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[精品]普通高中课程标准实验教科书数学必修4全部学案




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普通高中课程标准实验教科书数学必修 4 全部学案
1.1.1 课 题:1.1.1 任意角 1.1 教学目的: 教学目的: 1.理解任意角的概念,学会在平面内建立适当的坐标系来讨论任意角; 2.能在到范围内,找到一个与已知角终边相同的角,并判定其为第几象限角; 3.能写出与任一已知角终边相同的角的集合。 教学重点: 教学重点:任意角的概念 教学难点: 教学难点:把终边相同的角用集合和符号语言正确表示出来; 关 键:理解终边相同的角的意义。 教学过程: 教学过程 一、问题情景: 1.复习提问:初中是如何定义角的? 2.以下生活中的实例中涉及到的角的范围: (1)体操运动员转体 720??跳水运动员向内、向外转体 1080?? (2)经过 1 小时时针、分针、秒针各转了多少度? 二、建构数学: 1.前面例子中的角不仅范围不在 [0 0 ,360 0 ] ,而且方向不同,所以有必要将角的 概 念 推 广 到 任 意 角 , 想 想 用 什 么 办 法 才 能 推 广 到 任 意 角? 2. 角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角;⑵“正角”与“负角”“零角”;⑶意义:用“旋转”定 义角,角的范围扩大了。 3.“象限角”和轴线角:为了研究方便,我们往往在平面直角坐标系中来讨论 角。 4.终边相同的角: ⑴-300°,-150°,-60°,60°,210°,300°,420°角分别是第几象限角?其中哪 些角的终边相同? ⑵探 集合: ⑶ 论: 三、知识应用: 1.在 例 1. 0°到 360°度的范围内,找出与下列各角终边相同的角,并分别判断它们 是第几象限的角: (1) 650°; (2)-150°; (3) -990°15′, 。 究:终边相同的角彼此之间有什么关系?写出与 60°角终边相同的角的 。 结 。

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2.已知α与 240°角的终边相同,判断 α 是第几象限角?2α是第几象限角? 例 2. 2 分别加以说明。

思考: 思考: (1)终边落在 x 轴正半轴上的角的集合如何表示?终边落在 x 轴上的角的集合 如何表示?(用 0 到 360 度的角表示). (2)终边落在坐标轴的角的集合如何表示? (3)若α是第三象限角,则 α 是第几象限角? 2

例 3. 写出与下列各角终边相同的角的集合 S,并把 S 中在 ? 360° ~ 720° 间的角 写出来: (1) 60° ; (2) ? 21° ; (3) 363°14′ 。

四、巩固练习: 1.锐角是第几象限的角?第一象限的角是否都是锐角?小于 90°的角是锐角 吗?0°~90°的角是锐角吗? 2.已知角的顶点与坐标系原点重合,始边落在 x 轴的正半轴上,作出下列各 角,并指出它们是第几象限角或轴线角? (1)420°; (2)-75°; (3)855°; (4)-510°; (5)810°。 3.今天是星期一,100 天后的那一天是星期 ,100 天前的那一天是星 期 。 4.钟表经过 4 小时,时针与分针各转了 (填度)。 5.教材 P7,练习:1----5 五、课堂小结: 本节课我们学习了正角、负角和零角的概念,象限角的概念,要注意如果 角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限.本节课重点是学习终边 相同的角的表示法.严格区分“终边相同”和“角相等”;“轴线角”“象限 角”和“区间角”;“小于 90°的角”“第一象限角”“0°到 90°的角”和 “锐角”的不同意义.? 六、课后作业: 教材 P10,习题 1.1: 1、2;教材 P11:12。
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课 题:1.1.2 弧度制 1.1.2 教学目的: 教学目的: 1.理解弧度的意义,能正确地进行弧度与角度的换算,熟记特殊角的弧度数; 2.了解角的集合与实数集 R 之间可以建立起一一对应的关系; 3.掌握弧度制下的弧长公式,会利用弧度制解决某些简单的实际问题。 教学重点: 教学重点:使学生理解弧度的意义,能正确地进行弧度与角度的换算。 教学难点: 教学难点:弧度的概念。 关 键:弄清 1 弧度的角的含义是建立弧度制的关键。 教学过程: 教学过程 一、问题情景: 1.复习提问:角的概念的推广-----⑴“旋转”形成角;⑵“正角”与“负 角”“0 角” 2.引言中,我们曾考虑用(r,l)来表示点 P,那么 r,l 与之间具有怎样的关 系呢? 3.角度制的定义: (1)我们研究过角的度量,当时是用度做单位来度量角,1°的角是如何定义 的?
nπr 180 (3)探究:30°、60°的圆心角,半径 r 为 1,2,3,4,分别计算对应的弧

(2)弧长公式为 l =

长 l,再计算弧长与半径的比。结论:圆心角不变,则比值不变,因此比值的 大小只与角的大小有关。 因此,我们可以利用这个比值来度量角,这就是另一种度量角的制度—— 弧度制。 二、建构数学: 1.弧度、弧度制的定义及其记法 注:用弧度表示角的大小时,只要不产生误解,可以省略单位。 2.探究: ⑴平角、周角的弧度数;⑵正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角 l 的弧度数是 0;⑶角α的弧度数的绝对值 α = ( l 为弧长, r 为半径);⑷角 r 度制、弧度制度量角的两种不同的方法,单位、进制不同,但反映的事物本身 不变,改变的是不同的观察、处理方法,因此结果有所不同;⑸用角度制和弧 度制来度量零角,单位不同,但数量相同;用角度制和弧度制来度量任一非零 角,单位不同,量数也不同。 3. 角度制与弧度制的换算: 算器”进行(见教材)。 注:教材 P8,图 1-1-8 给出了一些角的弧度数与角度数之间的关系(要熟记)。
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;度数与弧度数的换算也可借助“计



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4.弧长公式与扇形面积公式: 5.角的集合与实数集 R 之间的一一对应关系: 三、知识应用: 例 1. 把下列各角从弧度化为度: 3 (1) π rad ; (2)3.5; 5
19 π。 3

(3)-

例 2. 把下列各角从度化为弧度: (1)252°; (2)-11°15′; (3)-150°。

3.已知扇形的周长是 8cm,圆心角为 2rad,求该扇形的面积。 例 3.

例 4. 将下列各角化成 0 到 2π 的角加上 2kπ (k ∈ Z ) 的形式:⑴ ⑵
? 315 。

19 π 3



5.(1)直径为 20cm 的圆中,求下列各圆心所对的弧长 ⑴ 例 5.

