( D )(0 , 2 2)

解 : 分 类 讨 论 (分 类 与 整 合 的 思 想 ) (1)当 三 条 长 为 2的 线 段 作 底 面 时 , 即? ABC为 边 长 是 2的 正 三 角 形 , 长 为 2的 线 段 VA在 BC的 垂 直 平 分 面 内

V
旋 转 , 如 图 甲 所 示 ( V1、 V 2 是 V 的 两 个 极 端 位 置 ) , V1 V 2 平 分 线 段 B C , 若 要 构 成 三 棱 锥 , 则 必 须 是 V 2 B ? V B ? V1 B . 计算极端位置的临界条件: V2B
2

V1

A C (图甲) V2

? V2 A ? AB
2

2

? 2 V 2 A ? A B ?c o s 3 0 ,



B

即 V2B

2

? 2 ? 2 ? 2 ?2 ?2 ?
2 2

3 2

? 8? 4

3 ? (

6 ?

2 ) ,于 是 V2B ?
2 2

6 ?

2.

又 V1 B

2

? V1 A ? A B
2

2

? 2 V 1 A ? A B ?c o s 1 5 0 ? 2 ? 2 ? 2 ?2 ?2 ?( ?
2 2



3 2

)

? 8? 4

3 ? ( 6 ?

6 ?

2 ) , 于 是 V1 B ? 6 ? 2,

6 ?

2.

由此得知 即 6 ?

2 ? VB ? 6 ? 2.

V

2 ? a ?

( 2 )当 两 条 长 为 2 与 一 条 长 为 a 的 线段作底面时,如图乙所示, 设 A B ? B C ? V A ? V C ? 2, A C ? V B ? a , 取 A C中 点 E, 则 BE ? VE ? 得a
2

A B
4? a
2

E (图乙)
? a ,即 4(4 ?

C

4?

a

2

. ? B E ? V E ? V B ,? 2 2. 6 ?

a

2

) ? a ,
2

4 ? 8 .又 a ? 0 , 得 0 ? a ? 2

4

4

综 合 (1) ( 2 ) , 知 a 的 取 值 范 围 是 0 ? a ?

2.

选 A.

另一种简单解法: (1)如 图 甲 所 示 , 当 V A ? 平 面 A B C时 , 在 R t? A B C中 , VB ? VA ? VB
2 2

?

2 ? 2
2

2

? 2

2, 则 知 a ? V B ? V C ? 2

2.

于 是 , 将 ( B )、 D ) 排 除 . ( (2)如 图 乙 所 示 , AC与 VB为 一 对 互 相 垂 直 的 异 面 直 线 , 此 时 , A C 与 V B 的 长 度 a 可 以 无 限 趋 近 于 零 , 又 将 (C )排 除 . ? 选 项 ( A )正 确 . 选 A.

解 三 角 形(应用题)
*(2010年 福 建 理 19) 某 港 口 O要 将 一 件 重 要 物 品 用 小 艇 送 到 一 艘 正 在 航 行 的 轮 船 上 , 在 小 艇 出 发 时 , 轮 船 位 于 港 口 O 北 偏 西 3 0 且 与 该 港 口 相 距 2 0 海 里 的 A处 , 并 正 以 30海 里 / 时 的 航 行 速 度 沿 正 东 方 匀 速 行 驶 。 假 设 该 小 艇 沿 直 线 方 向 以 V海 里 /时 的 航 行 速 度 匀 速 行 驶 , 经 过 t时 与 轮 船 相 遇 。 (1)若 希 望 相 遇 时 小 艇 的 航 行 距 离 最 小 , 则 小 艇 航 行 速 度 的 大 小 应 为 多 少 ? (2)假 设 小 艇 的 最 高 航 行 速 度 只 能 达 到 30海 里 /时 , 试 设 计 航 行 方 案 (即 确 定 航 行 方 向 和 航 行 速 度 的 大 小 ), 使 得 小 艇 能 以 最 短 时 间 与 轮 船 相 遇 , 并 说 明 理由。 解:如图所示。 (1) 设 小 艇 的 航 行 速 度 为 V , 相 遇 时 小 艇 航 行 的 距 离 为 S海 里 , 所 用 时 间 为 t时 , 则由余弦定理得


A 20 30。 O

B



S

2

? 3 0 t ) ? 2 0 ? 2 ?3 0 t ?2 0 ?c o s ( 9 0 - 3 0 ) ? 9 0 0 t ? 6 0 0 t ? 4 0 0 , (
2 2 2





S ?

