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辽宁省丹东四校2012届高三第二学期一模数学(理)


一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. . (1) 已知集合 M ? {?1,1} ,N ? {x | (A) {?1,1} (2)已知 sin(? ? (A) ?

1 ? 2 x?1 ? 4, x ? Z} ,则 M ? N ? 2 (B) {?1} (C) {1} (D) ?

(

)<

br />
?
3

) ? sin ? ? ?

(3)设 a , b, c 是空间三条直线, ? , ? 是空间两个平面,则下列命题中,逆命题不正确的是 (A)当 c ? ? 时,若 c ? ? ,则 ? // ? (B)当 b ? ? 时,若 b ? ? ,则 ? ? ? (C)当 b ? ? , a ? ? 且 c 是 a 在 ? 内的射影时,若 b ? c ,则 a ? b (D)当 b ? ? 且 c ? ? 时,若 c // ? ,则 b // c (4)设双曲线 的离心率等于( (A) ( )

4 5

2? 4 3 ? ) 等于 , ? ? ? ? 0, 则 cos(? ? 3 5 2 3 4 3 (B) ? (C) (D) 5 5 5

(

)

y 2 x2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的渐近线与抛物线 y ? x2 ? 1 相切,则该双曲线 a 2 b2
) (B) 5 (C) 6 (D)

5 2

6 2

(5)已知 f ( x ) 是定义在 R 上的函数,对任意 x ? R 都有 f ( x ? 4) ? f ( x) ? 2 f (2) ,若函 数 f ( x ? 1) 的图象关于直线 x ? 1 对称,且 f (1) ? 2 ,则 f (2011) 等于( (A)2 (B)3 )

(C)-2 (D)-3 ??? ? ??? ? ??? ? ? ??? ? ???? ??? ? (6)已知 ?ABC 平面内一点 P 满足 PA ? PB ? PC ? 0 ,若实数 ? 满足: AB ? AC ? ? AP , 则 ? 的值为( (A)6 ) (B)3 (C)2 (D)

3 2

(7)定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 满足 f ( ? x) ? f ( ? x) , ( x ? ) f ?( x ) ? 0 ,任意的

5 2 x1 ? x2 ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 是 x1 ? x2 ? 5 的

5 2

5 2

(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件 (8)一个棱锥的三视图如图(尺寸的长度单位为 m) ,则该棱锥的全面积是(单位:m2) .

正视图 (A) 4 ? 2 6 (B) 4 ? 6

侧视图 (C) 4 ? 2 2

俯视图 (D) 4 ? 2

(9) 已知 ?ABC 中, 角 A、 B、 C 的对边分别是 a、 b、 c, 且a t n B?

??? ? ??? ? 1 2? 3 , B C B A ? ? 2 a2 ? b ?2c 2
( )
1

则 tan B 等于(A)

3 2

(B) 3 ? 1

(C)2 (D) 2 ? 3

(10)关于 x 的不等式 ( x ? 1)2 ? ax2 有且只有三个整数解,则实数 a 的取值范围是

2 8 5 16 9 (C) ( , ) (D) ( , ) 9 2 9 4 3 ? (11)从点 P 出发的三条射线 PA, PB, PC 两两成 60 角,且分别与球 O 相切于 A, B, C 三点, 4? 若球的体积为 ,则 OP 两点之间的距离为 3 3 (A) 2 (B) 3 (C) (D)2 2
(A) ( , ) (B) ( ,3)
x ( 12 )已知集合 A ? x ?1 ? x ? 0 , 集合 B ? x ax ? b?2 ?1 ? 0, 0 ? a ? 2,1 ? b ? 3 ,则

4 3 3 2

?

?

?

?