4π ⑵ 165 3 ⑵已知扇形周长为 10cm,面积为 6cm2,求扇形中心角的弧度数。

四、巩固练习:教材 P10,练习:1---7 五、课堂小结: 1.弧度制定义;2.与弧度制的互化;3.特殊角的弧度数;4.用弧度制表示的 弧长公式、扇形面积公式。 六、课后作业: 教材 P10,习题 1.1:3---9。

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任意角的三角函数(-) 教学目标:1、掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义。 2、掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数值在各象限 的符号。 教学重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义及定义域 教学过程: 一、问题情境 用(r,a)与用坐标(x,y)均可表示圆周上点 p,那么,这两种表示 有什么内在联系? 确切地说:用怎样的数学模型建立(x,y)与(r,a)之间的关系? 二、学生活动 1、回忆初中利用直角三角形定义的锐角三角函数, 2、怎样将锐角三角函数推广到任意角? 3、在平面直角坐标系中,设 α 的终边上任意一点 p 的坐标是 (x,y),它与原点距离 r= 三、数学建构 1、锐角的三角函数定义: 2、将锐角三角函数推广到任意角 一般地对任意角 α ,我们规定:
y y (1)比值 r 叫做 α 的正弦,记作 sin α 即 sin α = r

x (2)比值 r 叫做 α 的余弦,记作 cos α 即

(3) 比值 y (x≠0)叫做 α 的正切,记作 tan α 即 x 四、数学理论 问题:对于确定的角 α 正弦、余弦、正切( α ≠kπ+ π ,k∈z)是角 α 2 的函数吗?为什么? 1、三角函数的定义: 2、三角函数的定义域:

3、由定义可知正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各象限的符号 如图
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y

y

y

x

x

x

sin α

cos α

tan α

注:正弦函数值得符号与 y 的符号相同,余弦函数值的符号与 x 的 符号相同;正切函数值的符号与 x 和 y 的比值的符号相同。 五、数学应用 1、例题 例 1(1)已知角 α 的终边经过点 p(2,-3)求角 α 的正 弦、余弦、正切值。 (2) 已 知 角 α 的 终 边 经 过 点 p ( 2a , -3a ) 求 2sin α +cos α 的值。 例 2 求下列各角的正弦、余弦、正切值 0
0

30

0

45

0

60

0

90

0

180

0

270

0

360

0

例 3 求下列函数的定义域 (1)y=tan(2x) 例 4 确定下列函数值的符号 (1)cos 7π 12 2、练习 六、回顾小结 这节课主要内容是任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定 义,(1)会求(2)会用 作业:课外 P23 习题 1、2 1、3、4、5、6、16 课本 P16 (2)sin(-4650) 1、2、4、5、6 (3)tan 11π 3 (2)y=tan(x- π ) 4

任意角的三角函数(二) 教学目标:1、理解单位圆中的三角函数线。 2、会用角 a 的正弦线、余弦线、正切线分别表示任意角 a 的正 弦、余弦、正切函数值。 教学重点:单位圆中的正弦线、余弦线、正切线 教学过程:

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一、问题情境 回忆任意角的三角函数定义、定义域及三种三角函数值在各象限的符 号 二、学生活动 思考:能否用几何方法表示正弦、余弦、正切这三种三角函数值? 三、数学建构及理论 1、有向线段 2、有向直线 3、有向线段的数量 4、正弦线、余弦线的定义:sin α = MP 5、正切线的定义:tan α = AT cos α = M

四、数学应用 例 1.作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线 (1) π 3
π (2) 56 π (3)- 23

(4)- 17π 4

例 2 在单位圆中,画出适合下列条件角 a 的终边的范围,并由此得 出角 a 的范围 (1)sin α ≥
3 2

(2)cos α <- 1 2

(3)tan α ≥1

例 3 根据单位圆中的三角函数线,探究: (1)正弦函数、余弦函数、正切函数的值域, (2)正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的单调性, (3)正切函数在区间(- π , π )上的单调性 2 2 (1)cos 7π 12 (2)sin(-4650) (3)tan 11π 3

练习 五、回顾小结

课本 P16

7、8

掌握好单位圆中的正弦线、余弦线、正切线 作业:课外 P23 习题 1、2 2、18 选做 19、20

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1.3.2 三角函数的图像和性质(一) 三角函数的图像和性质(
教学目标:(1)能借助正弦线画出正弦函数的图像,并在此基础上由诱导公式画 出余弦函数的图像; (2)借助图像理解正弦函数、余弦函数的性质; 教学重点:正弦函数、余弦函数的图像及性质; 教学难点:借助正弦曲线画正弦函数的图像; 教学过程: 一、问题情境 1.复习:正弦函数线,正弦函数的周期性; 2.问题:怎样直观地研究三角函数的性质?――利用图像 怎样作出正弦函数 y = sin x 的图像?――利用正弦函数线 二、数学建构 1.正弦函数 y = sin x 的图像 由于 y = sin x 是周期为 2π 的周期函数,所以只需画出在 [0,2π ] 上图像,然 后由周期性就可以得到整个图像. (1)借助正弦线画出 y = sin x , x ∈ [0,2π ] 的图像

(2) y = sin x, x ∈ R 的图像

2.余弦函数的图像: y = cos x 的图像是由 y = sin x 的图像向左平移 的.

π
2

个单位得到

3.正弦函数、余弦函数的性质

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函 数 性质 定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性 4.思考

正弦函数

余弦函数

(1)正弦函数 y = sin x , x ∈ [0,2π ] 的图像上起到关键性作用的点有哪些? (2)余弦函数 y = cos x , x ∈ [0,2π ] 的图像上起到关键性作用的点有哪些? 三、数学应用 例 1.用“五点法”画出下列函数的简图: (1) y = 2 cos x, x ∈ R (2) y = sin 2 x, x ∈ R

四、练习 P33 /1、2、3 五、小结 (1)正弦函数、余弦函数的图像及性质; (2)“五点法”画正弦函数、余弦函数图像 六、作业 课本 P46 / 2

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1.3.2 三角函数的图像和性质(二) 三角函数的图像和性质(
教学目标:进一步理解、掌握正弦函数、余弦函数的图像及性质,能应用正弦、 余弦函数的图像与性质解决有关数学问题; 教学重点:应用正弦、余弦函数的图像与性质解决数学问题; 教学过程: 一、问题情境 三角函数的图像与性质 二、数学应用 例 1.求下列函数的最大值及取得最大值时自变量 x 的集合 x (1) y = cos (2) y = 2 ? sin 2 x 3

例 2.求下列函数的值域 cos x (1) y = 2 cos x + 1

(2) y = 1 ? 2 sin 2 x + 2 cos x

π? ? 例 3.(1)求函数 y = sin ? 2 x + ? 的单调增区间; 3? ? π? ? (2)求函数 y = ?2 cos? x + ? 的单调减区间. 4? ?

例 4.求下列函数的定义域 (1) y = 2 sin x + 1 (2) y =
? 2 cos x ? 3 1 + cos x

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例 5.比较下列各组数的大小 (1) sin 16 o 与 sin 154 o (2) cos110 o 与 cos 260 o (3) sin 230 o 与 cos 170 o

练习: P33 / 4、5、6、7 三、小结 注意灵活运用三角函数线与三角函数图像及性质解决数学问题

四、作业 P45 习题 1.3 / 3(1)(2)、4、5(2)(3)(4)、6、12、13

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三角函数的图象和性质复习
一. 知识回顾 本节主要学习了以下知识:三角函数的周期;正弦、余弦、正切函数的图象 和性质以及函数 y = A sin( wx + ? ) 的图象和性质.
1.函数 y = cos x , y = tan x 的图象和性质.

函数 图象 定义域 值域 最值 周期 奇偶性 单调性

y = sin x

y = cos x

y = tan x

对称性
2.函数 y = A sin(ω x + ? )( A > 0, ω > 0) 的图象和性质:

⑴函数 y = A sin(ω x + ? )( A > 0, ω > 0) 的周期为 为
.

,对称中心为

,对称轴

⑵函数 y = A cos(ω x + ? )( A > 0, ω > 0) 的周期为 为
.

,对称中心为

,对称轴

⑶函数 y = A tan(ω x + ? )( A > 0, ω > 0) 的周期为

.