900t ? 600t ? 400 ?
2

9 0 0 (t ?

1 3

) ? 300.
2

故当t ?

1 3

时 , S m in ? 1 0

3, V ? ?

S m in t

?

10 1 3

3

? 30

3.

答 : 小 艇 以 30

3海 里 / 时 的 速 度 航 行 , 相 遇 时 小 艇 的 航 行 距 离 最 小 。
2 2 2 。 。

( 2 ) 设 小 艇 与 轮 船 在 B 处 相 遇 , 则 ( V t ) ? ( 3 0 t ) ? 2 0 ? 2 ?3 0 t ?2 0 ?c o s ( 9 0 ? 3 0 ), 得V
2

? 900 ? ? 3 t

600 t

?

400 t
2

. ? 0 ? v ? 3 0 ,? 9 0 0 ? 2 3 2 3 . .又 当 t ? 2 3

600 t

?

400 t
2 2

? 900,



2 t
2

? 0 , 2 ? 3t ? 0 , 解 得 t ?

时,得V

? 900,V ? 30, 符 合 题 意 .

故 V = 3 0 时 , t 取 得 最 小 值 , t m in ? 当t ? 2 3 时 , OB=AB=30 ? 2 3 ? 2 0,

又 知 O A ? 2 0, 则 知 ? O A B 为 正 三 角 形 , 从 而 知 ? A O B ? 6 0 .




故 可 设 计 航 行 方 案 如 下 : 航 行 方 向 为 北 偏 东 30 , 航 行 速 度 为 30海 里 / 时 , 小艇能以最短时间与轮船相遇。

准确、快速解答客观性试题
1、直接观察 2、特殊化 3、极端性原理 4、图解法 5、估值估测 6、类比引申 7、反例法 8、 验证法 9、 排除法 10、两头凑法

直接观察(集合?映射)
*(2000年 全国 理1)
设 集 合 A和 B 都 是 自 然 数 集 合 N , 映 射 f : A ? B 把 集 合 A 中 的 元 素 n 映 射 到 集 合 B 中 的 元 素 2 ? n , 则 在 映 射 f 下 , 象 2 0的 原象是 ( A)2 (C ) ( B )3
n n

(C ) 4

( D )5

解 : 依 题 意 得 2 ? n ? 20. 这 是 一 个 超 越 方 程 , 无 法 用 初 等 方 法 求 解 .通 过 观 察 , 并 尝 试 以 n ? 0 , 1, 2 , 3 , 4 , ???代 入 之 , 则 n ? 4 满 足 该 方 程 . ? 所 求 的 原 象 是 4. 选 C.

先观察,找规律—数学的结构美思维美
*(2002年 已 知 f (x) ? 全 国 高 考 题 理 科 第 16题 ) x
2 2

1? x

, 那 么 f (1) ? f ( 2 ) ? f (

1

1 1 ) ? f (3) ? f ( ) ? f ( 4 ) ? f ( ) ? 2 3 4

3

1 2

.

解:显然,七个函数值一一算出后,再求和,费时费力,此法不可取。 以直觉为先导,以观察为向导,以思维为核心,以联想为手段,
2 2

可 猜 想 出 f (x) ? f (

1 x

) ?

x

( ?

1 x

)

2

1? x 1 2

1? (

1 x

? )
2

x

2 2

1? x

?

1 1? x
2

? 1.

?原式 ?

1 2

?1?1?1 ? 3

.

直接观察想象(三视图)
*(2010年 全国(新) 理14) 正视图为一个三角形的几何体可以是 圆锥、 三棱锥、正四棱锥 (写出三种). 解:结论开放,答案不唯一. 例如:圆锥、三棱锥、正四棱锥.

特殊值法(新题型·高斯函数)
*(2010年 陕西 理10)
某 学 校 要 召 开 学 生 代 表 大 会 , 规 定 各 班 每 10人 推 选 一 名 代 表 , 当 各 班 人 数 除 以 10的 余 数 大 于 6时 再 增 选 一 名 代 表 .那 么 , 各 班 可 推 选 代 表 人 数 y与 该 班 人 数 x之 间 的 函 数 关 系 用 取 整 函 数 y = [ x ] ( [ x ] 表 示 不 大 于 x的 最 大 整 数 ) 可 以 表 示 为 (A)y=[ x 10 解:特殊值法. 当 x=17时 , [ x 10 当 x=16时 , [ x? 4 10 ] =[ 17 10 ] =[ 20 10 ]=[2]=2, [ x?5 10 ] =[ 21 10 ]=[2.1]=2, ]=[1.7]=1, 选 项 (A)不 合 题 意 , 舍 去 . ] (B)y=[ x?3 10 ] (C)y=[ x? 4 10 ] (D)y=[ ( B ) x?5 10 ]

则 知 (C)、 (D)均 不 合 题 意 , 舍 去 . 综 上 得 知 , 选 项 (B)正 确 . 选 B.

