当前位置:首页 >> 学科竞赛 >> 第五届陈省身杯全国高中数学奥林匹克解答

第五届陈省身杯全国高中数学奥林匹克解答


第五届陈省身杯全国高中数学奥林匹克
1.

证明

联结 AO、AH .因为 A、B1、H、C1 四点共圆,且 OH // B1C1 ,所以,

?OHC1 ? ?HC1 B1 ? ?HAB1 ? 90? ? ?C .
又因为 B、C、B1、C1 四点共圆,所以, ?AHC1 ? ?AB1C1 ? ?

B . 于是, ?AHO ? ?OHC1 ? ?AHC1 ? 90? ? ?C ? ?B . 由于 ?OAB ? ?CAH ? 90? ? ?C ,则

?OAH ? ?A ? ?OAB ? ?CAH ? ?A ? 2 ?90? ? ?C ? ? ?C ? ?B .
因此, ?AHO ? ?OAH ? 90? ? ?C ? ?B ? ?C ? ?B ? 90? . 从而, ?AOH ? 90? . 设 △ABC 的外接圆半径为 R .则 AH ? 2 R cos A . 由于 AO ? AH cos ?OAH ,则

R ? 2 R cos A ? cos ?C ? B ?,


2 cos A ? cos ?C ? B ? ? 1 .
从而, cos ? A ? C ? B ? ? cos ? A ? C ? B ? ? 1 . 因此, cos 2 B ? cos 2C ? 1 ? 0 .

2.解

令 fn ?

x x x x xx x1 x2 ? … ? n ? 2 n ?1 ? n ?1 n ? n 1 ? x1 ? x2 ? … ? xn . x3 xn x1 x2

下用数学归纳法证明 f n ? 0. 当 n ? 3 时,

f3 ?

x1 x2 x2 x3 x3 x1 xn x1 ? ? ? ? x1 ? x2 ? x3 x3 x1 x2 x2

?xx x x ? ?xx xx ? ?xx x x ? ? ? 1 2 ? 2 3 ? ? ? 1 2 ? 3 1 ? ? ? 3 1 ? 2 3 ? ? x1 ? x2 ? x3 ? 2 x3 2 x1 ? ? 2 x3 2 x2 ? ? 2 x2 2 x1 ? ? x ?x ? x ?x x ? x x ?x x ? 2 ? 1 ? 3 ? 2 ? ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? 3 ? 1 ? 2 ? 2 ? ? 0, 2 ? x3 x1 ? ? 2 ? x3 x2 ? 2 ? x2 x1
当且仅当 x1 ? x2 ? x3 时等号成立. 假设 n ? k 时成立,即

fk ?

xx x1 x2 x2 x3 ? ? … ? k 1 ? x1 ? x2 ? … ? xk ? 0. x3 x4 x2

当 n ? k ? 1 时,
f k ?1 ? ? fk ? x x x1 x2 x2 x3 ? ? … ? k ?1 1 ? x1 ? x2 ? … ? xk ?1 x3 x4 x2 xk ?1 xk xk xk +1 xk +! x1 xk ?1 xk xk x1 + + ? ? ? xk ?1 x3 x1 x2 x1 x2

? 1 ?x ? x 1? ? f k ? xk ?1 xk ? ? ? ? xk ?1 ? k ? 1? ? 1 ?xk ?1 ? xk ? ? x1 ? x2 ? xk ?1 x1 ? ? 1 ?x ? x 1? ? f k ? xk2 ? ? ? ? xk ?1 ? k ? 1? ? 1 ?xk ?1 ? xk ? ? x1 ? xk ? xk ?1 x1 ? ? x x x ? xk ?1 ? ? f k ? ?xk ?1 ? xk ?? 1 ? k ? k ? ? 0, xk ?1 ? ? xk x1

当 且 仅 当 xk ?1 ? xk ? 0 或

x1 xk xk ? xk ?1 ? ? ? 0 且 fk ? 0 时 等 号 成 立 , 即 xk x1 xk ?1

x1 ? x2 ? … ? xn .
3.证明 首先证明一个引理.