A ? B ? ? 的概率为
(A)

1 4

(B)

3 4

(C)

1 16

(D)

15 16

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填在答题卡相应的位置. (13)函数 f ( x) ? sin x ? cos x( x ? R) 的图象按向量 ( m, 0) 平移后,得到函数 y ? f ?( x) 的图 象,则 m 的值是_______; (14)给出下列四个命题:其中正确命题的序号是_______;
2 ①?x ? R, e x ? ex ;②?x0 ? (1,2) ,使得 ( x0 ? 3x0 ? 2)e x0 ? 3x0 ? 4 ? 0 成立;

③ 在 ?ABC 中,若 tan A ? tan B ? tan C ? 0 ,则 ?ABC 是锐角三角形. ④ 已知长方体的长、宽、高分别为 a, b, c, 对角线长为 l ,则 l 3 ? a 3 ? b3 ? c3 ;

(15)已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 左、右焦点分别为 F1、F2 ,过点 F2 作与 x 轴垂直的直线与双 a2 b2

曲线一个交点为 P ,且 ?PF1 F2 ?

?
6

,则双曲线的渐近线方程为_______;

? a, x ? 1 ? (16) 函数 f ( x) ? ? 1 | x ?1| 若关于 x 的方程 2 f 2 ( x) ? (2a ? 3) f ( x) ? 3a ? 0 有五个不同的 ( ) ? 1, x ? 1 ? ? 2 实数解,则 a 的取值范围是_______. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. (17) (本小题满分 12 分) 在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c, q=( 2 a ,1) ,p=( 2b ? c ,

cos C )且 p // q .求: (I)求 sin A 的值; (II)求三角函数式

? 2 cos 2C ? 1 的取值范围. 1 ? tan C

(18) (本小题满分 12 分) 已知在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 4 的正方形,△ PAD 是正三角形,平面 PAD⊥ 平面 ABCD,E、F、G 分别是 PA、PB、BC 的中点.
2

(I)求证:EF ? 平面 PAD; (II)求平面 EFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的大小; (III)若 M 为线段 AB 上靠近 A 的一个动点,问当 AM 长度等于多少时,直线 MF 与平 面 EFG 所成角的正弦值等于

15 ? 5

(19) (本小题满分 12 分)
an an?1 an?2 * 已知各项都是正数的等比数列 {xn } ,满足 xn ? xn ?1 ? xn ? 2 (n ? N ).

(I)证明数列 {

1 1 1 } 是等差数列; ? 1, ? 15 , 当 m ? 1 时 , 不 等 式 ( II ) 若 an a1 a8

an?1 ? an?2 ? ? ? a2n ?

12 (log(m?1) x ? logm x ? 1) 对 n ? 2 的正整数恒成立,求 x 的取值范围. 35

(20) (本小题满分 12 分)

x2 y2 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴 2 a b 2 长为半径的圆与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切. (I)求椭圆 C 的方程; (II)若过点 M (2,0)的
已知椭圆 C : 直线与椭圆 C 相交于两点 A, B ,设 P 椭圆上一点,且满足 OA ? OB ? t OP ( O 为坐标原 点) ,当 PA ? PB <

2 5 时,求实数 t 取值范围. 3

(21) (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x ?

1 2 ax ? bx(a ? 0) .(I) 若 b ? 2 ,且 2

y ? f ( x) 存在单调递减区间, 求 a 的取值范围; (II) 若函数 y ? f ( x) 的图像与 x 轴交于 A,
3

B 两点,线段 AB 中点的横坐标为 x0 ,证明: f '( x0 ) ? 0 .

(22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, 直线 AB 经过⊙O 上的点 C , 并且 OA ? OB, CA ? CB, ⊙O 交直线 OB 于 E , D, 连接 EC, CD . (I)求证:直线 AB 是⊙O 的切线; E O D A C B

1 (II)若 tan ?CED ? , ⊙O 的半径为 3 ,求 OA 的长. 2

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
? ? ?x=1+tcosα, ?x=cosθ 已知直线 C1:? (t 为参数),圆 C2:? (θ 为参数). ?y=tsinα, ?y=sinθ, ? ? π (I)当 α= 时,求 C1 与 C2 的交点坐标; 3 (II)过坐标原点 O 作 C1 的垂线,垂足为 A,P 为 OA 的中点.当 α 变化时,求 P 点轨 迹的参数方程,并指出它是什么曲线.