赋值法(抽象函数)
*(2010年 重庆 理15)
已 知 函 数 f ( x ) 满 足 : f (1) ? ( x , y ? R ), 则 f ( 2 0 1 0 ) ? 解 : 已 知 f (1) ? 1 4 即 f ( x ) ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) , 于 是 f ( x ? 1) ? f ( x ) ? f ( x ? 1) , f ( x ? 2 ) ? f ( x ? 1) ? f ( x ) . 由 ① ② 得 f ( x ? 2 ) ? ? f ( x ? 1) , 即 f ( x ? 3 ) ? ? f ( x ), 进 而 f ( x ? 6 ) ? ? f ( x ? 3 ), 则 f ( x ? 6 ) ? f ( x ) , 故 f ( x )的 周 期 为 6 . ① ② 1 2 , 令 y ? 1, 则 4 f ( x ) f (1) ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 1), 1 4 . , 4 f (x ) f ( y ) ? f (x ? y ) ? f (x ? y )

? f ( 2 0 1 0 ) ? f (6 ? 3 3 5 ? 0 ) ? f (0 ). 再 令 x ? 1, y ? 0 , 则 4 f (1) f ( 0 ) ? f (1) ? f (1), 知 f ( 0 ) ? ? f (2010) ? 1 2 (注 : 在 有 关 二 项 式 定 理 的 试 题 中 , 常 用 赋 值 法 ) , 1 2 ,

特殊化(函数的奇偶性)
*(2007年 宁夏?海南 理14)
设 函 数 f (x) ? ( x ? 1) ( x ? a ) x 解 : 定 义 域 为 ? x x ? R , 且 x ? 0? . ? f ( x )为 奇 函 数 , f ( x ) ? f ( ? x ) ? 0 . ? 特 取 法 , 不 妨 取 x ? 1, 则 由 f (1) ? f ( ? 1) ? 0 得 a ? ? 1 . 为奇函数,则a ? ?1 .

特殊化(函数)
*(2007年 安徽 理11)
定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x )既 是 奇 函 数 , 又 是 周 期 函 数 , T 是 它 的 一 个 正 周 期 , 若 将 方 程 f ( x) ? 0在 闭 区 间 ?-T,T ? 上 的 根 的 个 数 记 为 n, 则 n 可 能 为 ( A )0 ( B )1 (C )3 (D ) ( D )5

解:特殊化处理 不 妨 取 f ( x ) ? s in x , T ? 2 ? , 则 s in x ? 0 在 闭 区 间 ? ? 2 ? , ? 2 上 的 根 的 个 数 是 5个 . 选 D.

?

极端性原理的应用
*(2000年 全国高考题)
椭圆 x
2

?

y

2

9

4

? 1的 焦 点 为 F1、 F 2 , 点 P 为 其 上 的 动 点 , 当 ? F1 P F 2 3 5 5 ? x ? 5. 3 5 5

为 钝 角 时 , 点 P横 坐 标 的 取 值 范 围 是 解 : a=3,b=2,c= a ?b
2 2

.

?

5 , F1 F 2 ? 2 c ? 2

以 F1 F 2 为 直 径 作 圆 , 其方程为x ? y
2 2

y
P2
F1


? 5,

该圆与椭圆有四个公 共 点 P1、 P2 、 P3、 P 4 . 考 虑 极 端 情 况 ? F1 Pi F 2 ? 9 0 ( i ? 1, 2 , 3 , 4) , 由 直 径 上 的

P1
F2 P4

x

P3

? ? 圆 周 角 为 直 角 , 知 动 点 P 在 椭 圆 弧 P1 P2 或 P3 P4内 部 运 动 时 , ? F 1 P F 2 为 钝 角 .根 据 对 称 性 , 只 需 求 出 第 一 象 限 内 的 交 点 P1 ( x 1 , y 1 )的 横 坐 标 x 1即 可 . 由 x
2

?
2

y

2

? 1, ? 5 9 5

消 去 y , 得 4 x ? 9 (5 ? x ) ? 3 6 ,
2 2

9 x ? y 解 之 ,x 5
2

4
2

? 9 , 则 x1 ?

?