引理:记 f ?n ? 为闭区间 ?2, n ? 1?上的素数个数,则对于任意的 0 ? k ? f ?n ? , 存在连续 n 个正整数,其中恰有 k 个素数. 证明:记 F ?n, l ? 为闭区间 ?l , n ? l ? 1?上的素数个数.

n ? l 均为素数或均不为素数时, F ?n, l ? 1? ? F ?n, l ? ; 当 l、
当 l 为素数且 n ? l 不为素数时, F ?n, l ? 1? ? F ?n, l ? ? 1 ; 当 l 不为素数且 n ? l 为素数时, F ?n, l ? 1? ? F ?n, l ? ? 1 ). 故 F ?n, l ? 关于正整数 l 在 N 内连续变化. 显然, F ?n, 2 ? ? f ?n ?, F ?n, ?n ? 1?!? 2 ? ? 0.

因此,对于任意的 0 ? k ? f ?n ? ,存在 j ? Z ? ,使得 F ?n, j ? ? k . 回到原题. 注意到, 2014 ? 2 ? 19 ? 53, f ?2014 ? ? 100 . 因此,存在 a、b、c ? Z ? ,使得

1 1? ? F ?2014, a ? ? 2 ,此时, ? a ? , a ? 2013 ? 的内部恰有 2 个素数; 2 2? ? 1 1? ? F (2014, b) ? 19 ,此时, ? b ? , b ? 2013 ? 的内部恰有 19 个素数; 2 2? ? 1 1? ? F (2014, c ) ? 53 ,此时, ? c ? , c ? 2013 ? 的内部恰有 53 个素数. 2 2? ?
因此,边长为 2014 的立方体

1 1? ? 1 1? ? 1 1? ? a ? , a ? 2013 ? ? ?b ? , b ? 2013 ? ? ?c ? , c ? 2013 ? ? 2 2? ? 2 2? ? 2 2? ?
的内部恰有 2 ? 19 ? 53 ? 2014 个素点. 4.御天敌为了挽救塞伯坦星球,在地球上建立了由 n?n ? 3?个能量柱组成的太 空桥,这些能量柱竖立在一个平面的 n 个点上,任意三点不共线.其启动方式为:任 意选定一个能量柱,从其发出一道激光,该能量柱将激光逆时针旋转,当激光遇到 另一个能量柱时,停止旋转;第二个能量柱接收到激光后,将其反射并逆时针旋转, 当反射的激光遇到下一个能量柱时,停止旋转;如此下去.若激光进行的路径组成 一条有向环路,则启动成功.证明:存在成功的启动方式,且成功启动方式所对应的 环路个数不大于 2n . 证明 将 n 个能量柱记为 A1 , A2 , …, An .设激光行进的路径为 a1 , a2 , … ,其中,

ai ? ?A1 , A2 , …, An ?.
考虑相邻两点所组成的集合 {(ai , ai ?1 ) | i ? 1, 2,...} ,其为无限集,但其取值至多有

n(n ? 1) 个,故必有 (ai , ai ?1 ) ? (a j , a j ?1 ) ?i ? j ? .
因 此 , ai ? 2 ? a j ? 2 . 依 此 类 推 , 则 路 径 从 ai 开 始 循 环 , 且 由 激 光 行 进 方 式 知

(ai , ai ?1 ) ? (a j , a j ?1 ) 可导出 ai ?1 ? a j ?1 ,依此类推,故该路径从 a1 开始循环,即激光组行
进的路程组成有向环路. 线段 A1 Ai ?i ? 2,3,…,n ? Aij ?i ? 1, 2, …, n; j ? 1, 2, …, n ? 1? 与半径充分小的 ? A, 交点(逆时针)依次记为 A11 , A12 , …, A1?n ?1? .类似地定义. 记 ?Aij Ai Ai? j ?1? ? ? ij ?i ? 1, 2, …, n; j ? 1, 2, …, n ? 1; Ain ? Ai1 ? .则 ? ? ij ? 2π
j ?1 n ?1

若激光从 Aij 到 Ai ,则下一步必在 Ai 逆时针旋转 ? ij 角度,从 Ai 到 Ai? j ?1? ,此步骤可 逆(即若光线从 Ai 到 Ai? j ?1? ,则上一步必从 Aij 到 Ai ).故每条路径可由其中一步

