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2011年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(辽宁卷)


2011 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(供理科考生 使用)
注意事项: 1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,答卷前,考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上。 2. 回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效。 3. 回答第Ⅱ卷时,将

答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 (1) a 为正实数,i 为虚数单位,

a?i ? 2 ,则 a= i
(D)1

(A)2

(B) 3

(C) 2

(2)已知 M,N 为集合 I 的非空真子集,且 M,N 不相等,若 N ? C1M ? ?, 则M ? N ? (A)M (B) N
2

(C)I

(D) ?

(3)已知 F 是抛物线 y =x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点, AF ? BF =3 ,则线段 AB 的中 点到 y 轴的距离为 (A)

3 4

(B) 1

(C)

5 4

(D)

7 4 b ? a

(4)△ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,asin AsinB+bcos2A= 2a 则 (A) 2 3 (B) 2 2 (C)

3

(D) 2

(5)从 1.2.3.4.5 中任取 2 各不同的数,事件 A=“取到的 2 个数之和为偶数” ,事件 B=“取 到的 2 个数均为偶数” ,则 P(B︱A)= (A)

1 8

(B)

1 4

(C)

2 5

(D)

1 2

(6)执行右面的程序框图,如果输入的 n 是 4,则输出的 P 是 (A) 8 (B) 5 (C) 3 (D) 2

-1-

(7)设 sin ( (A)

?

?

7 9

1 +?) ,则 sin 2? ? = 4 3 1 (B) ? 9

(C)

1 9

(D)

7 9

(8)如图,四棱锥 S-ABCD 的底面为正方形,SD⊥底面 ABCD,则下列结论中不正确 的是 ...

(A) AC⊥SB (B) AB∥平面 SCD (C) SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 (D)AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角 (9)设函数 f(x)= ? (A)[-1,2]

?21- x ,x ? 1,

?1 - log 2 x,x>1,
(B)[0,2]

则满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是 (C)[1,+ ? ) (D)[0,+ ? )

(10)若 a,b,c 均为单位向量,且 a·b=0, (a-c)(b-c)≤0,则 a ? b - c 的最大值为 ·

-2-

(A) 2 - 1

(B)1

(C) 2

(D)2

(11)函数 f(x)的定义域为 R,f(-1)=2,对任意 x∈R,f’(x)>2,则 f(x)>2x+4 的 解集为 (A) (-1,1) (B) (-1,+ ? ) (C) ? ,-1) ((D) ? ,+ ? ) ((12)已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点,AB= 3 , ?ASC ? ?BSC ? 30? ,则 棱锥 S-ABC 的体积为 (A) 3 3 (B) 2 3 (C) 3 (D)1

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题-第 21 题为必考题,每个试题考生 都必须做答。第 22 题-第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题 :本大题共 4 小题, 每小题 5 分。 (13)已知点(2,3)在双曲线 C:
x 2 y2 ? 1 (a>0,b>0)上,C 的焦距为 4, a 2 b2

则它的离心率为_____________. (14)调查了某地若干户家庭的年收入 x(单位:万元)和年饮食支出 y(单位:万 元) ,调查显示年收入 x 与年饮食支出 y 具有线性相关关系,并由调查数据得到 y 对 x 的回归直线方程: .由回归直线方程可知,家庭年收入每增

加 1 万元,年饮食支出平均增加____________万元. (15)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为 2 3 ,它的三视图中的俯视图

如右图所示,

左视图是一个矩形,则这个矩形的面积是____________.

π (16)已知函数 f(x)=Atan( ? x+ ? ) ? >0, ? < ) ( ,y=f(x)的部分图像 2 π 如下图,则 f( )=____________. 24

-3-

三、解答题:解答应写文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8= -10 (I)求数列{an}的通项公式;

(II)求数列 (18) (本小题满分 12 分)

的前 n 项和。

如图,四边形 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD,PD∥QA,QA=AB=

1 PD。 2

(I)证明:平面 PQC⊥平面 DCQ (II)求二面角 Q-BP-C 的余弦值。 19.(本小题满分 12 分) 某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个品种(分别称为品种家和品种乙) 进行田间试验。选取两大块地,每大块地分成 n 小块地,在总共 2n 小块地中,随机选 n 小块 地种植品种甲,另外 n 小块地种植品种乙。 (I)假设 n=4,在第一大块地中,种植品种甲的小块地的数目记为 X,求 X 的分布列和 数学期望; (II)试验时每大块地分成 8 小块,即 n=8,试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地 2 上的每公顷产量(单位:kg/hm )如下表:

分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差;根据试验结果,你认为应该 种植哪一品种? 附:样本数据 x1,x2,?,xa 的样本方差 ,其中 x 为样本

平均数。 (20) (本小题满分 12 分) 如图,已知椭圆 C1 的中心在原点 O,长轴左、右端点 M,N 在 x 轴上,椭圆 C2 的短轴为 MN,且 C1,C2 的离心率都为 e,直线 l⊥MN,l 与 C1 交于两点,与 C2 交于两点,这四点按纵 坐标从大到小依次为 A,B,C,D。

-4-

(I)设 e ?

1 ,求 BC 与 AD 的比值; 2

(II)当 e 变化时,是否存在直线 l,使得 BO∥AN,并说明理由 (21)(本小题满分 12 分) 2 已知函数 f(x)=lnx-ax =(2-a)x. (I)讨论 f(x)的单调性; (II)设 a>0,证明:当 0<x<

1 1 1 时,f( +x)>f( -x) ; a a a

(III)若函数 y=f(x)的图像与 x 轴交于 A,B 两点,线段 AB 中点的横坐标为 x0,证明:f’ ( x0)<0. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分。做答是用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,A,B,C,D 四点在同一圆上,AD 的延长线与 BC 的延长线交于 E 点,且 EC=ED。

(I)证明:CD//AB; (II)延长 CD 到 F,延长 DC 到 G,使得 EF=EG,证明:A,B,G,F 四点共圆。 (23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系统与参数方程

在平面直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 的参数方程为

曲线 C2 的参数
-5-

方程为 在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴 的极坐标系中,射线 l:θ =a 与 C1,C2 各有一个交点。当 a=0 时,这两个交点间的距离为 2, 当 a=

π 时,这两个交点重合。 2 π π 时,l 与 C1,C2 的交点分别为 A1,B1,当 a=- 时,l 与 C1, 4 4

(I)分别说明 C1,C2 是什么曲线,并求出 a 与 b 的值; (II)设当 a=

C2 的交点为 A2,B2,求四边形 A1A2B2B1 的面积。 (24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x-2|-|x-5|。 (I)证明:-3≤f(x)≤3; 2 (II)求不等式 f(x)≥x -8x+15 的解集。

-6-


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