3 5

5

. 5 5 3 5 5

? 点 P横 坐 标 的 取 值 范 围 是 -

3

? x ?

.

考虑极端位置(立体几何)
( 2006年 * 浙江 理 14) 正 四 面 体 ABCD的 棱 长 为 1, 棱 AB ? 平 面 ?, 则 正 四 面 体 上 的 所 有 点 在 平 面 ?内 的 射 影 构 成 的 图 形 面 积 的 取 值 范 围 是 ? 2 1? , ? ? 2? ? 4 .

解 : 当 DC ? ?时 , 射 影 图 形 为 边 长 是 2 4 当 DC ?? 时 , 射 影 图 形 是 对 角 线 长 等 于 1 的正方形,此时射影图形的面积取得 最大值 1 2 .

3 2



3 2

、 1的 等 腰 三 角 形 ,

C


D B

此时射影图形的面积取得最小值

α

A

? 2 1? ?射影构成的图形面积的取值范围是 ? , ?. 2? ? 4

图解法(分段函数?对数函数)
*(2007年 湖南 理6)
函数f(x)=
4 x ? 4, x ? 4 x ? 3,
2

x ?1 x ?1 的图像和函数

g ( x ) ? lo g 2 x 的 图 象 的 交 点 个 数 是 ( B ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1

y
1 0 -1 -2 -3 1 2 3 x

解:图解法,数形结合,在同一 坐 标 系 中 画 出 f ( x )、 g ( x ) 的 图 象 .观 察 图 象 , 得 知 有 3个 公 共 点 . 选 B.

-4

直线与曲线的公共点问题(图解法)
* ( 2 0 0 6 年 湖 南 理 1 1) 若曲线y
2

? x ? 1与 直 线 y ? k x ? b 没 有 公 共 点 , 则 k 、 b 分 别 k ? 0, ?1 ? b ? 1
2

应满足的条件是

.

解:图像解法,画出曲线y
2 2

? x ? 1的 图 形 。

x ? 1, x ? 0 , y ? x ? 1即 y ? ? x ? 1, x ? 0 .

?

y 1

若曲线与直线没有公共点, 则 k、 b分 别 应 满 足 的 条 件 是 k ? 0, ?1 ? b ? 1

-1

0 -1

1

x

图解法 (立体几何·三视图)
*(2010年 辽 宁 理 15) 如 图 , 网 络 纸 的 小 正 方 形 的 边 长 是 1, 在其上用粗线画出了某多面体的三视 图,则这个多面体最长的一条棱的长 为 2 3 .

解:观察三视图,可知该多面体是正方 体 切 割 后 的 一 部 分 , 即 四 棱 锥 C1 ? A B C D, 如 下 图 所 示 .则 其 最 长 的 一 条 棱 是 正 方 体 的 体 对 角 线 C 1 A .又 知 正 方 体 的 棱 长 为 2 , 则 由 勾 股 定 理 可 求 得 C1 A ? 2 3.

D1 B1 D A B

C1

A1

(注 : 数 形 结 合 , 给 图 考 图 , 无 图 考 图 )

C

数学应用题(给图考图)

*(2007年 江西 理8)
四位好朋友在一次聚会上,他们按照各自的爱好选择了形状不 同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯,如图所示.盛 满酒后他们约定:先各自饮杯中酒的一半.设剩余酒的高度从 左到右依次为h1,h2,h3,h4,则它们的大小关系正确的是( A )

(A) h2> h1 >h4 (C) h3>h2>h4

(B) h1>h2>h3 (D) h2>h4>h1

解:考查空间想象和直觉思维能力。作出每个几何体 的中截面,分析对比上下两部分体积的大小关系,并 横向相比较,可知h2最大,h4最小。 另解:设从左到右四者的体积依次为V1、 V2、 V3、 V4 ,易知V2最小, V4最大,故h2最 大,h4最小。 选A.

函 数 (数形结合·无图考图)
*(2010年 全国新课标卷 理 11) ? lg x , 0 ? x ? 1 0 , ? 已 知 函 数 f (x) ? ? 1 ? x ? 6 , x ?1 0 , ? 2 ? 则 a b c的 取 值 范 围 是 ( A )( 0 ,1 0 ) ( B )(5 , 6 ) ( C )(1 0 ,1 2 ) ( D )( 2 0 , 2 4 ) 若 a , b , c 互 不 相 等 , 且 f ( a ) ? f ( b ) ? f ( c ),

(C )

解 : 作 出 f ( x )的 大 致 图 像 .
y 1 0 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x

不 妨 设 a ? b ? c ,由 图 像 及 f ( a ) ? f ( b ) ? f ( c ) 得 知 , 0 ? a ? 1 ? b ? 1 0 ? c ? 1 2 , 则 - lg a ? lg b ? ? 1 2 c ? 6.