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? log2 (| x ? 1 | ? | x ? 2 | ?m) . (I)当 m ? 5 时,求函数 f ( x) 的定义域; (II)若关于 x 的不等式 f ( x) ? 1 的解集是 R ,求 m 的取值范围.

4

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. (17) (本小题满分 12 分) 解: (I)∵p // q ,∴2a cos C ? 2b ? c , 根据正弦定理,得 2 sin A cos C ? 2 sin B ? sin C ,

…………(2 分) …………(4 分)

又 sin B ? sin ? A ? C ? ? sin A cos C ? cos Asin C ,

1 1 ? sin C ? cos A sin C ,? sinC ? 0 ,? cos A ? , 2 2 ? 3 又? 0 ? A ? ? ? A ? ;sinA= 3 2
(II)原式 ?

…………(6 分)

? 2 cos 2C 2(cos2 C ? sin 2 C ) ?1 ? 1? ? 1 ? 2 cos2 C ? 2 sin C cosC , sin C 1 ? tanC 1? cosC
…………(8 分)

), …………(10 分) 4 2 ? ? 13 2 ? ? ,∴? ? sin(2C ? ) ? 1 , ∵0 ? C ? ? ,∴? ? 2C ? ? 2 4 4 4 12 3 ? ∴? 1 ? 2 sin(2C ? ) ? 2 ,∴ f (C ) 的值域是 (?1, 2 ] . …………(12 分) 4
(18) (本小题满分 12 分) 方法 1: (I)证明:∵ 平面 PAD⊥ 平面 ABCD, AB ? AD , ∴ AB ? 平面 PAD, …………(2 分) ∵ E、F 为 PA、PB 的中点, ∴ EF//AB,∴ EF ? 平面 PAD; …………(4 分) (II)解:过 P 作 AD 的垂线,垂足为 O, ∵平面PAD ? 平面ABCD ,则 PO ? 平面 ABCD. 连 OG,以 OG,OD,OP 为 x、y、z 轴建立空间坐标系, …………(6 分)
5

? sin 2C ? cos 2C ? 2 sin( 2C ?

?

∵ PA=PD ? AD ? 4 ,∴OP ? 2 3, OD ? OA ? 2 , 得 A(0,?2,0), B(4,?2,0), C(4,2,0), D(0,2,0), P(0,0,2 3) ,

E(0,?1, 3), F (2,?1, 3), G(4,0,0) ,故 EF ? (2,0,0), EG ? (4,1,? 3) ,
? ? ?n ? EF ? 0 ?2 x ? 0 ,即? 设平面 EFG 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ), 则 ? , ? ? ?4 x ? y ? 3 z ? 0 ?n ? EG ? 0,

取z ? 1, 得n ? (0, 3,1) , 平面 ABCD 的一个法向量为 n 1 ? (0,0,1), 平面 EFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值是:

…………(7 分)

| cos ? n, n1 ??

n ? n1 1 ? ,锐二面角的大小是 60? ; | n || n1 | 2

…………(8 分)

(II)解: EF ? (2,0,0), EG ? (4,1,? 3) , 设平面 EFG 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ),

? ? ?n ? EF ? 0 ?2 x ? 0 ,即? 则? , 取z ? 1, 得n ? (0, 3,1) ,…………(7 分) ? ? ?4 x ? y ? 3 z ? 0 ?n ? EG ? 0,
平面 ABCD 的一个法向量为 n 1 ? (0,0,1), ……【以下同方法 1】 方法 3: (I)证明:∵ 平面 PAD⊥ 平面 ABCD, AB ? AD , ∴ AB ? 平面 PAD, …………(2 分) ∵ E、F 为 PA、PB 的中点, ∴ EF//AB,∴ EF ? 平面 PAD; …………(4 分) (II)解:∵EF//HG,AB//HG,∴ HG 是所二面角的棱, …………(6 分) ∵ HG // EF,∴HG ? 平面 PAD, ∴ DH ? HG,EH ? HG , ∴? EHA 是锐二面角的平面角,等于 60? ; ………(8 分) (III)解:过 M 作 MK⊥ 平面 EFG 于 K,连结 KF, 则 ? KFM 即为 MF 与平面 EFG 所成角, ………(10 分) 因为 AB//EF, 故 AB/平面 EFG, 故 AB/的点 M 到平面 EFG 的距离等于 A 到平面 EFG 的
6