⑷ y = A sin(ω x + ? )( A > 0, ω > 0) 的图象可由正弦曲线经过 平移得到. 二.例题解析

1.下列函数中是以 π 为周期的偶函数,又在 (0, ) 上单调增的函数为( 2
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π

)

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A. y = cos x

B. y = sin

1 x 2

C. y = cos 2 x

D. y = tan x
.

π ? π 5π ? 2.已知角 α ∈ ? , ? (α ≠ ) ,则 tan α 的取值范围是 2 ?3 6 ?
π

3.关于函数 y = 4sin(2 x + ) ,下列命题中:①由 f ( x1 ) = f ( x2 ) = 0 可得 x1 ? x2 必是 3 6

π π 的整数倍.② y = f ( x) 的表达式可以改写为 y = 4 cos(2 x ? ) ③ y = f ( x) 的图象 π
6 , 0) 对 称 . ④ y = f ( x) 的 图 象 关 于 直 线 x = ? .

关 于 点 (? 有

π

6

对称.正确的命题

4. 函数 y = f ( x) 在区间 [ ?1,0] 上是单调增函数,又 α , β 是锐角三角形的两个内

角,则( )
A. f (sin α ) > f (cos β ) C. f (sin α ) < f (cos β ) B. f (sin α ) > f (sin β ) D. f (cos α ) < f (cos β )

5.求函数 y = 2 cos x ? 1 + tan

x 的定义域. 2

1 π 6.已知函数 y = sin(3 x + ) 2 6

⑴求 y 取得最大值和最小值时相应的 x 的值. ⑵求函数的单调递增区间,和单调递减区间. ⑶它的图象可由正弦函数图象经过怎样的变换得到.

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π π 7. 已 知 函 数 y = A sin(ω x + ? )( A > 0,ω > 0, ? < ? < ) 图 象 上 的 一 个 最 高 点 为 2 2
P(2, 2) ,由这个最高点到相邻最低点间的曲线与 x 轴相交于点 Q (6, 0) .

⑴求这个函数的表达式;

⑵求这个函数的单调区间.

三.课后作业
1 课本 P 49 9、10、11、12、13
2 .如果函数 f ( x) = a sin 2 x + b 的最大值为 3 ,最小值为 1 ,那么 a =



,函数的周期为 . 3 1 7 3.比较下列值的大小: cos , sin , cos . 2 10 4

b=

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的图象( 函数 y = A sin(ω x + ? ) 的图象(一)
教学目标: 教学目标: 1 结合具体实例,了解 y = A sin(ω x + ? ) 的实际意义,能借助计算机或计算器画 出该函数的图象,会用“五点法”画出函数 y = A sin(ω x + ? ) 的简图。 2 能由正弦曲线通过平移、伸缩变换得到 y = A sin(ω x + ? ) 的图象,并在这个过 程中认识到函数 y = sin x 与 y = A sin(ω x + ? ) 的联系。 教学过程: 教学过程: 一 问题情景 1 物体做简谐运动时,位移 s 和时间 t 的关系? 2 函数 y = A sin(ω x + ? ) ( A >0, ω >0)的图象与 y = sin x 的图象有什么关 系? 二 学生活动 1 作函数 y = sin( x + 1) 和 y = sin x 的图象,并总结两图象的关系。

思考:函数 y = sin( x ? 1) 的图象与函数 y = sin x 的图象有什么关系?

2 作函数 y = 3sin x 和 y = sin x 的图象,并总结两图象的关系。

1 思考:函数 y = sin x 的图象与函数 y = sin x 的图象有什么关系? 3

3 作函数 y = sin 2 x 和 y = sin x 的图象,并总结两图象的关系。

思考:函数 y = sin

1 x 的图象与函数 y = sin x 的图象有什么关系? 2

4 作函数 y = sin(2 x + 1) 和 y = sin 2 x 的图象,并总结两图象的关系。

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三 数学建构 1 总结:函数 y = sin( x + ? ) 的图象与函数 y = sin x 的图象的关系。

2 总结:函数 y = A sin x ( A >0 且 A ≠1)的图象与函数 y = sin x 的图象的关 系。 3 总结:函数 y = sin ω x ( ω >0 且 ω ≠1)的图象与函数 y = sin x 的图象的关 系。 4 函数 y = A sin(ω x + ? ) ( A >0, ω >0)的图象可由函数 y = sin x 经过哪些图 象变换而得到?画出图象变换的流程图。

四 数学应用 例 1 若函数 y = 3sin(2 x ? ) 表示一个振动量: 3 (1) 求这个振动的振幅、周期、初相; (2) 画出该图象的简图。

π

练习〈课本〉P42 1——6 五 练习 作业〈课本〉P45 8,9 六 作业 ( (写书上) 〈导学练〉P100 例 1,例 2

〈导学练〉P100 自我测评; 自我测评; 写 本 上 ) 〈课课练〉P26 1——9



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的图象( 函数 y = A sin(ω x + ? ) 的图象(二)
教学目标: 教学目标: 了解函数 y = A sin(ω x + ? ) 图象的特征,由三角函数图象(或图象特征),求函 数的对称 轴、对称中心及表达式。 教学过程: 教学过程: 一 问题情景 回顾函数 y = A sin(ω x + ? )( A ﹥0, ω >0)的振幅、周期、频率、初相,及与函 数
y = sin x 的关系。

数学建构、 二 数学建构、学生活动 1 函数 y = A sin(ω x + ? )( A ﹥0, ω >0)表示一个振动量,振幅是
3 π ,初相是 ,则这个函数的解析式为 2π 6 x x 2 要得到 y = sin 的图象,只需将 y = cos 的图象上所有的点( 2 2 1 ,频率是 2

。 )

A 向右平移

π

2 移 π 个单位。

个单位;B 向左平移

π

2

个单位;C 向左平移 π 个单位;D 向右平

3 (1)函数 y = sin x 的对称轴方程 对称中心坐标 (2)函数 y = 3sin(2 x + ) 的对称轴方程 6 对称中心横坐标 (3)函数 y = cos x 的对称轴方程 对称中心坐标 ? ? π ?? (4)函数 y = 5cos ?3 ? x + ? ? 的对称轴方程 6 ?? ? ? 对称中心坐标

。 。 。 。 。 。 。 。

π

总结:分别写出函数 y = A sin(ω x + ? ) 与 y = A cos (ω x + ? ) 的对称轴方程及对称 总结 中心坐标。

4 函数 y = A sin(ω x + ? )( A >0, ω >0)的最小值为-2,最小正周期为

2π ,且 3
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它的图象经过点(0,- 2 )。则 A = 正值是 。

,ω =

, ? 的最小

5 函数 f ( x) = 3sin(2 x + ? ) 的一个单调区间是[ A -

π 5π

π
6

; B

π
6



C -

π
2



D

π
2

, ],则 ? 的一个值是( ) 3 6

6 已知函数 y = A sin(ω x + ? )( A >0, ? < π ) 的一段图象如图所示。 (1) 求函数解析式; (2) 求这个函数的单调递增区间。

) 的图象在 y 轴上的截距 2 为 1,它在 y 轴右侧的第一个最大点和最小点分别为(x0,2)和(x0+3 π ,2)。 (1) 求 f(x)的解析式; 1 (2) 将 y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变),然后 3
7 已知函数 y = A sin(ω x + ? )( A ﹥0, ω >0, ? <= 个单位,得到函数 y=g(x)的图象,写 3 出 y=g(x)的解析式并用列表作图的方法画出 y=g(x)在长度为一个周期的 闭区间上的图象。 再将所得图象向 x 轴正方向平移