不 妨 设 a ? b ? c ,由 图 像 及 f ( a ) ? f ( b ) ? f ( c ) 得 知 , 0 ? a ? 1 ? b ? 10 ? c ? 12, 由 于 - lg a ? lg b, 则 lg a ? lg b ? 0 , 即 lg ( a b ) ? 0 , 得 a b ? 1, 从 而 a b c ? c . 由 图 像 知 1 0 ? c ? 1 2 , 故 a b c ? (1 0 ,2 ). 1

选C.

不等式(无图考图)
*(2007年 若0 ? x ? ( A ) s in x ? 江西 理 5) ( D ) 4
2

?
2 3

,则 下 列 命 题 中 正 确 的 是 ( B ) s in x ? 3

?

x

?

x

( C ) s in x ?

?

2

x

( D ) s in x ?

4

解:数形结合,图解法. 抛 物 线 y= 4 4 x 经 过 点 (0,0)和 (
2

y

?

2

x

2

?
2

?
2

2

, 1) ,

1 0
?
2

作 出 y=

?

x 和 y ? s in x 在 ( 0 ,
2

?
2

)内

的 图 像 , 则 知 s in x >

4

x

?

2

x .

2

选 D.

向量?平面几何(数形结合)
( 2009年 浙 江 理 7) * ? ? ? ? 设 向 量 a , b 满 足 : ? 3, ? 4 , a b ? ? ? ? ? ? a ?b ? 0 , 以 a , b , a ? b 的 模 为 边 长 构 成

三 角 形 , 则 它 的 边 与 半 径 为 1的 圆 的 公 共 点 个 数 最 多 为 ( B) ( B)4 (C)5 (D)6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解 : 由 a ? 3, ? 4 , ?b ? 0 , 知 a ? b, 且 a ? b ? 5 .于 是 ,a , ,a ? b b a b

( A) 3

构 成 边 长 为 3,,的 直 角 三 角 形 , 其 内 4 5 切 圆 半 径 r为 r ? 3? 4?5 2 观察图形,将内切圆上下左右平移, 可以发现,该圆与直角三角形最多 有 4个 公 共 点 。 选 B。 ? 1.

估测法(估值法)
例:(1999年全国高考题)
如 图 , 在 多 面 体 A B C D E F 中 , 已 知 面 A B C D 是 边 长 为 3的 正 方 形 , EF AB, EF与 面 ABCD的 距 离 为 2, EF= 9 2 解,本题有多种解法. 直 觉 观 察 , 连 结 E B、 E C , 则 VE - A B C D ? 1 3 ?3 ?2 ? 6 .
2

3 2

, 则 该 多 面 体 的 体 积 为 (D ) 15 2

( A)

( B )5

(C )6

(D )

E

F

局部估测、结合排除法, 排 除 (A)(B)(C). ? 选 (D).

D

C

A

B

类比?推广
*(2006年 湖北 文15)
半 径 为 r的 圆 的 面 积 S ( r ) ? ? r , 周 长 C ( r ) ? 2? r , 若 将 r 看 作
2

( 0 , ? ? ) 上 的 变 量 , 则 (? r ) ' ? 2 ? r ,
2

(1)

(1) 式 可 用 语 言 叙 述 为 : 圆 的 面 积 函 数 的 导 数 等 于 圆 的 周 长 函 数 . 对 于 半 径 为 R的 球 , 若 将 R 看 作 ( 0 , ? ? )上 的 变 量 , 请 你 写 出 类 似 于 (1)的 式 子 : (2)式 可 用 语 言 叙 述 为 解:( 4 3 , (2) .

? R ) ' ? 4? R .
2

3

球的体积函数的导数等于球的表面积函数.