?ai , ai ?1 ? 推导得到.
从而,不同的环路所包含的 ?Aij Ai Ai? j ?1? 不会相同,即每个 ? ij 至多在一个路径中 出现.故不同的有项环路有有限个,记为 Pt ?t ? 1, 2, …, ? ?. 对任意一条环路 Pt ,光线行进一周后,其仍为原方向. 故
? ij ?Pt

??
?

ij

? kt π ?kt ? Z ? , t ? 1, 2, …, ? ? .
n n ?1

从而, ? kt ? ??? ? ij ? 2n?. 故 ? ? 2n.
t ?1 i ?1 j ?1

5.证明

设 EF 与 BC 交于点 H ,对于直线 GCQ 和 △HED ,由梅涅劳斯定理得

HG EQ DC ? ? ? 1. GE QD CH
对于直线 PBF 和 △HED ,由梅涅劳斯定理得



HF EP DB ? ? ? 1. FE PD BH
① ? ②得



HG EQ DC HF EP DB ? ? ? ? ? ? 1. GE QD CH FE PD BH
由相交弦定理和切割线定理得
HB ? HC ? HF ? HG , EG ? EF ? EA2 , DB ? DC ? DA2 ,



代入式③得

DA2 EQ EP ? ? ? 1. EA2 QD PD

于是, AD 2 ? AQ ? AE ?? AP ? AE ? ? AE 2 ? AQ ? AD ?? AP ? AD ? .整理后得

? AD ? AE ?? ? AP ? AQ ? AD ? AE ? ? AD? AE ? AP ? AQ ?? ??0

? AP ? AQ ? AD ? AE ? ? AD? AE ? AQ ? AP ? .
从而, AD ? AE 的充分必要条件为 AP ? AQ . 6.解 不等式左端

? ?x ? y ? z ??x 2 ? y 2 ? z 2 ? xy ? yz ? zx ? ? x ? y ? ? ? y ? z ? ? ?z ? x ? ? ?x ? y ? z ? ? ?? ?
2 2 2

2

.

不妨设 x ? y ? z ? 0. . 若 x ? y 或 y ? z ,对于任意实数 c ,不等式均成立. 若 x ? y ? z ? 0 ,固定 x ? y、y ? z ,则 z ? x 固定. 要使得 c 最大,应使左端最小,即 x ? y ? z 最小. 因为 x ? y ? z ? ?x ? y ? ? 2 ? y ? z ? ? 3 z ,所以,当 z ? 0 时,左端最小. 下面讨论 x ? y ? z ? 0 的情形. 原式变为 x 3 ? y 3 ? cxy ?x ? y ?. 令t ?

x ?t ? 1? t y

?

x ?t ? 1?.则 t 3 ? 1 ? ct ?t ? 1?. y
t3 ?1 . t ?t ? 1?

故 cmax ? f ?t ?min ,其中, f ?t ? ? 设 f ?t ? 在 t0 处取得最小值.则

f ' ?t0 ? ?

4 3 t0 ? 2t0 ? 2t0 ? 1 2 t0 ?t0 ? 1? 2

? 0. .

? ? 1? 1? 故 ? t0 ? ? ? 2 ? t0 ? ? ? 2 ? 0. t0 ? t0 ? ? ?
解得 t0 ?

2

1? 3 ? 2 3 .. 2

? 6+3 2 ? 4 从而, cmax ? f ?t0 ? ? ? ? ? ? 3. 2 ? ?

7.解

记 n 被 k ?1 ? k ? n ? 除所得的余数为 rk ( n) .

于是, rk ( n)
m ?1 k ?1

?n? ? n ? k ? ? ,其中, [ x] 表示不超过实数 x 的最大整数. ?k ?
m k ?1

则r (m) ? ? rk (m) ? ? rk (m)
m m ? ?m?? ?m? ? ? ? m ? k ? ? ? ? m 2 ? ? k ? ?. ? k ?? k ?1 ? k ?1 ? k ?

故 r ( m)

? r (m ? 1) ? ? k ? m ? ?? k ? m ? 1 ? ? 2m ? 1
m m ?1 k ?1 k ?1

? ?k ? ?

? ? k ? ?