π

π

向量的概念及表示
教学目标: 1.了解向量的实际背景,会用字母表示向量,理解向量的几何表示; 2.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量等概念 3.通过师生互动、交流与学习,培养学生探求新知识的学习品质. 教学过程: 一、 情景创设与学生活动 问题 1:湖面上有 3 个景点 O,A,B,如图所示.一游艇将游客从景点 O 送至景 点 A,半小时后,游艇再将游客送至景点 B,从景点 O 到景点 A 有一个位移,
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从景点 A 到景点 B 也有一个位移.位移与距离这两个量有什么不同? O A 问题 2:下列物理量中,那些量分别与位移和距离这两个量类似:(1)物体在 重力作用下 发生位移,重力所做的功;(2)物体所受重力(3)物体的质量 为 a 千克;(4)1 月 1 日的 4 级偏南风的风速。 问题 3:物理中,速度,力用什么表示? 二、 建构数学 1.向量的概念及表示 (1) 向量的定义: (2) 向量的表示: B

(3) 向量的大小及表示

(4) 零向量:

(5) 单位向量: 思考:平面直角坐标系内,起点在原点的单位向量,它们终点的轨迹是什么图 形?

问题 4:在平行四边形 ABCD 中,向量 AB 与 CD,AB 与 DC 有什么关系?

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2、向量的关系 (1) 平行向量

(2) 相等向量

(3) 相反向量 问题 5:1.向量能否平移? 2. 要确定一个向量必须确定什么?要确定一个有向线段必须确定什么? 两者有何区别?

三、 数学应用: 1.例题讲解 例 1.下列命题中真命题是( ) A.任何两个非零向量的单位向量都是相等的向量 B.任何两个非零向量的单位向量是相等向量或互为相反向量 C.一个非零向量的单位向量有两个,它们互为相反向量 D.任何非零向量的单位向量的模相等 例 2.判断下列命题中正确的是( )

(1) 已知 a ∥ b ,那么向量 a , b 的方向相同或相反 (2) 已知向量 AB 与向量 CD 是共线向量,那么四点 A,B,C,D 必在同一 直线上; (3) 任何两个向量必可比较大小

例 3.已知 O 为正六边形 ABCDEF 的中心,如图,所标出的向量中: (1) 试找出与 FE 共线的向量; (2) 确定与 FE 相等的向量; (3) OA 与 BC 向量相等么?

例 4.如图,在 4×5 的方格纸中有一个向量 AB,分别以图中的格点为起点和 终点作向量,其中与 AB 相等的向量有多少个?与 AB 长度相等的共线向量有
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多少个?(AB 除外)

2.练习:课本 59 页 练习及习题 2.1

2

四、 课堂小结: (1) 向量是既有大小又有方向的量,向量有两个要素:方向和长度,称 为自由向量;有向线段具有三个要素:起点,方向和长度; (2) 数量(标量)与向量的区别与联系:向量不同于数量。数量是只有 大小的量,而向量是既有大小又有方向的量;数量可以比较大小, 而向量不能比较大小,只有它的模可以比较大小;记号“ a > b ”是 没有意义的,而| a |>| b |才有意义。 五、作业课本 59 页 习题 2.1 1,3,4,5

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向量的加法 教学目标: 1.理解向量加法的含义,会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个 向量的和; 2.掌握两个向量加法的交换率和结合率,并会用它们进行向量运算. 教学过程: 一、情景创设和学生活动 问题 1:利用向量的表示,从景点 O 到景点 A 的位移为 OA,从景点 A 到景点 B 的位移为 AB,那么经过这两次位移后游艇的合位移是 OB,向量 OA,AB, OB 三者之间有何关系? O B A 问题 2:一架飞机向北飞行 200 千米后,改变航向向东飞行 200 千米,飞机飞 行的路程和位移分别是多少?

二、数学建构和数学理论 1.向量减法的概念:(三角形法则)

问题 3:数的加法运算有那些性质?向量的加法也有类似的性质么?你能验证 么?

2.向量加法的性质: 验证下面的性质: (1) a+0 = 0 + a (2) a +(-a)= (-a)+ a = 0 (3) 加法满足交换率: a + b = b + a (4) 加法满足结合率: ( a + b) + c = a + (b +c ) 问题 4:通过对 a + b = b + a 的验证能得到什么结论 ?

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问题 5:如果平面内有 n 个向量依次首尾连接组成一条封闭折线,那么这 n 个 向量的和是多少? 三、数学应用 1.例题讲解 例 1.如图,O 为正六边形 ABCDEF 的中心,作出下列向量: (1) OA + OC (2)BC + FE (3) OA + FE

例 2.在长江南岸某渡口处,江水以 12.5km/h 的速度向东流,渡船的速度为 25km/h.渡船要垂直地度过长江,其航向应如何确定?

变式:若渡船以 25km/h 的速度按垂直于河岸的航向航行,那么受水流影响,渡 船的实际航向如何?

例 3.下列各式正确的是 ( ) A.若 a,b 同向,则有| a | + | b | = | a+b | B.a + b 与| a | + | b |表示的意义相同 C.若 a,b 不共线,则有| a + b | > | a | + | b | D.| a | < | a + b | 恒成立

3.练习:63 页 1,2,3,4

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四、课堂小结: 向量的加法运算有三角形法则和平行四边形法则,这两种运算是等价的。 三角形法则要求参加运算的向量是依次“首尾相连”,平行四边形法则要求 “共起点”.在实际运算中,可根据具体情况灵活选用.

五、作业: 68 页 1,2,3 向量的减法 教学目标:1.理解向量减法的含义,会做两个向量的差. 2.过知识发生发展过程教学使学生感受和领悟,数学发展的过程及其思想. 教学过程: 一,情景创设与教学活动 问题 1.向量的加法运算法则是什么? 问题 1.数的减法运算是如何定义的? 二.数学建构 向量减法概念 三.数学运用 例1. 如图已知向量 a, b 不共线,求做向量 a ? b .

问题 3:若知向量 a, b 是共线向量,求作向量 a ? b ,由例 1 得到如果两个向量有相同 的起点,则它们的差向量的作图方法是: . 问题 4:若 a, b ∈ R ,则 a ? b = a + (?b) 成立,向量 a ? b = a + (?b) 是否有成立?你能证 明吗?

例2.

如图, o 是平行四边形 ABCD 的对角线的交点,若 AB = a , DA= b ,

OC = c 试证明. b + c ? a = OA .

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例 3.求证:当两个向量 a, b 不共线时: ⑴ a ? b < a+b < a + b ⑵ a ? b < a ?b < a + b

2.练习 P65 :练 1,2,3,4,5

四.课堂小结 1.向量减法是向量加法的逆运算.
2.向量减法的性质: a ? b = a + (?b) 即,可把向量减法运算转化为向量加法的运算.

由于向量加减法都是用几何法(作图)来定义的,不管是三角形法则还是平行四边 形法则与几何意义密不可分,因此,解决向量加法,减法问题,数形结合必不可少. 五.作业 P68 4 课课练 P48 1-8

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向量的数乘 质点从 O 出发做匀速直线运动,若经过 1s 的位移对应的向量用 a 表示,那么在 同方向上经过 3s 的位移所对应的向量可用 3a 来表示。 这里,3a 是何种运算的结果? 向量数乘的定义:

向量的数乘满足的运算律:

例一

已 知 向 量 a 和 向 量 b , 求 作 向 量 -2.5a 和 向 量 2a-3b 。

例二 计算: (1)3(a-b)-2(a+2b) (2)2(2a+6b-3c)-3(-3a+4b-2c)

思考:向量数乘与实数乘法有哪些相同点和不同点?