立 体 几 何( 类 比 推 广)
*(2009年 江苏 第8题) 在平面上,若两个正三角形的边长比为1:2,则它们的 面积比为1:4.类似地,在空间中,若两个正四面体的棱 长比为1:2,则它们的体积比 1:8 。
解 : 两 个 正 四 面 体 的 棱 长 比 为 1:, 则 其 底 面 积 的 比 为 1 : 4 , ? 2 又 其 高 的 比 为 1: 2, ? 这 两 个 正 四 面 体 的 体 积 比 为 1: . 8 也可以如下考虑: 两个正三角形是相似的三角形, ? ?它们的面积之比是相似比的平方。 同理,两个正四面体是两个相似几何体,故它们的体积比为 相 似 比 的 立 方 , 所 以 它 们 的 体 积 比 为 1:. 8

(2003年全国高考题新课程卷) 类比推广
* 在 平 面 几 何 里 , 有 勾 股 定 理 : " 设 ? A B C 的 两 边 A B、 A C 互 相 垂 直 , 则 AB +AC =BC ."拓 展 到 空 间 , 类 比 平 面 几 何 的 勾 股 定 理 , 研 究 三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得出的正确的结论 是 : "设 三 棱 锥 A-BCD的 三 个 侧 面 ABC、 ACD、 ADB两 两 互 相 垂 直 , 则 S? ABC + S? ACD + S? ADB = S? BCD" .
2 2 2 2 2 2 2

D A

解 : 作 AE ? BC于 E,连 结 DE. 则 S? ABC + S? ACD + S? ADB ? ( ? ? 1 2 1 4 1 4 BC (AE
2 2 2 2 2

C E

A E ?B C ) ? (
2 2 2

1 2

A C ?A D ) ? (
2 2 2

1 2

A D ?A B )
2

2

B
2

A E ?B C

?

1 4

AD (AC
2

? AB ) ?
2 2

1 4

A E ?B C 1 2

2

?
2

1 4

A D ?B C
2

2

2

? AD ) ?

1 4

B C ?D E

? (

B C ?D E ) ? S ? B C D

立 体 几 何 (类比推广· 结论开放) *(2008年
全国Ⅱ 理16)
平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个,如两组 对边分别平行,类似地,写出空间中的一个四棱柱为平行六面 体的两个充要条件: 充要条件① 两组相对侧面分别平行 充要条件② 底面是平行四边形 。 ;

(写 出 你 认 为 正 确 的 两 个 充 要 条 件 ) 解 : (1)两 组 相 对 侧 面 分 别 平 行 ; (2)一 组 相 对 侧 面 平 行 且 全 等 ; (3)对 角 线 交 于 一 点 ; (4)底 面 是 平 行 四 边 形 。 (答 案 不 唯 一 )

反 例 法 (极限?连续)
*(2007年 湖 南 理 7) 下列四个命题中,不正确的是( C )
x ? x0
?

( A ) 若 函 数 f ( x ) 在 x ? x 0 处 连 续 , 则 lim f ( x ) ? lim f ( x )
x ? x0
?

( B )函 数 f ( x ) ?

x? 2 x ? 4
2

的 不 连 续 点 是 x ? 2和 x ? ?2

( C ) 若 函 数 f ( x )、 g ( x ) 满 足 lim x ?1 x ?1 ? 1 2

x? ?

?

f ( x ) ? g ( x ) ? ? 0 , 则 lim f ( x ) ? lim g ( x )
x? ? x? ?

( D ) lim

x?1

解 :C ) 不 正 确 , 举 反 例 如 下 : 令 f ( x ) ? x ? (
2

1 x

, g (x) ? x ,
2

则 lim

x? ?

?

?? 2 1 ? 1 2 ? f ( x ) ? g ( x ) ? ? lim ? ? x ? ? ? x ? ? lim ? 0, x? ? x? ? x x? ?? ?

1 ? ? 2 2 但 是 lim ? x ? ? 与 lim x 均 不 存 在 , 当 然 谈 不 上 相 等 了 . 选 C . x? ? x? ? x? ?

验证法(集合?点集) *(2007年 江西 理6)
若集合M ? 12 ? 0 ,, ? , N ? ?( x, y ) x ? 2 y ? 1 ? 0且 x ? 2 y ? 1 ? 0, x, y ? M

?,

则 N 中 元 素 的 个 数 为 (C ) ( A )9 ( B )6 (C ) 4 (D )2

解 : 把 集 合 M 中 的 三 个 元 素 分 别 代 入 集 合 N, 注 意 到 x, y ? M . (1)当 x ? 0 时 , 得 ? 1 2 ? y ? 1 2 , 则 y ? 0;

( 2 )当 x ? 1时 , 得 0 ? y ? 1, 则 y ? 0 或 1; ( 3 )当 x ? 2 时 , 得 即N ? 1 2 ? y ? 3 2 选 C. ,则 y ? 1.

? ( 0 , 0 ) , (1, 0 ) , (1, 1) , ( 2 , 1) ? .