? ? m ? ? m ? 1? ? ? m ? ?k ? ? ? ? ? ? ? 2m ? 1. ? k ? ?? k ?1 ? ? k ?
m ?1

? m ? ? m ? 1? 当k | m时, ?? ?1 ; ? ? ? ?k ? ? k ? ? m ? ? m ? 1? 当k ? | m时, ?? ? 0. ? ? ? k k ? ? ? ? 则r (m) ? r (m ? 1) ? m ? ? k ? 2m ? 1
k |m 1? k ? m ?1

?

k |m 1? k ? m

? k ? 2m ? 1 .
t



式①左边就是 m 的所有正约数之和 ? ( m) . 设m

? ? pi?i
i ?1 t



p1 ? p2 ? ... ? pt 为素数, ? i ? Z? ).则
i

? (m) ? ? (1 ? pi ? ... ? pi? ) ? 2m ? 1.
i ?1



若 m 的奇素因子 盾.

pi 的指数 ? i 为奇数,则1 ? pi ? ... ? pi?i 为偶数,与式②矛 ? 2 s a 2 ( s ? N , a 为正奇数).

因此,m 中奇素因子的指数必为偶数,即 m 显然, m 下设 a 其中,

? 2 s ( s ? N )满足式①.

? 1 ,由1 ? m ? 2014 ,则 m ? { p 2? , 2? p 2 ? | p为奇素数} ∪B ,

B ? {32 ? 52 ,32 ? 7 2 ,32 ? 112 ,32 ? 132 ,52 ? 7 2 , 2 ? 32 ? 52 , 22 ? 32 ? 52 , 2 ? 32 ? 7 2 , 22 ? 32 ? 7 2 }.

若m

? p 2? ,则

p 2? ?1 ? 1 式② ? ? 2 p 2? ? 1 ? p 2? ?1 ? 2 p 2? ? p ? 2 ? 0 p ?1
矛盾. ? ( p ? 2)( p 2? ? 1) ? 0 ? p ? 2或1, 若m

? 2? p 2 ? ,则 (2
? ?1

式② ?

p 2 ? ?1 ? 1 ? ?1 2 ? ? 1) ? 2 p ?1 p ?1

? p 2 ? ?1 ? 2? ?1 p 2 ? ? 2? ?1 ? p ? 0 ? ( p ? 2? ?1 )( p 2 ? ? 1) ? 0 ? p ? 2? ?1 或1,矛盾.
若 m ? B ,经检验,均不满足式②. 综上,所求 m 8.证明

? 2 s ( s ? Z? , s ? 10)

.

记初始状态恰有 i ?i ? 1, 2, ???, n ? 个球的盒子编号为 i ,且某步操作后该盒子

中球数为 xi . 当 n ? 3l 时,将 n 个盒子根据编号分成三组:? 1, 4, ???,3l ? 2?,?2,5, ???,3l ? 1?和

?3, 6, ???,3l?,显然每次操作恰涉及到各组中 1 个盒子.
记三组盒子中球数总和 X 、Y、Z . 显然,每次操作均使得 X 、Y、Z 要么同时增加 1 要么同时减少 1. 在初始状态 X ? Y ? Z ,操作过程中始终保持 X ? Y ? Z ,因此,对任意正整 数 k ,均不可能经过有限次操作,使得 n ? 3l 个盒子中均恰有 k 只球,即满足题意 的正整数 k 不存在. n(n ? 1) 在初始状态 n 个盒子中球数总和为 1 ? 2 ? ??? ? n ? ,每次操作球数总和要 2 么增加 3 要么减少 3,在模 3 的意义下 k 球数总和不变. 当 n ? 3l ? 1 时,符合题意的正整数必满足 (3l ? 1)(3l ? 2) ? (3l ? 1)k (mod 3) ? k ? 1(mod 3) . 2 当 n ? 3l ? 2 时,符合题意的正整数 k 必满足 (3l ? 2)(3l ? 3) ? (3l ? 2)k (mod 3) ? k ? 0(mod 3) . 2 下面证明:(i)当 k ? 1(mod 3) 时,可经过有限次操作,使得 n ? 3l ? 1 个盒子中 均恰有 k 只球. (ii)当 k ? 0(mod 3) 时,可经过有限次操作,使得 n ? 3l ? 2 个盒子中均恰有 k 只球. 事实上,自某盒子开始按逆时针方向依次 1 个盒子放入(取出)1 只球,连 续放入(取出)3n 只球相当于 n 次操作,其结果为每个盒子均恰放入(取出)了 3 只球,因此,只需构造有限次操作,使得 n 个盒子中的球数相同.