练习 p66 1、2、3、4 作业:习题 2.2:5、6

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(第二课时)向量共线定理 例三 如图 D、E 分别为三角形 ABC 的边 AB,AC 的中点,求证:BC 与 DE 共 线,并将 DE 用 BC 线性表示。

向量共线定理:

证明:

例四 OC=

如图三角形 OAB 中,C 为直线 AB 上一点,AC= CB( =-1)求证: 。

思考:两个不共线向量可以表示平面内的任一向量吗? 练习:p68 1、2、3 作业:p68 习题 2.2 7、8、9

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复习: 掌握本单元知识(向量的有关概念,向量的加法、减法和数乘运算,向量共线 定理)及其相互联系,明了本单元的知识结构,能综合运用本单元的知识解决 有关问题。 例题分析 例一:在边长为 1 的正方形 ABCD 中,设 AB=a,BC=b,AC=c,求向量 a+b+c,a+b-c,b-a-c 的模。 , ,

例二:已知由不共线向量 u、v 确定的三个向量 a=u+v,b=3u-2v,c=2u+3v, 、 , , 若 a=mb+nc,试求 m,n 的值。

例三:如图,AD、BE、CF 分别是三角形 ABC 的中线,若 AD=m,BC=a,试 用 m 和 a 表示:(1)AB(2)CA(3)BE (4) CF

练习:p69 10、11 作业:p69 12、13

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课题:平面向量基本定理 教学目标:了解平面向量基本定理及其意义 教学重点:基本定理的简单应用 教学难点:基本定理的得出与证明 教学过程: 一、 问题情境 问题 1 ABCD 的对角线 AC 和 BD 交于点 M, AB = a, AD = b ,试用基底 a,b

表示 MC , MA,MB,MD 。 问题 2 平面内任一向量是否可以用两个不共线的向量来表示? 问题 3 相关的旧知是什么?(平面向量的共线定理) 二、 学生活动 回答上述问题 三、 数学建构 1.由作图可得 a = λ1e1 + λ 2 e2 2.探索:对于向量 a , λ1 , λ 2 是否是惟一的一组? 四、 数学理论 1.平面向量基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线的向量,那么 对 于 这 一 平 面 内 的 任 一 向 量 a , 有 且 只 有 一 对 实 数 λ1 , λ 2 , 使

a = λ1e1 + λ2 e2 。
2.基底、正交分解等概念。 五、 数学应用 例题 1.同步导学练 P123 例 1 已知三角形 OAB 中,点 C 和点 B 关于 A 对称,D 是 OB 上靠近 B 的三等分 点,设 OA = a, OB = b ,用 a, b 表示 OC , DC .

2.例 2 设 e1 , e2 是平面内的一组基底,如果 AB = 3e1 ? 2e2 , BC = 4e1 + e2 ,

CD = 8e1 ? 9e2 , 求证:A、B、D 三点共线。
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3.同步导学练 P123 例 2
1 设 a, b 是两个不共线的非零向量,记 OA = a, OB = tb(t ∈ R ) , OC = (a + b) ,那 3 么当实数 t 为何值时,A,B,C 三点共线?

练习 课本 P71 1—4。 六、 反思与小结 1.平面向量基本定理 2.平面向量基本定理与向量共线定理的比较。 3.三点共线的证明方法。 4.练习 3 的基本图形与结论。 七、 作业 同步导学练 123—124。

课题:平面向量的坐标运算 教学目标:掌握平面向量的正交分解及其坐标的意义与运算 教学重点:坐标的运算 教学难点:坐标的意义 教学过程: 一、 问题情境 问题 1 平面直角坐标系中,每一个点都可以用一对有序实数对(它的坐标)惟 一表示,对于直角坐标平面内的每一个向量,是否都可以用一对有序实数对 (它的坐标)表示惟一表示? 问题 2 若向量以原点为起点,则如何用坐标刻画向量?若向量不以原点为起点
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呢? 二、 学生活动 回答上述的问题 三、 建构数学 1.在平面直角坐标系中,分别取与 x 轴、Y 轴方向相同的两个单位向量 i, j 作为基底,则对于平面上的一个向量 a 有且只有 2. 问题 3 已知a = ( x1,y1 ),b = ( x 2,y 2 ),你能得出a + b,a ? b,λa 的坐标吗? 四、 数学理论 由向量运算的结合律、分配律及数乘的运算律可得 1.两个向量的和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差) 2.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标, 3.一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标。 五、 数学应用 例题 例 1 已知 A(-1,3),B(1,-3),C(4,1),D(3,4),求向量 OA, OB,AO,CD 的坐标。

思考:四边形 OCDA 是平行四边形吗? 例 2 已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A、B、C、D 的坐标分别是(-2, 1)、(-1,3)、(3,4),试求顶点 D 的坐标。

例 3 已知 P1(x1,y1),P2(x2,y2),P 是直线 P1P2 上一点,且 P1 P = λ PP2 (λ≠-1),求点 P 的坐标。

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练习:P741—6。 六、 反思与小结 1.直角坐标平面内的每一个向量,都可以用一对有序实数对(它的坐标)表示 惟一表示。 2.向量坐标运算的本质是向量的线性运算。 3.例 3 与 P67 的例 4 的区别与联系。 七.作业 P76-77 1、2、4、5、8、9。 课 题:向量的数量积(1) 教学目的:掌握向量的数量积及其几何意义;掌握向量数量积的重要性质及运 算律;了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题;掌握 向量垂直的条件. 教学重点:平面向量的数量积定义 教学难点:平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 教学过程: 一、问题情境: 1.问题:向量的运算有向量的加法、减法、数乘,那么向量与向量能否“相 乘”呢? 2.实例:一个物体在力 F 的作用下发生了位移 s ,那么该力对此物体所做的功为 多少? 力做的功: w =| F | . | s | cos θ , θ 是 F 与 s 的夹角. 二、讲解新课: (一)概念形成与知识建构: 1.两个非零向量夹角: b 的夹角. 注:当 θ = 0 时, a 与 b 同向;当 θ = π 时, a 与 b 反向;当 θ = 直,记 a ⊥ b . 2 . 平 面 向 量 数 量 积 ( 或 内 积 ) 的 定 ,叫做向量 a 与

π
2

时, a 与 b 垂

义:

,记作 a? b ,即

a ? b =| a | . | b | cos θ ,(0≤θ≤π).规定 0 与任何向量的数量积为 0. 注 : 当 a 与 b 同 向 时 , a? b =
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;当 a 与 b 反向时,
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a?b


a?a .

特别地, a ? a =| a | 2 或 | a |=

(二)?探究: 两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别: (1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由 cosθ的符号所决定 (2)两个向量的数量积称为内积,书写时符号“· ”不能省略,也不能用 “×”代替. (3)在实数中,若 a ≠ 0 ,且 a ? b = 0 ,则 b = 0 ;但是在数量积中,若 a ≠ 0 , 且 a ? b = 0 ,不能推出 b = 0 . (三)知识应用: 例 1. 判断正误,并简要说明理由 ① a ? 0 = 0 ;② 0 ? a = 0 ;③ 0 ? AB = BA ;④ a ? b =| a | . | b | ;⑤若 a ≠ 0 ,则对 任一非零 b ,有 a ? b ≠ 0 ;⑥ a ? b =0,则 a 与 b 至少有一个为 0 ;⑦对任意向量
a , b , c 都有 (a ? b )c = a (b ? c ) ;⑧ a 与 b 是两个单位向量,则 a = b .
2 2

评述:这一类型题,要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律

新疆 王新敞
奎屯

例 2. 已知向量 a 与向量 b 的夹角为 θ , | a |= 2 , | b |= 3 ,分别在下列条件下求 a ? b : (1) θ = 135 0 ; (2) θ = 60 0 ; (3) a ∥ b ; (4) a ⊥ b .