注 : 令 y ? 0 、、 分 别 代 入 之 , 所 得 结 果 是 一 样 的 . 1 2

排除法(函 *(2008年 江西 理12)

数)

已 知 函 数 f ( x ) ? 2 m x ? 2 ( 4 ? m ) x ? 1, g ( x ) ? m x , 若 对 于 任 一 实 数 x ,
2

f ( x ) 与 g ( x )的 值 至 少 有 一 个 为 正 数 , 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是 ( B ) (A)(0,2) (B)(0,8)
2

(C)(2,8)

(D)(-? ,0)

解 : 当 m ? 4 时 , f ( x ) ? 8 x ? 1, g ( x ) ? 4 x , 显 然 f (x) ? 8 x ? 1 ? 0恒 成 立 ,
2

于 是 ( A )、 D ) 被 排 除 。 ( 又 当 m ? 1时 , f ( x ) ? 2 x ? 6 x ? 1, g ( x ) ? x , 在 同 一 坐 标 系 中 , 作 出
2

二 者 的 图 象 , 观 察 图 象 得 知 此 时 符 合 题 意 , 又 将 (C)排 除 。 综 上 , 选 项 (B)正 确 。 选 (B).

排除法(函数的零点) *(2010年 上海 理17)
若 x0是 方 程 ( ( A )( 2 3 , 1) 1 2
1

) ? x 3的 解 , 则 x 0 属 于 区 间
x

(C ) 1 3 2 3 ) ?( 1 2
2

( B )(

1

,

2

)

(C )(
1

2 3 1 2
x

1 1 , ) 3 2

( D )(0 ,

) 2 3
1

解 : 设 函 数 f (x) ?( f (1) ? 1 2 1 1 2 又f ( ) ?( 1 2 1
1 1

) ? x 3 , 利 用 零 点 定 理 .? f ( ? 0, 2 3 ? x0不 在 ( 2 3 1

)3 ? (

)3 ?(

1 4

1

)3 ? (

2 3

1

) 3 ? 0,

?1 ? ? 1 2 1
1

1 2
1

, 1)内 , 排 除 ( A ) . 2

)2 ? (

) 3 ? 0,

f (

) ? 0 ,? x 0 不 在 ( ) ? 0,

,

)内 , 排 除 ( B ) .

2 3

又 f ( ) ? ( ) 3 ? ( ) 3 ? 0, 3 2 3 ? 根 据 零 点 定 理 , x0在 (

f (

1 2

1 1 , )内 . 3 2

选 (C).

两头凑法(新题型定义新运算)
*(2008年
陕西 理12)

为 提 高 信 息 在 传 输 中 的 抗 干 扰 能 力 ,通 常 在 原 信 息 中 按 一 定 规 则 加 入 相 关 数 据 组 成 传 输 信 息 . 设 定 原 信 息 为 a 0 a 1 a 2 , a i ? ? 0 , 1? ( i ? 0 , 1, 2 ) , 传 输 信 息 为 h 0 a 0 a 1 a 2 h1, 其 中 h 0 ? a 0 ? a 1, h1 ? h 0 ? a 2, ? 运 算 规 则 为 : 0 ? 0=0, 0 ? 1=1, 1 ? 0=1, 1 ? 1=0.例 如 原 信 息 为 111, 则 传 输 信 息 为 01111.传 输 信 息 在 传 输 过 程 中 受 到 干 扰 可 能导致接收信息出错,则下列接收信息一定有误的是( C ) (A) 11010 (C) 10111 (B) 01100 (D) 00011

解 : 利 用 两 头 凑 法 及 检 验 法 . 对 于 (A),1

1

0

1 0

h 0 a 0 a1 a 2 h1 h 0 ? a 0 ? a 1 ? 1 ? 0 ? 1, 对 于 ( B ), 0 1 1 0 h1 ? h 0 ? a 2 ? 1 ? 1 ? 0 . 0 知 ( A )正 确 .

h 0 a 0 a1 a 2 h1 h0 ? a 0 ? a1 ? 1 ? 1 ? 0 , 对 于 ( C ), 1 0 1 1 h1 ? h 0 ? a 2 ? 0 ? 0 ? 0 . 1 知 ( B )正 确 .

h 0 a 0 a1 a 2 h1 h 0 ? a 0 ? a 1 ? 0 ? 1 ? 1, h1 ? h 0 ? a 2 ? 1 ? 1 ? 0 .

(C)的 正 确 答 案 应 是 10110, 知 (C)有 误 . 对 于 ( D ), 0 0 0 1 1

h 0 a 0 a1 a 2 h1 h0 ? a 0 ? a1 ? 0 ? 0 ? 0 , h1 ? h 0 ? a 2 ? 0 ? 1 ? 1 . 知 ( D ) 正 确 . 选 C.