距离,∵HG ? 平面 PAD,∴ 平面 EFGH ? 平面 PBD 于 EH, ∴ A 到平面 EFG 的距离即三角形 EHA 的高,等于 3 ,即 MK ? 3 ,

15 3 ? , FM ? 5 ,在直角梯形 EFMA 中, AE ? EF ? 2 , 5 FM ∴ AM ? 1 或 AM ? 3 ∵ M 靠近 A,∴AM ? 1 …………(11 分) 15 ∴ 当 AM ? 1 时, MF 与平面 EFG 所成角正弦值等于 .…………(12 分) 5


(II)由(Ⅰ )设 ? 令

?1? 1 1 1 , ? 的公差为 d ,知 ? ? (8 ? 1)d , d ? 2 , an ? 2n ? 1 a8 a1 ? an ?

f (n) ? an?1 ? an?2 ? ? ? a2n ,则 f (n ? 1) ? an?2 ? an?3 ? ?? a2n ? a2n?1 ? a2n?2 ,
1 1 1 1 ? ? ? ? 0. 4n ? 1 4n ? 3 2n ? 1 (4n ? 1)(4n ? 3)(2n ? 1)
…………(8 分)

f (n ? 1) ? f (n) ?

∴ 函数 f ( n) 单调递增, 当 n ? 2 时, f ( n) min ? f (2) ? a3 ? a4 ? ∴12 ? 12 (log m?1 x ? log m x ? 1) ,即 logm?1 x ? logm x ? 1 ? 1 , 35 35

1 1 ? . 5 7

…………(10 分)

logm?1 x ? logm x ,

lg x lg x ? , lg x[lg(m ? 1) ? lg m] ? 0 . lg(m ? 1) lg m
…………(12 分)
7

而 m ? 1 ,∴x 的取值范围是 (1, ??) .

(Ⅱ )由题意知直线 AB 的斜率存在. 设 AB : y ? k ( x ? 2) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , P ( x, y ) ,

? y ? k ( x ? 2), ? 由 ? x2 得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0 . 2 ? ? y ? 1. ?2

? ? 64k 4 ? 4(2k 2 ? 1)(8k 2 ? 2) ? 0 , k2 ?
x1 ? x2 ? 8k 2 8k 2 ? 2 x ? x ? , . 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

1 2

.………… (6 分)

∵OA ? OB ? t OP ,∴( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? t ( x, y) , x ?

x1 ? x2 8k 2 , ? t t (1 ? 2k 2 )

y?

y1 ? y2 1 ?4k ? [k ( x1 ? x2 ) ? 4k ] ? . t t t (1 ? 2k 2 )

∵ 点 P 在椭圆上,∴ ∴16k ? t (1 ? 2k )
2 2 2

(8k 2 )2 (?4k )2 ? 2 ?2, t 2 (1 ? 2k 2 )2 t 2 (1 ? 2k 2 )2
…………(8 分)

∵ PA ? PB <

2 5 20 2 5 2 2 2 ,∴ 1 ? k x1 ? x2 ? ,∴(1 ? k )[( x1 ? x2 ) ? 4 x1 ?x2 ] ? 9 3 3

8

(21) (本小题满分 12 分) 解: (I)当 b ? 2 时, f ( x) ? ln x ?

1 2 ax ? 2 x 2 1 ax 2 ? 2 x ? 1 . 则 f '( x) ? ? ax ? 2 ? ? x x
因为函数 f ( x ) 存在单调递减区间,所以 f '( x ) <0 有解.