评述:两个向量的数量积与它们的夹角有关,其范围是[0°,180°],因 此,当a∥b时,有 0°或 180°两种可能. 三、课堂练习:课本:P80 练习:1、2、3 四、小结:
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通过本节学习,要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质,并能 运用它们解决相关的问题 五、作业:课本:P82 习题 2.4:1、2、3、4、5 链接:课本:P79-80 (1)“投影”的概念和向量的数量积的几何意义; (2)两个向量的数量积的性质. 课 题:向量的数量积(2) 教学目的:掌握平面向量数量积运算规律;能利用数量积的 5 个重要性质及数 量积运算规律解决有关问题;掌握两个向量共线、垂直的几何判断,会证明两 向量垂直,以及能解决一些简单问题. 教学重点:平面向量数量积及运算规律 教学难点:平面向量数量积的应用 教学过程: 一、情境: 复习引入: (1)两个非零向量夹角的概念: (2)平面向量数量积(内积)的定义: (3)“投影”的概念: (4)向量的数量积的几何意义: (5)两个向量的数量积的性质: 二、讲解新课: (一)知识建构:
新疆 王新敞
奎屯

新疆 王新敞 奎屯

设向量 a , b , c 和实数 λ ,则向量的数量积满足下列运算律: (1) ; (2) (3) . 思考:向量的数量积满足结合律吗? (二)知识应用: ;

例 1.已知 a 、 b 都是非零向量,且 a + 3b 与 7 a ? 5b 垂直, a ? 4b 与 7 a ? 2b 垂 直,求 a 与 b 的夹角.

例 2 求证:平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.

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例 3.四边形 ABCD 中, AB = a , BC = b , CD = c , DA = d ,且

a ? b = b ? c = c ? d = d ? a ,试问四边形 ABCD 是什么图形?
分析:四边形的形状由边角关系确定,关键是由题设条件演变、推算该四边形 的边角量.

三、课堂练习: 1.已知 | a |= 6 , | b |= 4 , a 与 b 的夹角为 60 0 ,则 (a + 2b) · (a ? 3b) = ;

3 3 2 . | a |= 3 , | b |= 4 , 向 量 a + b 与 a ? b 的 位 置 关 系 为 4 4 ( )

(A)平行

(B)垂直?

(C)夹角为

π
3

?(D)不平行也不垂直 ;

3.已知 | a |= 3 , | b |= 4 ,且 a 与 b 的夹角为 150 0 ,则 (a + b) 2 =

四、小结: 通过本节学习,要求大家掌握平面向量数量积的运算规律,掌握两个向量共 线、垂直的几何判断,能利用数量积的性质解决相关问题. 五、作业 1.已知 | a |= 1 , | b |= 2 ,且 (a ? b ) 与 a 垂直,则 a ? b 的夹角是 2 . 已 知 | a |= 2 , | b |= 1 , a 与 b 之 间 的 夹 角 为 为 ; ;

π
3

, 那 么 向 量 m = a ? 4b 的 模

3. 已 知 向 量 a 、 b 的 夹 角 为
新疆 王新敞
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π
3

, | a |=2,| b |=1, 则 | a + b | · | a - b |=

4.已知| a |=1,| b |= 2 ,(1)若 a ∥ b ,求 a · b ;(2)若 a 、 b 的夹角为 60 0 ,求 | a + b |;?(3)若 a - b 与 a 垂直,求 a 与 b 的夹角. 5.设 m 、 n 是两个单位向量,其夹角为 60 0 ,求向量 a = 2m + n 与 b = 2n ? 3m 的 夹角. 6.对于两个非零向量 a 、 b ,求使| a +t b |最小时的 t 值,并求此时 b 与 a +t b 的夹角.
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向量的应用
教学目标:1.经历用向量法解决某些简单的几何问题,力学问题的过程. 2.体会向量是一种数学工具,发展学生运算能力和解决实际问题的能 力. 教学过程 一.问题情境 回顾所学的向量:①向量是既有大小又有方向的量,它既有代数特征,又有几 何特征;②通过向量可以实现代数问题与几何问题的相互转化,所以向量是数型 结合的桥梁;③向量也是解决许多物理问题的有力工具. 二.向量的应用 例 1.如图所示,无弹性的细绳 OA, OB 的一端分别固定在 A, B 处,同质量的细绳
OC 下端系着一个称盘,且使得 OB ⊥ OC 试分析 OA, OB, OC 三根绳子受力的大小,

判断哪根绳子受力最大.(物理学中的应用)

例 2.已知: OA ⊥ BC , OB ⊥ AC 求证: OC ⊥ AB
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思考:你能否画一个几何图形来解释例 2 ? 例 3.已知直线 l 经过点 P1 ( x1 , y1 ) 和 P2 ( x 2 , y 2 ) ,用向量方法求 l 的方程.

思考:把 ( x, y ) 改为 ( x3 , y3 ) ,我们如图可以得到证明三点共线的一种方法.

练习: P85 1,2,4 小结:本节课主要内容是应用向量解决某些简单问题. 作业:课本 P85?86 习题:2.5 1,2,3,4

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单元复习 教学目标: 1. 掌握本单元知识(向量的坐标表示、向量的数量积、向量的应用)及相互联 系,明了本单元的知识结构; 2. 能综合应用本单元的知识解决有关问题 教学过程: 一、复习回顾 平面向量的基本原理、坐标表示及运算、向量的数量积、向量的应用等 二、课前预习 1.(1)已知向量 a =(1,2),求与 a 模相等,且夹角为 45 的向量 b . (2) a =(3,0), b =(k,5)且 a 与 b 的夹角为
3π ,求 k 的值. 4

2. 已知分别是 x 轴、y 轴方向的单位向量, 求证:四边形 ABCD 为平行四边形. 三、例题分析 1.已知矩形相邻的两个顶点 A(-1,3),B(-2,4),若点 D 在 x 轴上, 求顶点 C,D 的坐标。

2.(1)已知 | a | =4, | b | =3,且 (a + 2b ) ? (a ? 3b ) = o. 求 a , b 。

(2)已知 a 与 b 夹角为 120,| a |=4, | b |=2。如果 a + kb 与 5a + b 相互垂直, 求实数 k 的值.

3 .已知长度相等的三个非零 a , b , c 向量满足 a + b + c = 0 ,求每两个向量的夹

角。

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练习:1.已知 A(-2,4),B(-3,1),C(-3,-4)且 CM=3CA, CN=2CB 求点 M、N 的坐标及向量的坐标。 2.已知等腰直角三角形 ABC 中,角 C 为直角,|AB|=2 2 .求下列向量的数量 积: (1)AC·AB AC)·AC (2) CA·AB (3)BC·(CA+AB) (4)(AB-

3.已知 a , b 的夹角为 60,且( a + 3b ) ⊥ (7 a ? 5b ) 。求证: (a ? 4b ) ? (7 a ? 2b ) 。

4.已知点 A(4,5),B(1,2),C(12,1),D(11,6),试用向量的方 法求出 AC 和 BD 的交点的坐标.