? 接 收 信 息 一 定 有 误 的 是 (C).

高考复习备考策略
高考数学复习的目的任务是:抓纲扣本、夯实 “三基”,查缺补漏,消除盲点,清理死角,进 而 总结方法,构建网络,揭示规律,自觉运用数学 思想方法,强化思维训练,提升能力素质。 一准:(1)高考大方向 (2)重点、难点、热点 二精:精讲、精选、精练、精评 三薄:先由薄到厚,再由厚到薄 三个重视: (1)重视教材的权威性、示范性和导向性作用 (2)重视提高阅读理解能力 (3)重视书面表述的准确、完整、规范、流畅

复习备考建议: (1)抓好基础是根本 (2)强化能力训练是核心 (3)注意“过程”是关键 如何复习数学? (1)反思、数学复习应该是一个反思性学习过程 (2)整合、数学复习应该是一个整合知识的过程 (3)运用、数学复习应该在数学知识运用的过程中 进行 (4)创新、数学复习应该是温故知新的过程,在创 新意识下进行

高考后一阶段的复习建议
一、“忆”:过电影、梳理、归纳,形成知识网 络。 二、“看 ”: 1、看教材中延伸、推广或补充的内容 2、看已经做过的典型题 3、看曾经出现过的错误并改正后的题 三、“做” 1、做基础题 2、做重点知识主干的题 3、做近几年的高考真题

*力求一次成功 参加高考时,第一要义是“准”,然后才依 次 是“快”、“灵”,如果失去了“准”的支撑, 再“快”、 再“灵”也毫无意义。有人想等到试卷全做完了 再 回过头来检查(复查)一遍,这种做法是不对头 的,起码是不高明的。慢说你不大可能有时间做 完了再检查,即便有这个时间,也大多是重复的 无效劳动,劳而无功。解题时应记住“欲速则不 达”。提倡解题“力求一次成功”。 如何养成“一次成功”的解题习惯呢? (1) 审题要准。速度不宜太快,最好养成两次读

含条件,切实做到不错审、不漏审。 (2)算理要清。要明确解题过程中每一种运算的 基本步骤和方法,还要明确为什么这样算,这种 运算的条件是否具备等等。 (3) 跨度要小。解题过程的步与步之间衔接要 紧密,不能跳步。不能随便以心算口算代替笔 算;更不能仅以图形(图像)代替逻辑推理。 (4) 考虑要周。遇事不能想当然,不能麻痹大 意,更不能丢三落四、顾此失彼、顾头不顾脚。 除了学生的性格因素外,主要是由知识和技能上 的不足或不到位所致。要重视结果,更要重视过 程,要知其然还要知其所以然。

*我再谈一点: 敢于冲刺压轴题。 高考阅卷时,总会发现部分考生最后几道大题(尤 其是压轴题)全是空白或者寥寥几个字。这其中是时 间不够用,根本来不及看题目,此为原因之一。还有 的是被吓住了,失去了信心退却下来,更有的是应试 经验不足,认为题目太“难”,做也做不好,不如放 弃 (当然从实际出发,该放弃的就放弃,最后一、两个 题不是给全体考生准备的,也不可能人人都会做)。 但是,为了争取高分,还要努力冲击一下。首先,要 科学合理分配时间,能使最后一、两个题有时间去做

(当然最困难的学生除外)。再者,大家要注意,尽管 一份试卷中的难题、综合题大多是排在最后,但最后 的试题也不一定难得高不可攀,即使是真难也不一定 不能入手。近几年,难题、综合题多是控制难度系数, 分步设问,层层加深,有一定的梯度,以区分不同的 思维层次。可能第一小问极易上手,不能轻易放弃。 一定要树立信心,敢于攻坚,强化搏击最后一、两题 的意识。“不抛弃,不放弃”,“世上无难事,只要 肯登 攀”。 综合题多是知识、技能和能力的综合。 高考试题中的综合题,坚持从学科整体意义和思想

含义上立意,在各分支学科的交汇处设计题目,以思 维能力为核心,全面考查各种能力,强调探究性、综 合性、应用性、多角度、多层次地考查思维的严谨性、 逻辑性、完整性和流畅性。 综合题有中等难度的题目和较难的题目,平时复习 训练时,应以中档题为主,不要一味地抠难题,当然 更不能猜题押宝。要着眼于解题的思想和方法,研究 一题多解、多题一解,简缩思维,优化解题思路,不 断总结解题规律,讲求解题效益。


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