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解析几何中的定点定值问题学案


驾驭命运的舵是奋斗。不抱有一丝幻想,不放弃一点机会,不停止一日努力。 2015--2016 学年度第二学期高三数学二轮补偿学案(2) 班级 姓名 解析几何中的热点补偿专题:定点问题

【本课目标: 】
1.掌握巩固解几中解决定点问题的方法与途径。 2.能熟练解决高考中的相关题型。 一、问题与困惑,回顾与反思:解题的关健在于寻找题中用来联系已知量,未知量的
垂直关系、中点关系、方程、不等式,然后将已知量,未知量代入上述关系,通过整理,变 形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。 例 1、已知 A、B 是抛物线 y =2px (p>0)上异于原点 O 的两个不同点,直线 OA 和 OB 的倾斜 角分别为α 和β ,当α 、β 变化且α +β = 的坐标
2

? 时,证明直线 AB 恒过定点,并求出该定点 4
y A x O B

y2 y2 解析: 设 A( 1 , y1 ) ,B( 2 , y 2 ) ,则 2p 2p
2p tan? ? , y1 2p ? ? ?) ?1 ,代入 tan( tan ? ? y2
2

得 2 p( y1 ? y2 ) ? y1 y2 ? 4 p

(1)

又设直线 AB 的方程为 y ? kx ? b ,则

? y ? kx ? b ? ky 2 ? 2 py ? 2 pb ? 0 ? 2 ? y ? 2 px
∴ y1 y 2 ?

2 pb , k

y1 ? y 2 ?

2p ,代入(1)式得 b ? 2 p ? 2 pk k

∴直线 AB 的方程为 y ? 2 p ? k ( x ? 2 p) ∴直线 AB 过定点(- 2 p, 2 p) 说明:本题在特殊条件下很难探索出定点,因此要从已知出发,把所求的定点问题转化为求 直线 AB,再从 AB 直线系中看出定点。

1

【针对性练习 1】已知椭圆 C 中心在原点,焦点在 x 轴上,焦距为 2 ,短轴长为 2 3 . (Ⅰ) 求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m ? k ? 0? 与椭圆交于不同的两点 M 、N ( M 、N 不是椭圆的左、右顶点) ,且以 MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点 A .求证:直 线 l 过定点,并求出定点的坐标. 解: (Ⅰ)设椭圆的长半轴为 a ,短半轴长为 b ,半焦距为 c ,则

?2c ? 2, ? ?2b ? 2 3, ?a 2 ? b 2 ? c 2 , ?

解得

? ? a ? 2, ? ? ?b ? 3,

∴ 椭圆 C 的标准方程为
2 2 ? ?x ? y ?1 (Ⅱ)由方程组 ? 4 3 ? y ? kx ? m ?

x2 y 2 ? ? 1. 4 3
消去 y ,得

…… 4 分

? 3 ? 4k ? x
2

2

? 8kmx ? 4m 2 ? 12 ? 0 .
2

…… 6 分

由题意△ ? ? 8km ? ? 4 3 ? 4k 整理得: 3 ? 4k ? m ? 0
2 2

?

2

?? 4m


2

? 12 ? ? 0 ,
………7 分

设 M ? x1 , y1 ?、N ? x2 , y2 ? ,则

x1 ? x2 ? ?

8km 4m 2 ? 12 x x ? , . 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

……… 8 分

由已知, AM ? AN , 且椭圆的右顶点为 A (2, 0) , ∴ 即

? x1 ? 2?? x2 ? 2? ? y1 y2 ? 0 .

…… 10 分
2

?1 ? k ? x x ? ? km ? 2 ?? x ? x ? ? m
2 1 2 1 2

?4 ? 0,

2 也即 ?1 ? k ? ?

4m2 ? 12 ?8km ? ? km ? 2 ? ? ? m2 ? 4 ? 0 , 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k
2

整理得 7m ? 16mk ? 4k ? 0 .
2

2

解得 m ? ?2k

或 m??

2k ,均满足① 7

……… 11 分

当 m ? ?2k 时,直线 l 的方程为 y ? kx ? 2k ,过定点 (2, 0) ,不符合题意舍去; 当m ? ?

2k 2 2? ? 时,直线 l 的方程为 y ? k ? x ? ? ,过定点 ( , 0) , 7 7 7? ?
2 7
………… 13 分

故直线 l 过定点,且定点的坐标为 ( , 0) .

x2 y2 ? ? 1 的左、右顶点为 【针对性练习 2】在平面直角坐标系 xoy 中,如图,已知椭圆 9 5
A、 B, 右焦点为 F。 设过点 T ( t, m ) 的直线 TA、 TB 与椭圆分别交于点 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y 2 ) , 其中 m>0, y1 ? 0, y 2 ? 0 。 (1)设动点 P 满足 PF ? PB ? 4 ,求点 P 的轨迹;
2 2

(2)设 x1 ? 2, x 2 ?