3.1.1 两角和与差的余弦
教学目标:1.经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程,体验和感受数 学发现和创造的过程,体会向量和三角函数间的联系; 2.用余弦的差角公式推出余弦的和角公式,理解化归思想在三角变换 中的作用; 3.能用余弦的和差角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等 式证明. 教学重点:余弦的差角公式的推导. 教学难点:余弦的差角公式的推导. 教学过程: 一、创设情境 1.已知 a = (cos x, sin x ) , b = (1,1) ,则 (1)利用 a ? b = x1 x 2 + y1 y 2 可得到什么? (2)利用 a ? b = a ? b ? cos θ 可得到什么?
→ → → →









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〖思考〗由(1)(2)得到的式子有何关系?

2. cos(α ? β ) 能否用 α 的三角函数与 β 的三角函数来表示?如何表示? 在直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边分别作角

α,β

, 其 终 边 分 别 与 单 位 圆 交 于 ,

P1 (cos α , sin α ) , P2 (cos β , sin β ) ,则 ∠P1OP2 =
设向量
→ →

a = OP1 = ;
→ →

b = OP2 = ,




a ? b = a ? b ? cos θ







=

;


a ? b = x1 x 2 + y1 y 2



=

.

二、建构数学 1.两角差的余弦公式

cos(α ? β ) = cosα cos β + sin α sin β

(C (

α ?β

)

)

〖思考〗在直角坐标系 xOy 中,单位圆 O 与 x 轴交于 P0 ,以 Ox 为 始边分别作出角 α , β , α ? β ,其终边分别和单位圆交于
P1 , P2 , P3 ,由 P0 P3 = P2 P1 ,你能否导出两角差的余弦公式?
→ →

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2.两角和的余弦公式

cos(α + β ) = cosα cos β ? sin α sin β

(C (

α +β

)

)

〖思考〗”用 ? β 代替 β ”的换元方法体现在图形上具有什么几何意义?你能直 接利用向量的数量积推出两角和的余弦公式吗? 说明:(1)两角和(差)的余弦公式体现的是角 α , β 与角 α ± β 之间的关系; (2)公式中的角 α , β 具有任意性; 三.数学应用 1.利用两角和(差)的余弦公式证明下列诱导公式:
?π ? (1) cos? ? α ? = sin α ?2 ? ?π ? (2) sin ? ? α ? = cos α ?2 ?

2.利用两角和(差)的余弦公式,求 cos 75 0 , cos 15 0 , sin 15 0 , tan 15 0 .

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3.已知 sin α =

2 3 ?π ? ? 3π ? , α ∈ ? , π ?, cos β = ? , β ∈ ? π , ? ,求 cos(α + β ) 的值. 3 5 ?2 ? ? 2 ?

练习:课本 P95 练习 1,2,3 四.小结 1.熟练掌握并运用两角和(差)的余弦公式; 2.两角和(差)的余弦公式体现的是两个角之间的关系; 3. cos(α ± β ) = cos α ± cos β 不一定成立. 五.作业 课本 P96 习题 3.1(1)的 1,2,3

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3.1.2 两角和与差的正弦(一)
教学目标:1.能用余弦的和差角公式推导出正弦的和差角公式,并从推导的过程 中体会到化归思想的作用; 2.能用正弦的和差角公式进行简单的三角函数式的求值. 教学过程: 一、复习回顾 1.两角和(差)的余弦公式 2.(1)化: sin α sin β ? cos α cos β = (2)化简: cos(α ? β ) cos β ? sin (α ? β ) sin β = (3)求值: sin 100 0 sin ? 160 0 + cos 200 0 cos ? 280 0 = (4)求 值: sin 735 0 = . 二、创设情境 1.对于上题(4)中的求值,能否不将其转化成两角和的余弦公式来计算?有没有两 角和(差)的正弦公式? 2.两角和正弦公式的推导: ?? π ? ? ?π ? sin (α + β ) = cos ? ? (α + β )? = cos ?? ? α ? ? β ? ? ?2 ? ?? 2 ?
?π ? ?π ? = cos? ? α ? cos β + sin ? ? α ? sin β ?2 ? ?2 ? = sin α cos β + cos α sin β

; ;

(

)

(

)

;

三、建构数学 1.两角和的正弦公式

sin(α + β ) = sin α cos β + cosα sin β sin(α ? β ) = sin α cos β ? cosα sin β

(S (

α +β

)

)

2.两角差的正弦公式

(S (

α ?β

)

)

〖思考〗能不能利用同角三角函数的关系,从 C (α ± β ) 推导出 S (α ± β ) ?这样做有什么 困难? 四、数学应用
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1.已知 sin α =

2 3 ?π ? ? 3π ? , α ∈ ? , π ?, cos β = ? , β ∈ ? π , ? ,求 sin (α + β ) 的值. 3 5 ?2 ? ? 2 ?

2.已知 cos(α + β ) =

5 4 , cos β = , α , β 均为锐角,求 sin α 的值. 13 5

练习:课本 P98 练习的 1,2,3,4,5,6,7 3.求函数 y =
1 3 sin x + cos x 的最大值. 2 2

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练习: 1. 函 数 y = 为
3 1 cos x ? sin x 的 最 小 值 为 2 2

; 此 时 x 的 集 合

; ;最大值为 ;单调减区间

2. 函 数 y = 3 sin x + cos x 的 周 期 为 为

; 12 5 3. 函 数 y = sin x + cos x 的 最 大 值 为 13 13 值 ; 4. 函 数
y = a sin x + b cos x

;最小

( .

a, b

均 为 正 数 ) 的 最 小 值



四.小结 熟练掌握并运用两角和(差)的正弦公式; 五.作业 课本 P100 习题 3.1(2)的 1,2,3,4

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3.1.2 两角和与差的正弦(二)
教学目标:1.能用正弦的和差角公式进行简单的三角函数式的化简,求值,及恒等 式证明; 2.进一步体会转化与变换的数学思想. 教学过程: 一、复习回顾 1.两角和(差)的余弦公式 2.两角和(差)的正弦公式 二、数学应用 sin (2 A + B ) sin B ? 2 cos( A + B ) = 1.求证: sin A sin A

2.求值:

2 cos 10 0 ? sin 20 0 cos 20 0

3.已知 sin (α + β ) =

2 1 tan α , sin (α ? β ) = ? , 求 的值 3 5 tan β

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4.已知 α , β 都为锐角, sin α =

1 5 3 , cos(α + β ) = ,求 sin β 和 cos β 的值 7 14

5.已知 sin α + sin β =

1 1 , cos α ? cos β = ,求 cos(α + β ) 的值 2 3

四.小结 熟练掌握并运用两角和(差)的正弦公式; 五.作业 课本 P100 习题 3.1(2)的 5,6,7,8

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两角和与差的正切( ) 两角和与差的正切(1) 学目标: 教学目标: 会由正余弦的和差角公式推导出正切的和差角公式,并从推导的过 程中体会到化归思想的作用。 教学过程: 教学过程: 一 问题情景: 回顾课本 95 页例 2 中求 tan15o 的过程,我们先分别求出 sin15o 和 cos15o,再由 同角三角函数的关系求出 tan15o。问:能否由 tan45o 和 tan30o 直接求出 tan15o? 二 学生活动: 1 回答上述问题 2 利用 S(α+β) 和 C(α+β) ,推导两角和与差的正切公式 tan(α+β)和 tan(αβ)。