(i)选择一只球数最多的盒子,在其他盒子中各放入 1 只球(相当于 l 次操 作) ,相对而言其结果类似于从那个球数最多的盒子中取走 1 只球,因此可经过有 限次操作,使得 n ? 3l ? 1 个盒子中的球数相同. (ii)选择一只球数最少的盒子,从它开始按逆时针方向依次 1 个盒子放入 1 只球, 连续放入 3l ? 3 只球 (相当于 l ? 1 次操作) , 其结果为那个盒子放入了 2 只球, 其他盒子均恰放入 1 只球, 相对而言其结果类似于在那个球数最少的盒子中放入 1 只球,因此,可经过有限次操作,使得 n ? 3l ? 2 个盒子中的球数相同.


更多相关文档:

第五届陈省身杯全国高中数学奥林匹克夏令营学生报名简表

第五届陈省身杯全国高中数学奥林匹克夏令营学生报名简表_其它考试_资格考试/认证_教育专区。第五届陈省身杯全国高中数学奥林匹克夏令营个人报名表 姓 名 性别 年级...

第三届陈省身杯全国高中数学奥林匹克

第三届陈省身杯全国高中数学奥林匹克 获奖名单 一等奖(25 人)姓名学校 袁晓璠 韩松奇 宋春秋 蒲秋实 李晔 天津市实验中学 天津市耀华中学 河北省唐山一中 天津...

第三届陈省身杯全国高中数学奥林匹克

第三届陈省身杯全国高中数学奥林匹克 获奖名单 一等奖(25 人)姓名学校 袁晓璠 韩松奇 宋春秋 蒲秋实 李晔 天津市实验中学 天津市耀华中学 河北省唐山一中 天津...

第三届陈省身杯全国高中数学奥林匹克

第三届陈省身杯全国高中数学奥林匹克 获奖名单 一等奖(25 人)姓名学校 袁晓璠 韩松奇 宋春秋 蒲秋实 李晔 天津市实验中学 天津市耀华中学 河北省唐山一中 天津...

第三届陈省身杯全国高中数学奥林匹克

第三届陈省身杯全国高中数学奥林匹克 获奖名单 一等奖(25 人)姓名学校 袁晓璠 韩松奇 宋春秋 蒲秋实 李晔 天津市实验中学 天津市耀华中学 河北省唐山一中 天津...

2011年第二届陈省身杯全国高中数学奥林匹克(暂无解答)

第二届陈省身杯全国高中数学奥林匹克 第一天 (2011 年 7 月 23 日,18:00-21:00) 每小题 50 分,共 200 分 1.已知△ABC 是锐角三角形,过点 A 作 BC...

2011年陈省身杯全国高中数学奥林匹克试题

2011年陈省身杯全国高中数学奥林匹克试题_学科竞赛_高中教育_教育专区。高中 数学 竞赛 陈省身第二届陈省身杯全国高中数学奥林匹克试题 ...

高中数学奥林匹克模拟真题(二)答案

高中数学奥林匹克模拟真题... 10页 2财富值 2011年第二届陈省身杯全国... ...二、解答题 Y A x2 9 、给定 Y 轴上的一点 A(0, a ) ( a > 1 ...

高中数学奥林匹克基础教程1.21

4页 1下载券 第一届陈省身杯全国高中... 5页 2下载券喜欢此文档的还喜欢...高中数学奥林匹克基础教程江苏沛县 教第一讲 第三讲 第五讲 第七讲 孙统权 ...

一道陈省身杯竞赛题的推广解答

一道陈省身杯竞赛题的推广解答_职业规划_求职/职场_实用文档。一道陈省身杯竞赛题的推广解答 山东省邹城市第一中学(273500)常媛媛第三届陈省身杯数学奥林匹克第...
更多相关标签:
奥林匹克黑狮娱乐 | 奥林匹克 | 奥林匹克森林公园 | 疼痛奥林匹克 | 奥林匹克nb88.com | 北京奥林匹克森林公园 | 奥林匹克数学竞赛 | 奥林匹克娱乐官方网站 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com