1 ,求点 T 的坐标; (3)设 t ? 9 ,求证:直线 MN 必过 x 轴上的一定点 3

(其坐标与 m 无关) 。

【解析】 本小题主要考查求简单曲线的方程,考查方直线与椭 圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。 解: (1)设点 P(x,y) ,则:F(2,0) 、B(3,0) 、A(-3,0) 。
2 2 2 2 由 PF ? PB ? 4 ,得 ( x ? 2) ? y ? [( x ? 3) ? y ] ? 4, 化简得 x ?
2 2

9 。 2

故所求点 P 的轨迹为直线 x ? (2) 将 x1 ? 2, x 2 ?

9 。 2

1 5 1 20 分别代入椭圆方程, 以及 y1 ? 0, y 2 ? 0 得: M (2, ) 、 N ( ,? ) 3 3 3 9 1 y ?0 x?3 直线 MTA 方程为: ,即 y ? x ? 1 , ? 5 3 ?0 2?3 3 5 5 y ?0 x ?3 直线 NTB 方程为: ,即 y ? x ? 。 ? 20 1 6 2 ? ?0 ?3 9 3

?x ? 7 ? 联立方程组,解得: ? 10 , y ? ? 3 ?
所以点 T 的坐标为 (7,

10 )。 3
3

(3)点 T 的坐标为 (9, m)

y?0 x?3 m ? ( x ? 3) , ,即 y ? m?0 9?3 12 y ?0 x?3 m ? 直线 NTB 方程为: ,即 y ? ( x ? 3) 。 m?0 9?3 6
直线 MTA 方程为: 分别与椭圆

x2 y2 ? ? 1 联立方程组,同时考虑到 x1 ? ?3, x2 ? 3 , 9 5

3(80 ? m2 ) 40m 3(m2 ? 20) 20m , ) 、 N( ,? )。 解得: M ( 2 2 2 80 ? m 80 ? m 20 ? m 20 ? m2

20m 3(m2 ? 20) x ? 20 ? m2 20 ? m2 (方法一) 当 x1 ? x2 时, 直线 MN 方程为: ? 40m 20m 3(80 ? m2 ) 3(m2 ? 20) ? ? 80 ? m2 20 ? m2 80 ? m2 20 ? m2 y?
令 y ? 0 ,解得: x ? 1 。此时必过点 D(1,0) ; 当 x1 ? x2 时,直线 MN 方程为: x ? 1 ,与 x 轴交点为 D(1,0) 。 所以直线 MN 必过 x 轴上的一定点 D(1,0) 。 (方法二)若 x1 ? x2 ,则由

240 ? 3m2 3m2 ? 60 ? 及 m ? 0 ,得 m ? 2 10 , 80 ? m2 20 ? m2

此时直线 MN 的方程为 x ? 1 ,过点 D(1,0) 。

若 x1 ? x2 ,则 m ? 2 10 ,直线 MD 的斜率 kMD

40m 2 10m , ? 80 ? m2 ? 240 ? 3m 40 ? m2 ?1 80 ? m2

直线 ND 的斜率 k ND

?20m ? m2 ? 10m ,得 k ? k ,所以直线 MN 过 D 点。 ? 20 MD ND 3m2 ? 60 40 ? m2 ? 1 20 ? m2

因此,直线 MN 必过 x 轴上的点(1,0) 。

4

二、知识与建构、方法与总结
例 2 已知椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1 , A 、 B 分别是椭圆 E 的左、右顶点,动点 M 在射线 8 4

l : x ? 4 2 ? y ? 0? 上运动,MA 交椭圆 E 于点 P,MB 交椭圆 E 于点 Q.(I)若 ?MAB 垂
心的纵坐标为 ?4 7 ,求点 P 的坐标; (II)试问:直线 PQ 是否过定点?若过定点,求出定 点坐标;若不过定点,请说明理由.

5

6

7

【针对性练习 3】已知椭圆的焦点在 x 轴上, 它的一个顶点恰好是抛物线 x2 ? 4 y 的

2 ,过椭圆的右焦点 F 作与坐标轴不垂直的直线 l ,交椭圆于 5 (I)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)设点 M (m, 0) 是线段 OF 上的一个动 A 、 B 两点。 ???? ???? ??? ? 点,且 (MA ? MB) ? AB ,求 m 的取值范围; (Ⅲ)设点 C 是点 A 关于 x 轴的对称 点,在 x 轴上是否存在一个定点 N ,使得 C 、 B 、 N 三点共线?若存在,求出 定点 N 的坐标,若不存在,请说明理由。

焦点,离心率 e ?