三 建构数学: tan(α+β)= tan α + tan β ,(T(α+β ) ); 1 ? tan α tan β tan(α-β)= tan α ? tan β 1 + tan α tan β ,

(T(α-β))。 两角和与差的正切公式在结构上有什么特点? 四 数学应用: 例 1 已知 tanα,tanβ是方程 x2+5x-6=0 的两根,求 tan(α+β)的值。

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例 2 求证:

1 + tan 15 0 = 3 1 ? tan 15 0

例 3 如图:三个相同的正方形相接,求证:α+β=

π
4



五 练习: 课本 104 页 练习 1,2,3,4,5 六 小结: 两角和与差的公式。 七 作业:课本 105 页 习题 1,2,5,7。

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两角和与差的正切( ) 两角和与差的正切(2) 教学目标: 教学目标: 能用正切的和差角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等 式证明。 一 回顾: T(α+β)和 T(α-β) 二 数学应用: 例 4 在斜三角形 ABC 中,求证:tanA + tanB + tanC= tanA tanB tanC

思考:一般的,当角 A,B,C 满足什么条件时,能使等式 tanA + tanB + tanC= tanA tanB tanC 成立?

例 5 如图,两座建筑物 AB,CD 的高度分别是 9m 和 15m,从建筑物 AB 的顶 部 A 看建筑物 CD 的张角∠CAD=45o,求建筑物 AB 和 CD 的底部之间的 距离 BD。

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例 6 课本 106 页 11 三 练习: 课本 105 页 练习 1,2,3,4 四 小结: 熟练运用两角和与差的正切公式及其变形式。 五 作业:课本 106 页 习题 3,4,6,8,9

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二倍角的三角函数( ) 二倍角的三角函数(1) 教学目标: 教学目标 : 能从和角公式推导出倍角公式,理解化归思想在公式推导中的作 用。 教学过程: 教学过程: 一 问题情景: 1 函数 y=sinx 与 y=sin2x 图象之间的位置关系。 2 角α的三角函数与角 2α的三角函数之间有怎样的关系? 二 学生活动: 由 S(α+β),C(α+β),T(α+β)公式中,令β=α可以得到的结果: sin2α= ;cos2α= ;tan2α=

三 数学建构: 倍角公式: sin2α= cos2α= tan2α= 四 数学应用: 例 1 已知 sinα=
12 π ,α∈ ( , π ) ,求 sin2α,cos2α,tan2α的值。 13 2

(S2α); = (T2α)。 = (C2α);

例 2 求证:

1 + sin 2θ ? cos 2θ = tan θ 1 + sin 2θ + cos 2θ

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例 3 化简 o o o o cos20 cos40 cos60 cos80 ;

五 练习: 课本 108 页 练习 1,2,3,4 思考:在一个圆的所有内接矩形中,怎样的矩形面积最大? 六 小结: 倍角公式及运用 七 作业: 课本 110 页 习题 1,2,3,8。

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二倍角的三角函数( ) 二倍角的三角函数(2) 教学目标: 教学目标:灵活运用二倍角公式进行三角恒等变换。 教学过程: 教学过程: 一 回顾: 二倍角公式 二 学生活动(数学应用): 例 1 化简 sin 2 (α ?

π
6

) + sin 2 (α +

π
6

) ? sin 2 α .

例 2 求证: sin 50 0 (1 + 3 tan 10 0 ) = 1

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例 3 在半圆形钢板上截取一块矩形材料,怎样截取能使这个矩形的面积最大?

三 练习: 课本 110 页 练习 1,2,3。 四 小结: 二倍角公式进行三角恒等变换,体会化归转化思想和函数思想在解题中的应 用。 五 作业: 课本 110 页 习题 4,5,6,7。

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几个三角恒等式
教学目标: 1.通过和差化积公式和积化和差公式的推导,让学生经历数学探索和发现过 程,激发数学发现的欲望和信心 2.提高三角变换的能 3.了解积化和差、和差化积公式,以及万能公式、半角公式 教学过程; 一、问题情境 问题 1:在引入对数概念以后,我们还研究了它的运算,并得到了一些重要的 结论,如 log a m + log a n = log a (mn) 同样,在定义了三角函数以后,我们也应该考虑它的运算,如
sin α + sin β = ? 你能探索出来么? 二、学生活动 思考并解决上述问题(根据需要教师加以指导) 注意证明过程中的代换与转化思想

问题 2:你还能发现其他类似的恒等式么 ?

这组公式我们称为和差化积公式 问题 3:你能证明它们么?(可以选择其中的 2 个证明)

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问题 4:前面我们探索并证明了和差化积公式,那么由它们你能发现并证明另 外一组与之相对应的公式么?如 sin α cos β = ? 还有其他的么?(可以选择其中
的 2 个证明)

三、数学理论 和差化积公式:(1) sin α + sin β = 2 sin (2) sin α ? sin β = 2 cos

α +β
2

cos

α ?β
2

sin 2 2 α +β α ?β (3) cos α + cos β = 2 cos cos 2 2 α+β α ?β (4) cos α ? cos β = 2c sin sin 2 2 1 积化和差公式:(1) sin α cos β = [sin α + β ) sin α ? β ) ( + ( ] 2 1 (2) cos α sin β = [sin α + β ) sin α ? β ) ( ? ( ] 2 1 (3) cos α cos β = [cos α + β) cos α ? β ) ( + ( ] 2 1 (4) sin α sin β = ? [cos α + β ) cos α ? β ) ( ? ( ] 2 了解万能公式课本 P113 链结 ,半角公式 P115 T3 小结:(1)各组公式的灵活应用 (2)转换与代换思想的应用

α +β

α ?β

作业:课堂情况决定

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复习与小结
教学目标: 1.理解本章的知识结构; . 2.能够灵活的应用各组公式解决化简、求值和证明问题,以及简单的应用问 题; 3.进一步理解从已知到未知的化归思想 教学过程: 一、复习回顾 本章的知识结构

二、例题讲解 例 1.(1)化简 (2) tan 70 ? sin 7 + cos 15 sin β cos 7 ? sin 15 sin 8
1 cos 10

(3)已知 cos α ? (
求 cos(α + β )

β

1 α 2 π π ) ? , ( ? β ) ,且 < α < π , 0 < β < , = sin = 2 9 2 3 2 2

例 2.(1)证明: tan

α

2 (2)在△ABC 中, A B B C C A ①求证: tan tan + tan tan + tan tan = 1 2 2 2 2 2 2 ②已知 tan A + tan B + tan A tan B = 1 ,求 C 的度数。

=

sin α 1 ? cos α = 1 + cos α sin α

( (3)探求 1 + tan 1 )(1 + tan 44 )

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求值: 1 + tan 1 )( + tan 2 )( + tan 44 )(1 + tan 45 ) ( 1 …1

例 3.已知函数 y= sin 2 x + 2 sin x cos x ? 3 cos 2 x ,x∈R (1) 求函数的最小正周期 (2) 求函数的最大值

例 4.如图,在半径为 R、圆心角为 60 的扇形 AB 弧上任取一点 P,作扇形的内 接矩形 PNMQ,使点 Q 在 OA 上,点 M,N 在 OB 上,求这个矩形面积的最大值及 相应的∠AOP 的值.

作业:课本 P117,1,2,3,4,5,6,7,8,11,12,

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