…………(2 分)

又因为 x>0 时,则 ax2+2x-1>0 有 x>0 的解. ① 当 a>0 时,y=ax2+2x-1 为开口向上的抛物线,ax2+2x-1>0 总有 x>0 的解; ② 当 a<0 时,y=ax2+2x-1 为开口向下的抛物线,若 ax2+2x-1>0 总有 x>0 的解; 则需△ =4+4a>0,且方程 ax2+2x-1=0 至少有一正根.此时,-1<a<0. 综上所述,a 的取值范围为(-1,0)∪ (0,+∞) …………(5 分) (II) 设点 A,B 的坐标分别是(x1, 0) , (x2, 0) ,0<x1<x2. 则点 AB 的中点横坐标为 x0 ?

x1 ? x2 , 2

1 2 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ln x2 ? ln x1 ? a( x2 ? x12 ) ? b( x2 ? x1 ) 2 ?1 ? ? ln x2 ? ln x1 ? ? a( x2 ? x1 ) ? b ? ( x2 ? x1 ) ? 0 ?2 ? ?1 ? 则 ln x2 ? ln x1 ? ? a( x2 ? x1 ) ? b ? ( x2 ? x1 ) ?2 ?

…………(7 分)

f '( x0 ) ?

ln x2 ? ln x1 1 2 a 2 ? ax0 ? b ? ? ( x2 ? x1 ) ? b ? ? x0 x1 ? x2 2 x1 ? x2 x2 ? x1 2(
…………(9 分)

x2 ? 1) 2( x2 ? x1 ) x1 x 1 1 ? [ ? (ln x2 ? ln x1 )] ? [ ? ln 2 ] x2 ? x1 x1 ? x2 x2 ? x1 1 ? x2 x1 x1

9

x2 ? 1) x2 x1 x 2(t ? 1) 设t ? ,则 y ? ? ln 2 ? ? ln t , t ? 1. x x1 x 1 ? t 2 1 1? x1 2(

4 1 (t ? 1)2 2(t ? 1) ? ? ln t , t ? 1. 则 r (t ) ? 令 r (t ) ? ? ?? . 1? t (t ? 1)2 t t (t ? 1)2
因为 t ? 1 时, r ?(t ) ? 0 ,所以 r (t ) 在 [1,?? )上单调递减. 故 r (t ) ? r (1) ? 0. 而

1 ? 0 . 故 f '( x0 ) ? 0 x2 ? x1

…………(12 分)

(23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 π 解: (I)当 α= 时,C1 的普通方程为 y= 3(x-1),C2 的普通方程为 x2+y2=1. 3

?y= 3?x-1?, 1 3 联立方程组? 2 2 解得 C1 与 C2 的交点为(1,0),( ,- ).………(5 分) 2 2 ?x +y =1, (II)C1 的普通方程为 xsinα-ycosα-sinα=0. A 点坐标为(sin2α,-cosαsinα), 故当 α 变化时,P 点轨迹的参数方程为 1 x= sin2α, 2 1 1 (α 为参数). P 点轨迹的普通方程为(x- )2+y2= . 4 16 1 y=- sinαcosα, 2 1 1 故 P 点轨迹是圆心为( ,0),半径为 的圆. …………(10 分) 4 4 (24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 解: (I)由题设知: | x ? 1 | ? | x ? 2 |? 5 ,

? ? ?

10

不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集: ?x ? 2 ?1 ? x ? 2 ?x ? 1 ,或 ? ,或 ? , ? ?x ? 1 ? x ? 2 ? 5 ?x ? 1 ? x ? 2 ? 5 ?? x ? 1 ? x ? 2 ? 5 解得函数 f ( x) 的定义域为 (??,?2) ? (3,?? ) ; (II)不等式 f ( x) ? 1 即 | x ? 1 | ? | x ? 2 |? m ? 2 , ∵x ? R 时,恒有 | x ? 1 | ? | x ? 2 |?| ( x ? 1) ? ( x ? 2) |? 3 , 不等式 | x ? 1 | ? | x ? 2 |? m ? 2 解集是 R , ∴m ? 2 ? 3 , m 的取值范围是 (??,1] .

…………(5 分)

…………(10 分)

11


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