解法一: (I)设椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,由题意知 b ? 1 a 2 b2

?

x2 a 2 ? b2 2 2 ? y2 ? 1 故椭圆方程为 ? ? a ? 5 2 5 a 5 (Ⅱ)由(I)得 F (2, 0) ,所以 0 ? m ? 2 ,设 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ( k ? 0 )

x2 ? y 2 ? 1,得 (5k 2 ? 1) x2 ? 20k 2 x ? 20k 2 ? 5 ? 0 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 代入 5 20k 2 20k 2 ? 5 , x1 x2 ? 则 x1 ? x2 ? 2 ,? y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 4), y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) 2 5 k ? 1 5 k ? 1 ??? ? ???? ??? ? ?MA ? MB ? ( x1 ? m, y1 ) ? ( x2 ? m, y2 ) ? ( x1 ? x2 ? 2m, y1 ? y2 ), AB ? ( x2 ? x1, y2 ? y1) ??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ?(MA ? MB) ? AB,?(MA ? MB) ? AB ? 0,?( x1 ? x2 ? 2m)( x2 ? x1) ? ( y2 ? y1)( y1 ? y2 ) ? 0
m 8 20k 2 4k 2 ? 0,? 0 ? m ? , ? 2 m ? ? 0, ? (8 ? 5m)k 2 ? m ? 0 由 k 2 ? 2 2 8 ? 5m 5 5k ? 1 5k ? 1 ???? ???? ??? ? 8 ? 当 0 ? m ? 时,有 (MA ? MB) ? AB 成立。 5 5 (Ⅲ)在 x 轴上存在定点 N ( , 0) ,使得 C 、 B 、 N 三点共线。依题意知 C ( x1 , ? y1 ) , 2 y2 ? y1 y (x ? x ) 12 y x 21 ? y x ( x ? x1 ) ,令 y ? 0 , 直线 BC 的方程为 y ? y1 ? 则x? 1 2 1 ? x1 ? x2 ? x1 y2 ? 1 y ?y 2y 1 ? l 的方程为 y ? k ( x ? 2), A 、 B 在直线 l 上, k ( x1 ? 1) x2 ? k ( x2 ? 1) x1 2kx1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? y1 ? k ( x1 ? 2), y2 ? k ( x2 ? 2) ? x ? ? k ( x1 ? x2 ) ? 4k k ( x1 ? x2 ) ? 4k

?

20k 2 ? 5 20k 2 2k ? ? 2k ? 2 5k 2 ? 1 5k ? 1 ? 5 ? 在 x 轴上存在定点 N ( 5 , 0) ,使得 C B N 三点共线。 ? 2 2 20k 2 k 2 ? 4k 5k ? 1 解法二: (Ⅱ)由(I)得 F (2, 0) ,所以 0 ? m ? 2 。设 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) (k ? 0),
代入

x2 ? y 2 ? 1,得 (5k 2 ? 1) x2 ? 20k 2 ? 20k 2 ? 5 ? 0 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 5 20k 2 20k 2 ? 5 x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? 5k ? 1 5k 2 ? 1

8

4k ? y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 4) ? ? 2 , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) 5k ? 1 ???? ???? ??? ? ? ( MA ? MB) ? AB,?| MA |?| MB |,? ( x1 ? m) 2 ? y1 ? ( x2 ? m) 2 ? y2 ,

? ( x1 ? x2 ? 2m)( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0, (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) ? 2m ? 4k 2 ? 0,? (8 ? 5m)k 2 ? m ? 0
8 8k 2 8 8 ?m ? 2 ? ? ) ? k ? 0, ? k 2 ? 0 ? 0 ?m ? 2 5 5k ? 1 5 5(5k ? 1 ???? ???? ??? ? 8 ? 当 0 ? m ? 时,有 (MA ? MB) ? AB 成立。 5 5 (Ⅲ)在 x 轴上存在定点 N ( , 0) ,使得 C 、 B 、 N 三点共线。 2 ??? ? ??? ? 设存在 N (t ,0), 使得 C 、 B 、 N 三点共线,则 CB // CN , ? ? ?? ? ? ?? ?C B? ( 1 x? x , y ? y ) , CN ?( ? t 1 ,x, y?( x2 ? x1 ) y1 ? (t ? x1 )( y1 ? y2 ) ? 0 2 2 1 1 ) 即 ( x2 ? x1 )k ( x1 ? 2) ? (t ? x1 )k ( x1 ? x2 ? 4) ? 0 ? 2 x1 x2 ? (t ? 2)( x1 ? x2 ) ? 4t ? 0

?2

5 5 20k 2 ? 5 20k 2 ? ( t ? 2) ? 4t ? 0 ,? t ? ? 存在 N ( , 0) , 2 2 2 2 5k ? 1 5k ? 1

使得 C B N 三点共线。

三、知识与拓展、能力与提升
x2 y 2 1.. 如 图 所 示 的 封 闭 曲 线 C 由 曲 线 C1: 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0, y ? 0 ? 和 曲 线 a b

3 1? ? ,点 A,B 分别为曲 C2 : y ? nx2 ?1? y ? 0? 组成,已知曲线 C1 过点 ? 3, ? ,离心率为 2 2? ?
线 C 与 x 轴、y 轴的一个交点.(I)求曲线 C1和C2 的方程; (II)若点 Q 是曲线 C2 上的任意 点,求 ?QAB 面积的最大值及点 Q 的坐标; ( III )若点 F 为曲线 C1 的右焦点,直线

l : y ? kx ? m 与曲线 C1 相切于点 M,且与直线 x ?
圆过点 F.

4 3 交于点 N,求证:以 MN 为直径的 3

9

10


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